В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Р (х! А !р(х) (8.39) (1 (х) (х — а)" (х — а)а — х ср (х) ' Тем самым представление (8.36) доказано. Остается только убедиться в том, что дробь, стоящая в правой части (8.39), является правильной, но это сразу вытекает нз того, что разность двух правильных рациональных дробей является правильной рациональной дробью (чтобы убедиться в этом, достаточно привести разность правильных рациональных дробей к общему знаменателю). Лемма 1 доказана.
Л е м м а 2. Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) о (х) с вещественными коэффициентами, знаменатель которой Я(х) имеет комплексные числа а=илг(о и а=-и — ро корнями кратности ус, т. е. ЗР4 Гл. 8. Первообрааная функция и неопределенный интеграл Д о к а з а т с л ь с т в о.
Договоримся обозначать вещественную часть комплексной величины А символом Ке(А), мнимую часть комплексной величины А символом 1ш [А). Положим "' Нетрудно проверить, что указанные М и йг являются решением следующего уравнения; Р(а) — (Ма+У)гр(а) =О, (8.42) В самом деле, поделив это уравнение на гр(а) и приравняв нулк» действительные н мнимые части, мы получим два равенства нз которых определяются написанные выше М и М. Рассмотрим теперь разность Р (х) Мх + )У 0 ( ) (х' + Р + 4) Приводя указанную разность к общему знаменателю, будем иметь Р(х) Мх+»У Р(х) — (Мх-)-)У)Ч»(х) Ф(х) ( ) я(х) (ха+~ +4) (х'+па+4)а р(х) (ха+Рх+4)~4»(х) Здесь через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида Ф(х) =Р(х) — (Мх+И)ср(х), Равенство (8.42) позволяет утверждать, что комплексное число а, а значит, в силу теоремы 8.3 и сопряженное ему число а являются корнями многочлена Ф(х) некоторой кратности й~!.
В таком случае для многочлена Ф(х) справедливо представление Ф(х) = (х'+рх+г))лтр(х), (8.44) 'где ф(х) — некоторый многочлен с вещественными 'коэффициентами, не имеющий в качестве корней числа а и а. Вставляя представление (8.44) в формулу (8.43), пслучим представление (8.41). Тот факт, что последняя дробь„стоящая в правой части (8.41), является правильной, вытекает из того, что эта дробь равна разности двух правильных дробрй. Лемма 2 доказана Последовательное применение лемм 1 и 2 к дроби — по Р (х) е() Р (а) ' В силу (8.40) Ч»(а) ФО, так что отношение — рассматривать <р (а) можно.
$ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 31$ всем корням знаменателя приводит нас к следующему замечательному утверждению. Теорема 8.4. Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) е() с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид Я(х) = = (, Ьх)а(х — Ьа)~...(х — Ь.)$-(х+рхх+Чх)"...(х+р„х+Ч.)). (8.45) Тогда для этой дроби справедливо следующее разлозсение на сумму простейших дробей; В<п ВО< В<о <)(х) (х — ьд (.— ьх)э + " ' (.— ь,)р в',"> в« Вьэ) + + ',+...+ "а + рм (» ьт) (» ьм) (». ь )зги »<*эх" ,в<эээт м'„'~*эх<) е'-';э*ээ> (ээ -'; р ' ' (*'э *ээ) М<М»+ Н<Ю Л<<е<х+ Н<Ю я<<ХМ»+ й<Х<"1 (»а+ Рех+9п) (» + Рв»+ ее) (ха+ Р„»+йе) " В этом разложении В«<, ВРх<„..., ВРр ~ М<<~ А<1~ - М<<1 Л<),,~— некоторые вещественнь<е постоянные, часть из которых может бь<ть равна нулю. 3 а м е ч а н и е.
