В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Два из них могут быть получены в качестве частных случаев из общей формы. Прежде всего несколько преобразуем формулу для остаточного члена (6.34). Поскольку точка 5 лежит между точками а н х, найдется такое число 0 а из интервала 0<9<1> что $ — а= =9(х — а). При этом ~=а+9(х — а), х — $=(х — а)(1 — 9). Таким образом, формула (6.34) может быть переписана в виде 1ч„+т(х) = 71а+и (а+ В(х — а)).
(6.45) п1р Рассмотрим теперь два важных частных случая формулы (6.45): 1) р=п+1; 2) р=1 .(напомним, что в формулах (6.34) и (645) в качестве р может быть взято любое положительное число). Первый из этих частных случаев (р=п+1) приводит иас к остаточному члену в форме Лагранжа: )Ч>„+т (Х) = 71а+П (а + В (Х вЂ” а)1. (а+1)1, Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в приложениях.
Остаточный член в форме Лагранжа напоминает следующий, очередной член формулы Тейлора, лишь только (п+1)-я производная функции 7(1) вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между а и х точке ай=а+0(х — а). Второй из указанных выше частных случаев (р=1) приводит нас к остаточному члену в форме Коши: й>„+т (х) = (* ) ( 1 Гы+'1 [а + 0 (х — а)). (6.47) и1 Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям р, а В зависит от р, то значения 0 в формулах (6.46) и (6.47) являются, вообще говоря, различными. Для оценки некоторых функций форма Коши является более предпочтительной, чем форма Лагранжа, Обе формы остаточного члена (Лагранжа н * Следует подчеркнуть, что $, а значит, и В зависит от р, 4 8.
Формула Маклорена 249 Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от а, приближенно вычислить функцию 1(х). Естественно приближенно заменить 1(х) многочленом ф(х, а) и численно оценить сделанную при этом ошибку. Наряду с этим встречаются задачи, в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины (х — а). Для этой цели удобна другая форма записи остаточного члена (так называемая форма Пеано*), к установлению которой мы и переходим.
Предположим, что срункция 1(х) имеет производную порядка п — 1 в некоторой окрестности точки а и производную порядка и и самой точке а *'. При этих предположениях мы можем рассмотреть многочлен ф(х, а), определяемый соотношением (6.35). Разность между 1(х) и этим многочленом, как и при доказательстве теоремы 6.10, обозначим символом гс„+,(х), т. е. положим гс„ы(х) =)(х) — ср(х, а). Док жем, что при сделанных нами предположениях для остаточного члена Д„ча(х) справедливо следуюи(ее представление "**: тт +ь(х) =о((х — а) "1. (6.48) Представление (6.48) принято называть о с т а то ч н ы м ч л сном в форме Пеано.
Используя установленное в конце предыдущего параграфа свойство многочлена ф(х, а), выражающееся соотношениями (6.44), мы получим следующие равенства: тт„+, (а) = О, Я;+, (а) .= О, ДД, (а) =- О,..., Я1"~1, (а) =- О. (6.49) Нам остается доказать, что нз равенств (6.49) вытекает представление (6.48). Доказательство того, что нз равенств (6.49) выйекает представление (6.48), проведем методом математической индукции.
Сначала убедимся в том, что равенства (6.49) влекут представление (6.48) при п=1. При п=1 (6.49) превращаются в два равенства: на(а) =О, тт'з(а) =О, из которых сразу же вытекает, что 1(гп — = 1нп кз(х) . йз(х) — йз(а) = Д' (а) = О, х-ьа Х вЂ” о к-~а х — о ' Джузеппе.Пааво — итальянский математик (1858 †19). '* Таким образом, мы подчиняем функцию 1(х) требованиям более слабым, чем в теореме 6.10. '** напомним, что символ о((х — о)") обозначает бесконечно малую прн х а функцию более высокого порядка малости, чем (х — а) " (см.
