В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В результате указанной замены получим Ь 1 (' аг ягс !я Г+ С ягс 13 (Зх)е (Зх)ге -1- 1 4374,) Ге+ 1 4374 4374 8. Вычислить ! в, . Для вычисления этого интеграо Г ах ,) (х' + аг)вм ла оказывается удобной тригонометрическая подстановка = агс!8 —, х=а!д1, г(х=а —, х аг а сгея Г В результате этой подстановки интеграл принимает вид 1- ° =1 нх ! Г = — 1 и~=- — +С= миг (х'+ае) Г ае ая +С= +С. ае тг1+!нет а' Р'хе+а' о ах 9. Вычислить' ~,, Здесь оказывается удобной под(ае хя)зге ' становка 1= — агсвш —, х=ав1п1, г(х=-асов!г!С При этом а 1 и!и! г — еет юг ~ /а+х 10. Вычислить ~ ~~ — ах.
Для вычисления этого интега — х рала оказывается удобной замена 2! = агс сов —. х=а соз 21, а г)х = — 2а 3!и 2! Ж Мы получим ~-2! '+х / а+х -47 а+ г(х= — 4а)сов'г'ггг= — 4а ! ( — + — сов 2!) г(1= у а — х ,),)(2 2 = — 2а! — 2а~соа 2!с!1= — 2гг! — ав!и 2!+ С= = — а [агс сов — + ~/ 1 — ~ — ) ~ + С.
зйо Гл З. Периообразнаи функция и неопределенный интеграл (8.8) 3 а и е ч а н и е. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать формулу (8.8) в виде и сЬ = и (х) о (х) — ~ о йи. (8.9) Для доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения функций и(х) и о(х) (и(х) о(х) )'=и(х) о'(х) +и'(х) о (х), (8.10) Умножим равенство (8.10) на с(х и возьмем интеграл от обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по условию для всех х из множества (х) существует 1о (х) и'(х) с(х и ",(и(х)о(х))'дх=и(х)о(х)+С (см. свойство 2' нз п.
3 $1), то для всех х нз множества (х) существует и интеграл )и(х) о'(х)с(х, причем справедлива формула (8.8) (или (8.9)). Формула (8.9) сводит вопрос о вычислении интеграла !ис(о к вычислению интеграла ) ос(и. В ряде конкретных случаев этот последний интеграл без труда вычисляется. Вычисление интеграла 1иг(о посредством применения формулы (8.9) н называют интегрированием по частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям (8.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 6 $ 4 гл.
5. Переходим к рассмотрению примеров. 1'. Вычислим интеграл Т=1хл!п х с(х (пФ вЂ” 1). и=1п х, до=хМх и используя формулу (8.9), получим л+1 о= —, л+1 „л+! х" +! 1 !'= — !их — — ~ х" дх= — (1пх — — 1 и+! и+1 л+1(, и+1/ Полагая лх г1и = —. х 2'. Вычислим, далее, интеграл 1=1хагс1дхг(х. Полагая и= =агс1их, до=хдх и используя формулу (8,9), будем иметь 2. Интегрирование по частям.
К числу весьма эффективных методов интегрирования относится метод интегрирования по час. тям. Этот метод основывается иа следующем утверждении. Пусть каждая из функций и(х) и о(х) дифференцируема на множестве (х) и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции о(х)и'(х). Тогда на ' множестве (х) существует первообразная и для функции и(х)о'(х), причем справедлива формула ) и(х)о' (х)дх=-и(х)о(х) — ) о(х) и'(х)Ых. зо! $2. Основные методы ннтегрнроввннн 1+хе 2 хт 1 Г хе х* 1 Р [(! + х*) — Ц с!х х = — агс 1дх — — ! — йх= — агс1их — ~ 2 2,) 1+хе 2 2,) 1+хе хе 1 Е ! Г ах хе+1 х = — агс 1д х — 1 йх+ — 1 — = агс 1их — — + С.
2 2,) 2,~! +хе 2 2 3', Вычислим интеграл е'=)хтсов хдх. Сначала применим фор- мулу (8.9), полагая и=х', е(о=сов хйх. Получим с(И=2хах, О = 5!и х, 1=х' 5(п х — 2)х 51п х йх. Для вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу (8.9), полагая на этот раз и=х, с(О=51п хе(х. Получим е(и=с(х, О= — сов х, ! =х 5!их+ + 2х сов х — 25 сов хйх= (хт — 2) яп х+ 2х сов х+ С. Таким образом, интеграл )хтсовхйх вычислен нами посред- ством двукратного интегрирования по частям.
Легко понять, что интеграл 1х" сов хйх (где и — любое целое положительное чис- ло) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством п-кратного интегрирования по частям. 4'. Вычислим теперь интеграл 1=)е'х сов Ьхйх (а=сопв1, Ь=сопв(). Сначала применим формулу (8.9), полагая и=е'", С!О=СОВ ЬХйХ. ПОЛУЧИМ йи=аг"хйх, О= —, в!и Ьх Ь е'» х!п Ьх а — ! евхв1пЬХ йх. Ь Ь Для вычисления последнего интеграла еще раз применим форму- лу (8.9), полагая на этот раз и=е", йо=в(п Ьхс(х.
Получим йи=-агехйХ, О= — —, сов Ьх Ь l = + — евхсовьх — — !'. еа" Мп Ьх а ат Ь Ьв Ьт (8.1 1) Таким образом, посредством двукратного интегрирования 7 по частям мы получим для интеграла 1 уравнение первого порядка (8.11). Из этого уравнения находим ' 1 асыЬх+Ьв!ПЬх Е" ат+ Ье .Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы: 1) К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций; 1пх, агсв(их, агссовх, агс1дх, (агс1пх)т, (агс сов х)е, 1пср(х), ... — прн условии„что оставшаяся часть по- 302 Гл.