Для конкретного определения только что указанных постоянных следует привести равенство (8.46) к общему знаменателю и после этого сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х в числителе. Примеры и разъяснения. 1'. Разложить на сумму простейших правильную дробь 2»'+ 4хх + х+ 2 (8 47) (х — 1)э(ха + х+ 1) Убедившись в том, что квадратный трехчлен х'+х+1 имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение дроби (8.47) в виде 2ха+ 4ха+ х+ 2 Вх Ва Мх+ <«(8 48) (х — 1)х(х'+х+ 1) (х — 1) (х — 1)' х'+ х+ 1 Приводя равенство (8.48) к общему знаменателю, получим 2ха+ 4ха + х + 2 В, (ха — 1) + Вэ (х'+ х+ 1) + (Л4»+ У) (хэ — 2х+ 1) (х — 1)' (х' -1- х -1- П (х — 1)а(ха+ х+ 1) 318 Гл, 8. Пераообразная функция и неопределенный интеграл Сравнивая в числителях коэффициенты при хо, х', хз и хз, придем к системе уравнений * В,+М =2, Ва+ Ф вЂ” 2М = 4, В,+М вЂ” 2У=.1, В,+В, + Н=2.
Решая эту систему, найдем В!=2, Вз=З, М=О, Лг=1. Окончатель- но получим 2хз+ 4хз+х+ 2 2 3 ! (й 4о) (х — 1)з(х*+ к+ 1) к — 1 (х — 1)' ха+ к+ 1 Только что проиллюстрированный метод отыскания разложения правильной рациональной дроби называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод приводит к цели всегда; доказывать разрешимость полученной в результатеприменения этого метода системы уравнений не нужно — разрешимость вытекает из теоремы 8.4. 2'.
Проиллюстрируем метод неопределенных коэффициентов еще одним 4!римером. Требуется найти разложение правильной дроби Зке + 2хз + Зхз — 1 (х — 2) (х'+ 1)з Так как квадратный трехчлен х'+1 имеет комплексные корни, ищем, согласно теореме 8.4, разложение в виде Зхь+ 2хв+ Зхз — 1 В Мгх+Лт Мах+ ага + ' + (к — 2)(хз+ 1)з х — 2 хз+ 1 (ха+1)а Последнее равенство приводим к общему знаменателю и после этого сопоставляем числители.
Получим Зх'+ 2хз+ Зхз — 1 = =В(х'+2х +1)+ (М,х+Л!) (хз — 2х +х — 2)+ (Мах+Уз) (х — 2). Сравнивая коэффициенты при х', х', хз, х' и х4, придем к системе уравнений В+М, =3, ту, — 2М, =2, 2В+Мт — 2У,+Ма =3, Л", — 2М, + Фв — 2М, = О,  — 2Лг, — 2Л'а = — 1. При этом мы используем утверждение, сформулированное в сноске**» иа с. 308. й 3 Классы фуякций, интегрируемых в элементарных функциях 311 Решая эту систему, найдем В=З, М>=О, 1(г>=2, Ма=1, Фа=О. Окончательно получим Зхл+ 2хз+ Зха 1 3 2 х (х — 2) (х'+ 1)' х — 2 х' -1- 1 (хэ -1- 1)а (8.60Р 3'. Метод неопределенных коэффициентов, как видно из рассмотренных примеров, является довольно громоздким. Естественно поэтому в тех случаях, когда это возможно, найти другой, более простой метод отыскания коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Пусть знамена- Р (х) тель Я(х) правильной рациональной дроби — ' имеет вешесте() венное число а корнем кратности а. Тогда. среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь †, будет фигу- Р (х) Е(х) '. рировать дробь (8.61) (х — а)а Укажем совсем простой метод вычисления коэффициента А при этой'простейшей дроби. Привлекая лемму 1 и формулу (8.36), мы убедимся в том, что коэффициент А равен А=- (, где ф(х)= Я (а) а)а ' Мы приходим к следую>цему правилу: для вгячисления коэффициента А при простейшей дроби (8.51), соответствующей вещественному корню а многочлена (')(х) кратности а, следует вычеркнуть в знаменателе дроби — скобку (х — а)" и в оставшемся выраже- Р (х) е() нии положить х= а. Указанный прием нахождения коэффициента А обычно называют методом вычер к и в а ни я.
Отметим, что этот прием применим лишьдля вычисления коэффициентов прп старших сгепенлк простейших дробей, соответствующих вещественным корнял! Я(х). Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Я(х) имеет лишь однократные вещественные корни, т. е. когда Я(х) = (х — а>) (х — аэ) ...
(х — а„). Тогда, как мы знаем, справедливо рвало>кение Р (х) Аэ Аа Аь Аа + +...+ +...+ Я(х) х — а, х — аа ' х — аа х — аа все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента Аа следует вычерк- Р (х) путь в знаменателе дроби — скобку (х — а„) н в оставшемся О (х) выражении положить х=-аа. З!8 Гл. 8. Перзоабразная функция н неопределенный натеграл Пример.
