В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это доказывает отсутствие экстремума в точке с. Вытекающее из теоремы 7.1 правило можно кратко сформулировать так: 1) если при переходе через данную стационарную точку с производная г'(х) меняет знак с плюса на минус (с минугуа на плюс), то функция 7(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум)7 2) если же при переходе через данную стационарную точку с производная 7" (х) не меняет знака, то экстремума в точке с нет. П р и м е р ы. !) Найти точки экстремума функции )(х) = =х' — Зха — 4.
Поскольку )'(х) =Зх(х — 2), то функция 1(х) имеет две стацйонарные точки: х=О и х=2. При переходе через точку х=О производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=2 — с минуса на плюс. Следовательно, х= =Π†точ локального максимума, а х=2 — точка локального минимума (см. рис. 7.1). 2) Найти точки экстремума функции 1'(х) = (х — 2)а, Производная Г'(х) =5(х — 2)' обращается в нуль в единственной точке х=2.
Так как Г'(х) положительна как слева, так и справа от этой точки, то функция Цх) =(х — 2)' не имеет точек экстремума. График функции )(х) = (х — 2)а изображен на рис. 7.2. Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной )'(х) слева и справа от стационарной точки. На этот случай мы укажем другое достаточное условие экстремума в данной стационарной точке с, не требующее исследования знака 265 $ !. Отыскание стационарных точек )и(х) в окрестности с, но зато предполагающее существование в точке с отличной от нуля конечной второй производной 1Ча1(х). 4.
Второе достаточное условие экстремума. Теорема 7.2. Пусть функция 1(х) имеет в даннои стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция 1(х) имеет в точке с локальный максимум, если 1!а>(с) <О, и локальный минимум, если 11а>(с) )О. Доказательство. из условия 11а1(с)<0 ()0) и из доказанной в гл. 6 теоремы 6.1 вытекает, что функция 1'(х) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию 1'(с) =О, то най- Рис. 7.2 Рис. 7.3 дется такая окрестность точки с, в пределах которой !'(х) положительна (отрицательна) слева от с и отрицательна (положительна) справа от с. Но тогда по предыдущей теореме 1(х) имеет в точке с локальный максимум (минимум) Замечание.
Теорема 7.2 имеет, вообще говоря, более узкую сферу действия, чем теорема 7.1. Так, теорема 7.2 не решает вопроса об экстремуме для случая, когда вторая производная 11а1(х) не существует в точке с, а также для случая, когда ра1(с)=0. В последнем случае для решения вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точке с производных высших порядков', что будет сделано нами ниже в п. 5. П р и м е р ы. 1) В неподвижную чашку, имеющую форму полушара радиуса и, опушен однородный стержень длины (рнс.
7.3). Предполагая, что 2г<1<4т, найти положение равновесия стержня. Положению равновесия стержня соответствует минимальное значение его потенциальной энергии, т. е. наиннзшее положение центра его тяжести О (поскольку стержень является однородным, центр тяжести его совпадает с его серединой). Обозначая через ОК перпендикуляр к плоскости, на которой стоит чашка, 2бб Гл.
7. Исследование графика функции мы сведем задачу к отысканию того положения стержня АВ, при котором отрезок ОК имеет минимальную длину. Прежде всего вычислим длину отрезка ОК как функцию угла а наклона стержня к плоскости, на которой стоит чашка. Пусть прямая РЕ параллельна прямой ОК, а прямая ОС перпендикулярна ОК (Р— точка, в которой стержень опирается на край чашки). Из рассмотрения прямоугольного треугольника ЕАР следует, 1 ято АР=ЕРсова=2гсова. По условию АО= —.
Таким образом, 2 ОР= АР— А0=2гсова — —. 2 С другой стороны, РС=РР— ОК=г — ОК. Поэтому из рассмотрения прямоугольного треугольника ОРС следует, что ОС г — 01Г в!п а= — = ОО 2г ооа и —— 2 Таким образом, длина отрезка ОК, которую мы обозначим !" (а), равна 1 7(а) =г+ — в!па — гв!п2а.
2 Переходим к отысканию того значения угла а, которое доставляет минимум )(а). (Понятно, что мы можем ограничиться значениями угла а из первой четверти.) Так как 7'(а) = — сова — 2гсов2а= — сова+ 2г — 4гсов'а, 1 2 2 то стационарные точки находятся как решения квадратного уравнения 4г сов-' а — — сов сс — 2г = О. 2 Поскольку сова в первой четверти положителен, то нам пригоден только положительный корень этого уравнения 1'; Г Г+ ~и Оба,= (7.2) Хотя по смыслу задачи и ясно, что единственная стационарная точка ао ЯвлЯетсЯ точкой минимУма фУнкЦии 1(а), мы Установим это строго при помощи теоремы 7.2.