п. б $ 4 гл, 3). або Гл. Ь. Основные теоремы о днфференцнруемых функциях а это и означает, что Ра(х) =о(х — а), т. е. прн и=1 представление (6.48) вытекает из (6.49). Теперь для завершения индукции предположим, что представление (6.48) вытекает из (6.49) для некоторого номера пъ1, и убедимся, что в таком случае представление (6.48) вытекает из (6.49) и для следующего номера и+1. Для номера и+1 равенства (6.49) имеют вид Р„,,(а) = О, Р„' .(а) =О, Р)2) (а) = О, ... Рга!')(а) = О.
(6.49*» Поскольку мы предположили, что для номера п равенства вида (6.49) влекут представление вида (6.48), то, отбросив первое из равенств (6.49"), мы можем утверждать, что остальные равенства (а) = О, Р)2),,(ст) = О, ..., Р!'+))(а) = 0 влекут представление Р„'+,(х) = о [(х — а)"1. (6.50) С другой стороны, применяя к функции Р„ат(х) по сегменту [а, х] теорему 6.4 Лагранжа* и учитывая первое равенство (6.49*), мы получаем, что между а и х найдется точка ~ такая, что Р„+2(х) = — Раь,(х) — Раь,(а) = Р„'+2($) (х — а). (6.51) Сопоставляя соотношения (6.50) и (6.51) и учитывая, что о[Я вЂ” а)") =о[(х — а) "1 (в силу того, что я заключено между а и х), мы окончательно получим, что Р„+,(х) =о[(х — а) "1, а это совпадает с представлением (6.48), взятым для номера и+1.
Тем самым индукцня проведена и вывод представления (6.48) остаточного члена в форме Пеано завершен. В заключение запишем полностью формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: )га) (а) Г" (х) = [(а) + 1( ) (х — а) + ... + ( 1 (х — а)" + о [(х — а)") )! л! (6.52) 2. Другая запись формулы Тейлора.
Часто записывают формулу Тейлора (6.33) в несколько ином виде. Положим в (6.33) а=хе„ х — а=гтх и возьмем остаточный член в форме Лагранжа (6.46). При этом х=хе+2зх, и мы получим гн)1 !'(ха+ Лх) — 1(хе) = 1 ") Ьх + 1 1"') (цх)а+... * Прн любом пъ! для Й,+2(х) выполнены асе услоння прнменнмостн теоремы 6.4 Лагранжа. $9. Оценка остаточного члена.
Разложение элементарных функций 261 где остаточный член имеет вид: 1) в форме Лагранжа Уто„» т(х) = У!"+!! (Ох) (О ( О ( 1); (и+ 1)! 2) в форме Коши Ус„».т(х) = ' ( ) ' У!"ф" (Ох); и! (6.55) (6.56) 3) в форме Пеано !С ез(х) =о(хо). (6.57) (Мы использовали формулы (6.46), (6.47) и (6.48).) Перейдем к оценке остаточного члена в формуле Тейлора— Маклорена, к отысканию разложения по формуле Маклорена важнейших элементарных функций и к рассмотрению различных приложений этой формулы.
й 9. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1. Оценка остаточного члена для произвольной функции. Оценим для произвольной функции у(х) остаточный член в формуле Маклорена (6.54), взятый в форме Лагранжа (6.55). Предположим, что рассматриваемая нами функция У(х) обладает следующим свойством: существует такое вещественное число М, что для всех номеров и и длл всех значений аргумента х из рас- " Колин Маклореи — английский математик (1698 — 1746).
При этом предполагается, что у(х) имеет (о+ 1)-ю производную в ок. рестности точки х=о, а для остаточного члена в форме Пеано (л — 1)-ю производную в окрестности точки х=о и л-ю производную в самой точке х=о. У ( о) (бх)л ! У" ( 'о+ ) (бх)о+! (653) и! (и + 1)! (Здесь 0 — некоторое число из интервала 0(0(1.) Формула Тейлора (6.53) является естественным обобшснием формулы Лагранжа (6.5) (см.
