В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(л+ 2)1 ( 2 На любом сегменте ~ — г, г) (г>0) получаем для остаточного члена оценку (6.64). Г. /(х) =1п(1+х). Поскольку ~!"! (х) = ( — 1)"-' 1 (0) = О, /!' (0) =- ( — 1)"-' (и — 1)1 (1+х)" 254 Гл. 6. Основные теоремы о дифференцируемык фуикцияк формула Маклорена (6.54) имеет вид х' хз хз яе 1п(1 + х) = х — — + — — — + ... + ( — 1)" — ' — +й ~т(х).
(6.66) 2 3 4 л Остаточный член на этот раз запишем и оценим и в форме Лаг- ранжа, и в форме Коши: ( — 1)" х"+> Я„.ьт(х) = "+т ' (и > 1)(1 1 6я)з+г Я„+т (х) = ( — 1)" х "+' л я 1 (1 — 6)я (1+ вл)"+> (в форме Лагранжа). (6.67) '(в форме Коши). (6.68) Для оценки функции 1п(1+х) для значений х, принадлежащих сегменту 0<х~1, удобнее исходить из остаточного члена в форме Лагранжа (6.67). Переходя в формуле (6.67) к модулям, получим для всех х из сегмента 0<х.<1 ) Я„ч т (х) ) < (6,69) и + 1 Из оценки (6.69) очевидно, что для всех х из сегмента О~х<! Риз>(х)->-0 прн и-~ оо, Оценим теперь функцию 1п(1+х) для отрицательных значений х из сегмента — г<х<0, где 0<г<1.
Для этого будем исходить из остаточного члена в форме Коши (6.68). Перепишем этот остаточный член в виде )т'„~ьт (х) = ( — 1)" ~ ) (6,70) Принимая во внимание, что для рассматриваемых значений х вы- 1 †ражение < 1, и переходя в формуле (6.70) к модулям, 1+ 6л будем иметь ге+1 (Р..ьт (х) ( <— (6. 71) Так как г<1, то оценка (6.71) позволяет утверждать, что 1> гп Я„.ьт = О. з Д. 1(х) = (1 +х)", где а — вещественное число. Поскольку 11и>(х)=а(а — 1) ... (а — и+1)(1+х)" — ", 1>Я>(0)=а(сс — 1) ... (а — и+1), * Еще рзз отметим, что в формулзх (6.67) и (6.68) знзчення В являются, вообще говоря, рззличиыми. й 9.
Оценка остаточного члена, Разложение элементарных функций 255 формула Маклорена (6.54) имеет вид (1+х)"=1+ — х+ ( ) х + ...+ 11 2! а(а — 1) ... (а — и+1) л! (6.72) где остаточный член в форме Лагранжа равен Р„+,(х) —..— а '" ( )(1+ Ох)" 1"+'1х"+'(О . 0< 1), (6,73У (и+ 1)! Если нужно получить разложение не двучлена (1+х)", а двучлена (а+х)", то можно вынести ан за скобку и воспользоваться формулой (6.74).
Прн этом получим х ти о =:а" ~1+ — ( — )+ ( — ) +...+ ( — ) Таким образом, общий случай бинома Ньютона является частным случаем формулы Маклорена. Е. 1(х) =агс(их. Поскольку Г'гл) (х) = (и — 1)1 . Г 7 яп) и (агс1дх+ — ) ~ и 2) (1+ хз) (см. пример 5 из п, 2 () 6 гл. 5), то О прн четном п, 1<ю (О) = ( — 1) ' (и — 1)! при нечетном п, и формула Маклорена (6.54) принимает вид и — 1 х" ха х' — хл агс(кх =х — — + — — — + ...
+ ( — 1) е + 71+, (х) (6 75) 3 5 7 где п — нечетное число, а остаточный член в форме Лагранжа равен В частном случае, когда а=п — натуральное число, )тем(х) =О, и мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона (1+х)" = — 1+ — х+ и(и ) х'+ ... +х". (6.74у 2! 256 Гл. 6.
Основные теоремы о дифференннруемых фуакииях мп ~(л+ 2] (агс!80х+ — ) ~ (л+ 2) а+2 (0<6< Ц. ' [1+(Вх)з[ 3 Для остаточного члена на любом сегменте [ — г, г] (где г>0) справделива оценка ч+з [й.+а(хН < Из оценки (6.76) очевидно, что прн любом г(1 остаточный член Я„ез(х) стремится к нулю при п-э. со. (6.76) $10. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ФОРМУЛЫ МАКЛОРЕНА е = 1 + — + — + ...
