В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 59
Текст из файла (страница 59)
284 Гл. 7. Исследование графика функции шественный корень х=1, так что график функции пересекает ось Ох в точке (1,0). Пополученным данным строим эскиз графика рассматриваемой функции (рис. 7.16). $6. ГЛОБАЛЪНЫЕ МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ НА СЕГМЕНТЕ. КРАЕВОЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Отыскание максимального и минимального значений функции, определенной на сегменте. Рассмотрим функцию у=)(х), определенную на сегменте [а, Ь] н непрерывную на нем. До сих пор мы Рнс.
?.16 занимались лишь отысканием локальных максимумов и минимумов функции. Теперь поставим задачу об отыскании глобальных максимумов и минимумов или, по-другому, об отыскании максимального и минимального значений 1(х) на сегменте [а, Ь]. Подчеркнем, что в силу теоремы Вейерштрасса (см. теорему 4.15 из гл. 4) непрерывная функция [(х) обязательно достигает в некоторой точке сегмента [а, Ь] своего максимального (минимального) значения, Ради определенности остановимся на отыскании максимального значения 1(х) на сегменте [а, Ь]. Максимальное значение функции 1'(х) может достигаться либо во внутренней точке хо сегмента [а, Ь] (тогда оно совпадает с Рнс. 7.17 Рнс.
7.18 одним из локальных максимумов функции [(х)) (рис. 7.17), либо на одном из концов сегмента [а, ь] (рис. 7.18). Отсюда ясно, что для нахождения максимального значения функции 1(х) на сегменте [а, Ь] нужно сравнить между собой значения 1" (х) во всех б б Краевой акстремум точках локального максимума и в граничнььх точках сегмента а и Ь. Наибольшее из этих значений' и будет максимальным значением ((х) на сегменте [а, Ь[. Аналогично находится и минимальное значение 7"(х) на сегменте [а, Ь[.
Если желательно избежать исследования стационарных точек, то можно просто сравнить между собой значения 7(х) во всех стационарных точках и в граничных точках а и Ь, Наибольшее (иаименьшее) из этих значений, очевидно, и будет максимальным (минимальным) значением функции [(х) на сегменте [а, Ь). Отметим далее, что если [(х) имеет на сегменте [а, Ь) лишь одну точку локального максимума (или лишь одну точку локального минимума), то без сравнения значения [(х) в этой точке с 7"(а) и )(Ь) можно утверждать, что это значение является максимальным (минимальным) значением [(х) на сегменте [а, Ь[ (рис.
7А9). Рис. 7.20 Ркс. 7Л9 Аналогичными средствами решается вопрос об отыскании максимального (минимального) значения функции у=7(х) иа интер. вале, полупрямой и бесконечной прямой (при условии, что это значение существует) . Может случиться так, что дифференцируемая функция вовсе не имеет на сегменте [а, Ь[ (или полупрямой а(х(+ос) стационарных точек. В таком случае 7(х) является монотонной на этом сегменте (полупрямой) и ее максимальное и минимальное значения достигаются на концах этого сегмента (на конце этой полупрямой). В качестве примера рассмотрим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции у=з1п(ха) на сег- )Яби менте — ) и < х ~( 2 Поскольку у'=2хсоз(ха), указанная функция имеет на рас- сматриваемом сегменте три стационарные точки: х=б и х = .+ Ъя' —,Сравнивая значения функции в указанных точках 1' 2 и на концах сегмента 288 Гл.
7. Исследованве графика функции /Уйи1 5я Уй г" ~ — 1 = 81п — = — —, 2 ) 4 2 убедимся в том, что максимальное значение рассматриваемой функции равно +1 и достигается в двух внутренних точках ссгмента: х, = — 2 — и х, = а / —, а минимальное значение рассматриваемой функции равно — — и достигается на правом тг 2 2 .конце сегмента у' 5и 2 График рассматриваемой функции изображен на рис. 7.20. 2. Краевой экстремум.
Пусть функция у=)(х) определена на некотором сегменте [а, Ь) . Будем говорить, что эта функция .илгеет в граничной точке Ь этого сегмента к р а е в о й м а к с им ум (краевой минимум), если найдется левая полуокрестность точки Ь, в пределах которой значение [(Ь) является наибольшим (наименьшим) среди всех других значений этой функции. Аналогично определяются краевой максимум и краевой минимум в граничной точке а сегмента [а, Ь[. Краевой максимум и краевой минимум объединяются общим ,названием: кр а евой э кот р е м у м. Имеет место следующее достаточное условие краев о г о э к ст р е м у м а: для того чтобы функция у=[(х) имела в точке Ь сеглгента [а, Ь] краевой максимум (краевой иинимум), достаточно, чтобы эта функция имела в точке Ь положительную (отрицательную) левую производную *. (Д о к а з а т е л ь с т в о совершенно аналогично доказательству теоремы 7.1.) Из указанного достаточного условия краевого экстремума непосредственно вытекает следующее необходимое условие краевого э кс т р е м у м а функции, имеющей в точке Ь левую производную: для того чтобы функция у=((х), обладающая в точке Ь ле.вой производной, имела в этой точке краевой максимум (краевой минимум), необходимо, чтобы указанная производная была неотрицательной (неположительной).