$ 3). Формула Лагранжа (6.5) получается из формулы (6.53) в частном случае п=О. 3. Формула Маклорена. Принято называть формулой Маклорена * формулу Тейлора (6.33) с центром в точке а=О. Таким образом, формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=О. Запишем формулу Маклорена для произвольной функции с остаточным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеаио*"; У(х) =У(О)+ — х+ х'+ ... + х" + й„+! (х), у (О) у"!(о), у!"'(о) 1! 2! и! (6.54) 222 Гл.
6. Осноеиые теоремы о дифференцируемых функциях Итак, мы получаем следуюшую универсальную оценку остаточного члена для функции, совокупность всех производных которой ограничена числом М в окрестности точки х=О: !Й„+, (х)1< М (л+1)! ' (6.60) Напомним, что при любом фиксированном х 1пп 1 ! =0 л->с (л+ 1)! (см. пример из п. 4 $ 2 гл. 3). Отсюда вытекает, что, выбирая достаточно большой номер п, мы можем сделать правую часть (6.60) как угодно малой. Это дает нам возможность применять формулу Маклорена для приближенного вычисления функций, обладающих указанным свойством, с любой наперед заданной точностью.
Приведем примеры функций, совокупность всех производных которых ограничена в окрестности точки х=О. 1) ((х) =е", 1<"1(х) =е*. Совокупность всех производных этой функции ограничена на любом сегменте [ — и, г1(г)0) числом М=е'. 2) 1(х) =созх или 1(х) =з(пх. Совокупность всех производных каждой из этих функций ограничена всюду на бесконечной прямой числом М=1. 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. А. !(х)=е'. Поскольку 1< !(х)=е, 1<л!(0)=1 для любого и, формула Маклорена (6.54) имеет вид х хе хл е' = 1 + — + — + ...
+ — + )т< +, (х), (6.61) 1! 21 л! где остаточный член в форме Лагранжа равен т<„+,(х) = ее" (Ос,бс.1). (л+ 1)! (6.62) сматриваемой окрестности гочки х=О справедливо неравенство ~1<л)(х) ~ .к:М. (6.58) Функцию, обладаюшую указанным свойством, будем называть функцией, совокупность всех производных которой огр ан и чена в окрести ос ти точки х=О. Из неравенства (6.58) и из того, что ОСО<1 вытекает, что !1<л)(6х) ~ ~М, (6,59) и поэтому из формулы (6.55) получим !К+,( И= !"Р ' 11<+!(6)!<М !'!" ' . (л+1)! (и+1)! $9. Оценка остаточного члена.
Разложенпе элементарных фуггвтсна 263 На любом сегменте [ — г, г) (г>0) в силу того, что !евх~(ег, получим следующую оценку для остаточного члена; Ю Ит(хН< . "~' /(х) =а(п х. Поскольку /!л! (х) ° ( гв ') 2 /' О при четном и, 1!"! (0) = н)п и — ") = ~ ~-)! 2 / ~ т при нечетном и ~( — 1) ' формула Маклорена (6.54) имеет внд л-! и!и х = х — — + — — — + ... + ( — 1) е — + й„», (х), (6.63) 3! 6! 7! л! где и — нечетное числа, а остаточный член в форме Лагранжа равен х"+' . г и гс„»,(х) = а(п (бх+ и — +и) (О 8( 1).
(л+ 2)! 2 Очевидно, что на любом сегменте 1 — г, г) (г>0) для остаточного члена справедлива следующая оценка: Я„+,(х) ~ < (а+ 2)! (6.64) В. 1(х) =соя х. Поскольку /!л! (х) = сон (х + и —" ), 2 / 0 при нечетном и, /!л1 (0) = СОН (И 2 / †, при четном и, .( — 1) ' формула Маклорена (6.54) имеет вид П хв хв хв свах = 1 — — »- — — — + ... + ( — 1) ' — + й„+а(х), (6.65) 2! 4! 61 л! где и — четное число, а остаточный член в форме Лагранжа ра- вен Я„» (х) = сон(бх + и — »-и) (0( О( 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