Достаточно убедиться в том, что )а1(ао) )О. Поскольку 7Са1(а) = — — В!П а+ 4Г ян 2СС = 8Г З)П аа ( СОВ а — — ), 1 2 16г з 1. Отыскание стационарных точек то в силу (7.2) >'~( >=8 ~, (~ ъ — > = — "' > >~тта8Р)О. 1бс/ 2 Тем самым установлено, что положению равновесия стержня отвечает угол наклона его к плоскости, на которой стоит чашка, определяемый формулой (7.2).
2) Еше раз найдем точки эксртемума функции )Тх) = =х' — Зх' — 4, Стационарными точками этой функции, как мы уже видели выше, являются точки х=О и х=2. Так как )(т>(х) =бх — б ~(х>(0) = — 6(0, ~1х>(2) =6>0, то в силу теоремы 7.2 функция 1(х) имеет максимум в точке 0 и минимум в точке 2. Экстремальные значения этой функции равны (аах=)(0) = — 4, (щ>п=((2) = — 8 б. Третье достаточное условие, экстремума.
Установим еше одно достаточное условие локального экстремума, пригодное в случае, когда вторая производная функции в данной стационарной точке обрашается в нуль. Т е о р е м а 7.3. Пусть п=.-1 — некоторое нечетное число, и пусть функция у=((х) имеет производную порядка'и в некоторой окрестности точки с и производную порядка и+1 в самой точке с. Тогда, если выполнены соотношения ~'(с) =)1х>(с) = ...
=~го>(с) =О, (1"+»(с)ФО, (7.3) то функция у=((х) имеет в точке с локальный экстремум, точнее, локальный максимум ири 11"+»(с) <О и локальный минимум при 7шч.»(с))0. Доказательство. Прн п=1 теорема 7 3 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7.2, так что нужно вести доказательство лишь при н счетно м пъЗ. Пусть нечетное число и удовлетворяет условию п)3, и пусть ради определенности 1("+»(с))0. Докажем, что функция у=((х) имеет в точке с локальный минимум. Так как 11"+»(с) >О, то, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания функции в точке, функция 71':>(х) в о з р а от а е т в точке с.
Но тогда, поскольку )1">(с) =О, можно утверждать, что всюду в достаточно малой окрестности точки с функция 11">(х) отрицательна слева от с и положительна справа от с. Заметив это, разложим функцию 1'(х) в окрестности точки с по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см. 5 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между х н с найдется точка ц такая, что )а (с) а" > (с) 7'(х)=1'(с)+ — (х — с)+ ...
+ ' (х — с)" — '+ 11 (л — 2)1 268 Гл. 7. Исследование графика функции В силу соотношений (7.3) написанное разложение принимает внд (7.4) Выше мы установили, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная )оо(х) отрицательна слева от с н положительна справа от с. Так как с лежит между х и с, то для всех х из достаточно малой окрестности точки с величина (ео(с) (а значит, в силу нечетности п и вся правая часть (7.4)) отрицательна слева от с и положительна справа от с. Итак, с помощью равенства (7.4) мы доказали, что производная Г'(х) для всех х из достаточно малой окрестности точки с отрицательна слева от с и положительна справа от с. В этой ситуации, в силу первого достаточного условия экстремума (т.
е. теоремы 7.1), функция у=)(х) имеет в точке с локальный минимум. Случай 11"+п(с) <О рассматривается совершенно аналогично. Те же рассуждения и формула (7.4) в этом случае дают возможность заключить, что функция у=)(х) имеет в точке с локальный максимум. Теорема полностью доказана. 3 а м е ч а н и е. Очень важным является требование н е ч с тн о с т и числа и в теореме 7.3, При ч е т н о м и и при сохранении всех остальных условий теоремы 7.3 никакого экстремума у функции у=)(х) в точке с не будет (см, по этому поводу теорему 7,10 из п.
5 э 3 этой главы). 6. Экстремум функции, недиффереицируемой в данной точке. Выше мы рассмотрели вопрос о наличии у функции )(х) экстремума в такой точке с, в которой функция 1(х) дифференцируема. В этом пункте мы изучим вопрос о наличии экстремума в точке с у такой функции, котозая недифференцируема в точке с, но дифференцируема всюду в некоторой окрестности справа и слева от с и, кроме того, непрерывна в точке с. Оказывается, теорема 7.1 может быть обобщена на случай такой функции. Именно, имеет место следующее утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