Аналогично, для гого чтобы функция у=[(х), обладающая в точке а правой производной, имела в этой' точке краевой макси- ' Для граничной точки а достаточным условием краевого максимума (крае.вого минимума) является отрицательность (положительность) правой производной в точке а. $6. Краевой экстремум 287 мум (краевой минимум), необходимо, чтобы указанная производная была неположительной (неотрицательной). 3.
Теорема Дарбу*. Определение. Будем говорить, что функция [(х) имеет производную на сегменте [а, Ь), если [[х) имеет конечную производную в каждой внутренней точке [а, Ь] и, кроме того, имеет конечные односторонние производные ['(а+О) и ['(Ь вЂ” О) . Очевидно, функция, имеющая производную на сегменте, будет непрерывной на этом сегменте е*. Докажем теперь следующую теорему.
Теорем а 7.12 (теорем а Дарбу). Пусть функция 1(х) имеет производную на сегменте [а, Ь), Тогда, каково бы ни было число С, заключенное между А="Г'(а+О) и В= =['(Ь вЂ” О), на этом сегменте найдется точка й такая, что [(В=С. Итак, производная при одном только условии существования на сегменте [а, Ь] принимает любое промежуточное значение.
До к а з а тел ь ство. Сначала докажем следующее утверждение: если г(х) имеет конечную производную на [а, Ь) и если г'(а+О) и г"(Ь вЂ” О) — числа разных знаков, то на сегменте [а, Ь) найдется точка й такая, что Г'(й) =О. Пусть ради определенности Г'(а+0)<0, г"'(Ь вЂ” 0))0. Тогда, функция г" (х) имеет краевой максимум на обоих концах сегмента [а, Ь]. Но это означает, что минимальное значение г(х) на сегменте [а, Ь"1 достигается в некоторой внутренней точке $ этого сегмента (функция г (х) имеет производную, а значит,. и чгепрерывна на сегменте [а, Ь") и поэтому достигает на этом сегменте своего минимального значения). В указанной точке й функция г(х) имеет локальный минимум, и поэтому Р'(Е) =О.
Для доказательства теоремы 7.12 остается положить г"(х) = =[(х) — Сх"** и применить к Р(х) только что доказанное. утверждение. Заметим, что непрерывность производной ['(х) мы ие предполагали. Из теоремы Дарбу сразу же следует доказанное в и. 3 $ 4. гл. 6 утверждение об отсутствии у прозводной точек разрыва первого рода.
* Гастон Ларбу — французский математик (1842 — 1917). чч В самом деле. из существования производной р(х) во внутрекаих точках [а, Ь), вытекает непрерывность [(х) во внутренних точках [а, Ь), а из. существования односторонних производных р(л+О) н р(Ь вЂ” О) вытекает непрерывность справа в точке а и слева в точке Ь. *а* При атом мы, не ограничивая общности, предполагаем, что р(а+О) = =А(С(В=Р(Ь вЂ” О).
Гл. 7. Исследование графика функнии ЙОНОЛНЕННЕ Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции Предположим, что функция 1(х) задана на сегменте [а, Ь], мы располагаем значениями этой функции в узлах сетки, получающейся при делении сегмента [а, Ь] на 2" равных частей (п=1, 2, 3, ...). Ради определенности остановимся на отыскании точки минимума функции [(х). При этом мы будем предполагать, что выполнены следующие два условия: 1) функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] единственную точку минимума с; 2) при а<с функция [(х) убывает на сегменте [а, с] (т, е, убывает слева от точки минимума), а при с<Ь функция [(х) возрастает на сегменте [с, Ь] (т.
е. возрастает справа от точки минимума). Эти условия будут выполнены, например, в случае, если функция [(х) дна раза дифференцнруема на сегменте [а, Ь], причем 1'(с) =О, а [н(х) строго положительна на [а, Ь]. Однако для выполнения указанных двух условий дифферснцируемость [(х), вообще говоря, не требуется. Мы сейчас укажем алгоритм построения стягивающейся системы сегментов*, содержащих точку с минимума функции [(х). Остановимся на построении первого сегмента стягивающейся системы, имея в виду, что все последующие сегменты этой системы строятся по тому же принципу, что и первый ее сегмент.
Разделим сегмент [а, Ь] при помощи точек а=хо, хь хе, хз и х4=Ь на четыре р а в н ы х частичных сегмента [х; ь х,] (г'=1, 2, 3, 4), Данный частичный сегмент [хг ь х;] договоримся называть сегментом убывания, если [(х; ~))[(х;), т. е. если значение функции [(х) на левом его конце строго больше, чем на правом, н соответственно сегментом возрастания, если ,[(хг1)<[(х,), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