8. Первообразиая функция и неопределенный интеграл дынтегральной функции представляет собой производную извест- ной функции (см. рассмотренные выше примеры 1' и 2'). Для вычисления интегралов первой группы следует применить форму- лу (8.9), полагая в ней и(х) равной одной из указанных выше функций *. 2) Ко второй группе относятся интегралы вида ! (пх+Ь) "Х асов(сх)г(х, ! (пх+Ь) "и!п(сх)г(х, ) (ах+Ь)'е'кпх где а, Ь, с — не- которые постоянные, и — любое целое положительное число (см.
рассмотренный выше пример 3'). Интегралы второй группы бе- рутся путем и-кратного применения формулы интегрирования по частям (8.9), причем в качестве и(х) всякий раз следует брать (ах+ Ь) в соответствую!цей степени. После каждого интегрирова- ния по частям эта степень будет понижаться на единицу. 3) К третьей группе относятся интегралы вида !пак з!пЬхах, !езкз!пЬхг(х, ) з!и (!пх)г(х, ) соз (1пх)йх, ...
(см. рассмотренный выше пример 4'). Обозначая любой из интегралов этой группы че- рез ! и производя двукратное интегрирование по частям, мы соста- вим для 1 уравнение первого порядка. Конечно, указанные три группы не исчерпывают всех без ис- ключения интегралов, берущихся посредством интегрирования по частям. Приведем примеры интегралов, не входящих ни в одну из перечисленных трех групп, но вычисляемых при помощи фор- мулы (8.9). Г как 5'. Вычислим интеграл ! = ! †, .
Этот интеграл не входит 5!и к ни в одну из упомянутых трех групп. Тем ие менее, применяя ак формулу (8.9) и полагая в ней и=х, г(п= —, получим мпз к Ни=с(х, и= — с!ух, Г сов хг(к У= — хс!их+~с(йхг!х= — хс(их+ ! з!ил = — хс(их+ ч = — хс!йх+!п(в!пх(+С Р а(5!и к) з!и к (в проведенных рассуждениях х~пп, где в=О, .ь1...). Г как Аналогично вычисляется интеграл ,) сжзх 6'. Вычислим„наконец, весьма важный для дальнейшего интеграл Ка =~ „, где п=сопз1, Л=1, 2, ... *е.
Этот интегб! (!з+ а') рал также не входит ни в одну из упомянутых выше трех групп. ь В случае, если подынтегральная функция содержит в качестве множителя (агс(кк)з, (агссозх!', ..., формулу интегрирования по частям (8.9) придется применить дважды. " Для обозначения переменной под знаком этого интеграла нам удобнее писать букву Ь $ 3 Клессы функций, интегрируемых н элементарных функциях ЗОЗ Для вычисления этого интеграла установим для него рекуррентйь ю формулу, сводящую вопрос о вычислении К, к вычислению ,. Можно записать (при Х~[): 1 (' ~~ сн 1 [" [(Р + ае) — Р] сй а',) (Р+ а')" а',) (Р+ а')х 1 (' ае 1 (' 21Ш 1 1 (' а(Р+ ах) = — Кх-~ — — ( 1 ае,) (Р— а') ~ 2ае 1 (Р+ ае)х ае 2ае,) (Р+ а')' ' Для вычисления последнего интеграла применим формулу интега(Р+ а') рнрования по частям (8.9), полагая в ней и=(, до= (Р+ае)л ' Получим с[и=И, о=— 1 (Х вЂ” 1)(1е+ах)~ ' ! 1 Кх= — Кх ~+ ае 2ае (й — 1) (Р + а')Х ' 2ае (й — 1) Из последнего равенства получим рекуррентную формулу 2а' (Х вЂ” 1) (Р + а')х ~ ае (2Х вЂ” 2) Убедимся в том, что рекуррентная формула (8.12) позволяет вычислить интеграл Кх для любого Х=2, 3, ....
В самом деле, интеграл К~ вычисляется элементарно: а После того как вычислен интеграл Кь полагая в формуле (8.12) Х=2, мы без труда вычислим Кх. В свою очередь, зная Кх н полагая в формуле (8,12) А=3, мы без труда вычислим Ке. Продолжая действовать таким образом дальше, мы вычислим интеграл [Г,, для любого натурального Х, выразив его через элементарные функции.
$3. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ Н ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ Хотя, как уже отмечалось выше, неопределенный интеграл от элементарной функции может не выражаться через элементарные функции, все же существуют широкие классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Изучению таких классов функций и будет посвящен настоящий параграф. Наиболее важным среди указанных классов функций является класс р а ци он альп ых дробей, представляющих собой от- 304 Гл. 8..Перапобразная функция и неопределенный интеграл ношение двух алгебраических многочленов. Изучению класса раа циональных дробей мы предпошлем краткие сведения о комплекс.
ных числах и об алгебраических многочленах. 1. Краткие сведения о комплексных числах. Два вещественнвак числа х и у мы будем называть упорядоченной парой, если указано, какое из этих чисел является первым, какое Вторым. Упорядоченную пару вещественных чисел х и у будем обозначать символом (х, у), записывая на первом месте первый элемент этой пары. Комплексным числом называется упорядоченная пара ('х, у) вещественных чисел, первое из которых х называется де йствительной частью, а второе у — мнимой частью этого комплексного числа, В случае, когда мнимая часть у равна нулю, соответствующую пару (х, 0) договариваются отождествлять с вещественным числом х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