Найти разложение дроби х+1 (х — 1) х (к — 2) (8.52) Согласно теореме 8.4 пишем: х+1 Аз Аа Аз (х — 1)х(х — 2) х — 1 х х — 2 Для отыскания А! вычеркиваем в выражении (8.52) скобку (х — 1) и в оставшемся выражении берем х=1, Получим А,= — 2. Лнало- 1 гично находим А,= —, Аз=3/2. 2 Окончательно получим — з (к — !) х (х — 2) х — ! 2х 2 (х — 2) (8.53) 5.
Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функ,циях. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы в общем виде решить проблему об интегрировании рациональной дроби с вещественными коэффициентами. Прежде всего отметим, что зта проблема сводится к проблеме интегрирования только правильной рациональной дроби, ибо всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель «столбиком») представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной .дроби. П р и и е р.
= (х' — 2х) +, ибо ' ка — ха+1 з 4х-1-1 к'+ х+ 2 ха+ к+ 2 ха — хз+ 1 ! х'+х+2 ха+к + 2х х' — 2х — 2х" — 2хз+ 1 — 2хз — 2х' — 4х остаток 1+ 4х Интегрировать многочлен мы умеем (напомним, что неопределенный интеграл от многочлена представляет собой некоторый многочлен степени, на единицу более высокой). Остается научиться интегрировать правильную рациональную дробь.
В силу теоремы 8.4 проблема интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следующих «етырех типов: 1. —; П.; П[.; 17. + . (8.54)' к — Ь (х — Ь)а хз -~- як+ Ч (ха+ рх+ д) Здесь 8=2, 3, ...; ) =2, 3,...; В, М, У, Ь, р, д — некоторые веще- 4 3, Классы функций, интегрируемых и алеиентараых функциях 319' Для вычисления интеграла от дроби вида 111 представим квадратный трехчлен в виде х +рх+д =)х+ — ) +1д — ) и, учитыа 2) ~ 4 »а вая, что д — —,» О, введем в рассмотрение вещественную по- 4 стоянную а= + ~ х 4! —, р 4 будем иметь Сделав подстановку 1= х+ —.- ,) +» +4,) В+а =И вЂ” ".-"' ('-%1'"- = — 1п(!а+ ах)+ агс 18 — + С= 2 2а и х+— » = — 1п(х'+ рх+ д)+», агс18 +С. (8.57)а Остается вычислить интеграл от дроби вида 1Ч.
Используя введенные выше обозначения 1= х+», а — — н д — », будемс иметь ственные числа, причем трехчлен хес рх+д не имеет веществен- »а ных корней, т, е. д — — >О. 4 Докажем, что каждая из четырех указанных дробей интегрируема в элементарных функциях.
Дроби вида ! и 11 элементарно интегрируются при помощи подстановки г=х — Ь. Мы получим = 1"= с(х= В ( — = В 1п1г1+С = В1п !и — Ь1+ С, (8.55) х — Ь,! дх = В ) — = — — „, + С = †., + С. В»аг В 1 — В ! ( — ь)а ,) !р (р — !1 ! р-' ' (8 — 1)'(~ — ь)р †' (8.56)~ 320 Гл. 8. Первообразнак функция и неопределенный ивтеграх Мх+Н, ( 2 + Ах=( (ха+ рх+ д) ) (Р+ о')а Введем обозначения е(и+и) . ( е! (Р+а'),) (Р+от) =-1 ' ' "=.) Интересующий нас интеграл будет вычислен, если будут вычислены интегралы / и К,, Интеграл Г берется элементарно: 1 1 1 ! )= —— , +С=-— ,+С.
(Х вЂ” 1) (и+па)ь ! (Х вЂ” !) (ха-1-рх+О)Х Интеграл К. вычислен нами в примере 6 в конце 3 2 настоящей главы, Там мы получили для этого интеграла рекуррентную формулу (3.!2), позволяющую последовательно вычислить К, для любого ).=2, 3, ..., опираясь па то, что ьу 1 К,=- ! = — агс (н — + С. ,! и+аз а а Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей (8.54) и доказано„что каждый из этих интегралов представляет собой элементарную функцию *.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