+ — + Йк~.т(ц. 1 1 1 11 Ш к1 (6.77) где ю.+ (ц[< ' < (6.78) (л+ 1)1 (и+ 1)1 Выбирая номер и в (6.77) и (6.78) достаточно большим, мы можем оцепить с помощью этих формул число е с любой наперед заданной интересующей нас точностью. Алгоритм вычисления числа е, основанный на формулах (6.77)' и (6.78), легко реализуется на электронно-вычислительных машинах. Мы приведем пример вычисления числа е по этим формулам при л=400. Вычисления велись в МГУ на электронно-вычислительной машине БЭСМ-6 с 600 знаками после запятой. Учитывая возможные ошибки округления, мы отбросили последние 10 знаков и приводим результат вычисления с 690 знаками после запятой е: 2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 * для читателей, знакомых со стандартным алгоритмическим языком А Л Г О Л, на с. 261 приведена записанная иа етом языке программа вычислений.
1. Вычисление числа е на ЭВМ. В и. 3 92гл.3 мы ввели число е !и! как предел последовательности ~(1 + — ~ ~ и получили для е грубую оценку вида 2~е.к:3. В этом пункте мы укажем, как вычислить число е с любой интересующей нас точностью. Воспользуемся формулой Маклорена (6.61) и оценкой остаточного члена (6.62*), положив в этих формулах х=г=[.
Мы получим при этом, что 257 6 1О. Примеры прилозсевий формулы Маклорена 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 33!384 583000 762044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 36...
Таким образом, использование формулы Маклорена дает возможность вычислить е с любой интересующей нас точностью. 2. Доказательство иррациональности числа е. Докажем теперь с помощью той же формулы Маклорена (6.77), что число е является иррациональным. Используем для )т ч.!(1,) формулу (6.62), положив в ней х=1. Мы получим, что, ев )тч-/-! (1) = (и т 1)' (6.79) где 0 — некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0<9<1. Из этих неравенств и из (6.79) вытекает, что )с„чч(1) удовлетворяет неравенствам (и+ 1)! <Л„+!(1)< (и+ 1)! (6.80) лт е = — число и оказалось равным единице, то и ~2т представление е = — в знаменатсле кото2и * Если бы в представлении мы взяли бы эквивалентное ему рого стоит число 2и-2.
9 Зак. 72 Итак, для е справедливо представление (6.77) с неравенствами для )т„и!(1) вида (6.80). Предполжим теперь, что число е является рациональным, т. е, его можно представить в виде е =- — где т н и — некоторые целые и положительные числа, второе из которых (и), мы, не ограничивая общности, можем считать н е м е и ь ш н м д в у х *. Выбирая в формуле Маклорена (6.77) номер и равным знаменателю рациональной дроби е= —. мы получим, умножая фори мулу Маклорена (6.7?) на п!, что каждое нз чисел и! е ип! (1+ 1 1 + — +...
+ — 7! является целым, в то время как число и( Я„е! в 1! и! ) силу неравенств (6.80 ) удовлетворяет условиям — < и! )4„1 ! (1) < 1 и+1 288 Гл. 6, Основные теоремы о диффереицируемых функциях ( — и заведомо не является целым *. Таким образом, при л+1 умножении формулы Маклорена (6.77) на число и! мы получаем соотношение п(е — и! (1+ — + — +... + — ~ =п1 )т„.ь!(1), ! 1 1 1! 2! в1~ в левой части которого стоит целое число, а в правой части — число, не являющееся целым. Мы получаем противоречие, которое доказывает, что наше предположение о том, что е — рациональное число, является ошибочным.
Иррациональность е доказана. 3. Вычисление значений ' тригонометрических функций. Легко убедиться в том, что значения тригонометрических функций з!их и созх для х, принадлежащих сегменту ~0, — ~ полностью опреде- 4 ляют значения этих функций для всех х. Поэтому мы можем ограничиться вычислением з(пх и созх для значений х из указанного сегмента. Желая обеспечить точность 10 — ', положим в формуле (6.63) и в оценке (6.64) п=5, и= — Тогда 4 и поэтому для любого х, удовлетворяющего условию !х)< — ' 4 с точностью до 10-" ха хь в)пх=х — — + —.
6 120 Аналогично, полагая в формуле (6.65) и в оценке (6.64) п=6, г = — получим 4 т итв )Я.+а(х))=!Яв)< ' '' <10-~, 8! Р т Достаточно учесть„что в представлении е = — как уже сказано винна, л 1 3 — ( и! Л~ы !1) (— и+1 л -!-1 вытекает, что 0<лЯ„+~<1, т. е. лЯьчч(1) ие является целым. 259 й 1О.
Примеры приложений формулы Маклорена и поэтому для любого х, удовлетворяю!цего условию (х)~( —, 4 с точностью до 10 — ' х' «4 хе созх =! — — + — —— 2 24 720 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов. Формула Тейлора — Маклорена является мощным средством для вычисления тонких пределов. Из установленного нами в и. 2 59 разложения ряда элементарных функций вытекают асимптотические е оценки этих функций, характеризующие их поведение в окрестности точки х=О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
