В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ИАРАметРически Мы будем говорить, что переменная д как функция аргумента х задана нам параметрн чески, если обе переменные х и д заданы как функции некоторой третьей переменной 1: х=Ф(1), д=ф(()- 4 7. Дифференцирование функции, заданной параиетрически 22г При этом указанную переменную 1 обычно называют параметром. Мы, естественно, будем предполагать, что функции ф(1) и ф(8) имеют нужное число производных по параметру 1 в рассматриваемой области изменения этого параметра.
Кроме того, мы всегда будем считать, что функция х=ф(1) в окрестности рассматриваемой точки 1=1о имеет обратную функцию т=тр '(х)а, ибо это позволяет рассматривать у как функцию х. Рассмотрим вопрос о вычислении производных функции у= =у(х) по аргументу х. В силу свойства ннварнантности формы первого дифференциала (см. п. 3 $3) мы можем записать равенства: д'(, ) = — Р, Др = ф'(() с(1, с(х =- ~р'(1) б(. (5.54) с(л Из этих равенств сразу же вытекает, что у'(х) = (5.55) ~р'(1) для вычисления второй производной у<з>(х) достаточно заме- тить, что в силу свойства инвариантности формы первого диффе- ренциала у(з) (х) = (5.56). Нл Используя в правой части (5.56) соотношение (5.55) и третье равенство (5.54), получим 1 Ф'(~Ц' 1з) ( ) ( Ф (1) ( 'р (т) Ч (1) — ф~ (1)ф (1) — 1м, 1,), (5:57) 'р (1)нт 1'р'(1) 1* По такому же принципу вычисляются производные третьего тв последующих порядков.
Так, для вычисления третьей производной у(а1(х). достаточно представить эту производную в виде у(з) (х) Ь (р)1 ох и воспользоваться 'соотношением (5.57) н третьим равенством: (5.54). В качестве примера вычислим первую и вторую производные. следующей функции, заданной параметрически: ! х = а(1 — з)п)), — <1(+ у = а (1 — соз 1), ' В гл. 14 будет доказано, что для существования у функции л=е(1) в окрестности точки 1= (с обратной функции достаточно, чтобы производнаи ~р'(1) была непрерывна и отлична от нуля в точке 1з. 222 Гл. е.
Дифференциальное исчисление Кривая, являющаяся графиком этой функции, называется циклоидоо й. Эта кривая представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности радиуса а, которая катится без скольжения по прямой линии (параметр 1 равен углу поворота радиуса этой окружности). Пользуясь формулами (5.55) и (5.57), получим у'(х) = = с(д — , а(1 — санг) 2 (' — ')' уев (х)— а(1 — ссн 1) 4 2 й 8.
пРОизВОднАя ВектОРИОН Функции В приложениях математики часто встречаются понятия векторной функции и ее производной. Если каждому значению переменной 1 из некоторого множества (1) ставится в соответствие по известному закону определенный вектор а, то говорят, что на множестве (1) задана векторная функция а=а(1). Так как каждый вектор а в заданной декартовой прямоугольной системе координат однозначно определяется тремя координа- тами х, у и г, то задание век1т. торной функции а=а (1) экви- валентно заданию трех ска.
г Р П' лярных функций х=х(1), у= =-у(1) и г=г(1). Ла Понятие векторной функ- 15 цни приобретает особую на- 0(" глядность при обращении к так называемому год о г р а- а у ф у этой функции (т. е, гео- метрическому месту концов и всех векторов а=-а(1), прилоРис. 5.4 женных к началу координат 0). На рис. 5.4 кривая представляет собой годог а Р ф некто(1ной функции а=а(1). Понятие годографа векторной функции является естественным обобщением понятия графика скалярной функции.
Введем понятие производной векторной функции а= а(1) в данной фиксированной точке й Зададим аргументу в точке Г произвольное приращение Л1~0 н рассмотрим соответствующий вектор приращения Ла= =а(1+Л1) — а(1). (На рнс. 54 указанный вектор совпадаетсМР.) й 8. Пронзвоннан векторной функции 1 Умножив указанный вектор на число —, мы получим новыи оз вектор — = — (а(г+ Лг) — а(г)], (5.58) оз ЛЗ коллинеарный прежнему. Этот вектор (5.58) является аналогом разностного отношения (5.5).
Вектор (5.58), очевидно, представляет собой среднюю скорость изменения векторной функции на сегменте (1, г+Ат), П р о и з в о д н о й векторной функции а=а(г) в данной фиксированной точке г называется предел при Л(-к4) вектора (5.58) (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной векторной функции а=а(г) исаи пользуются символы а'(1) или ш Из геометрических соображений очевидно, что производная векторной функции а=а(з) представляет собой вектор, касательный к годографу этой функции. Так как координаты разностного отношения (5.58) соответственно равны х(г+ ЛЗ) — х(() д(Ф + от) — д(г) з((+ Лз) з(з) Ы Ы то ясно, что координаты производной а'(() равны производным функций х'((), у'((), г'((). Таким образом, вычисление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат.
За меча ние 1. Так как векторная функция а=а(з) определяет закон движения материальной точки по кривой 1., представляющей собой годограф этой функции, то производная а'(() равна скорости движения по указанной кривой. Замечание 2. Из курса аналитической геометрии известны различные'типы произведений векторов (скалярное произведение, векторное произведение и смешанное произведение). Выражение всех этих произведений в координатах дает возможность указать правила, по которым вычисляются производные соответствующих произведений векторных функций.
В качестве примера приведем правило вычисления производной скалярного произведения двух векторных функций а(() =(а,(1), аз(1), азЯ) и Ь(~) =(Ь|((), Ьз((), Ьз(г)): (а(Ю) Ь(())'=а'(~) Ь(С)+а(~) Ь'(() = (а,'(г) Ь1(()+ + аз'(() Ьз(~) + аз (з) Ьз(Е)) + (а,(() Ь1'(() + аз(() Ьз'(з) + +аз(~).Ьз'(з)). Аналогичное правило справедливо и для векторного произведения двух векторных функций: (а(г) ь(г) ) '= (а'(() Ь()) ) + (»(г), Ь'(т) ].
Гл а на 6 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ В настоящей главе будет установлен ряд важных теорем, относящихся к произвольным дифференцируемым функциям. Эти теоремы чрезвычайно эффективны при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельных точек области ее задания, так и на целых участках области ее задания). й Е ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЛОКАЛЬНЫИ ЭКСТРЕМУМ Рассмотрим функцию у=1(х), определенную всюду в некоторой окрестности фиксированной точки с. Определение 1, Будем говорить, что функция у=1(х) в о з р а с т а г т в т о ч к е с, если найдется такая Ь-окрестность точки с, в пределах которой 1(х) <1(с) прн х<с ~(х)>~(с) при х>с.
Определение 2. Будем говорить, что функция у=1(х) убывает в точке с, если найдется такая Ь-окргстность точки с, в пределах которой )(х) >1(с) при х<с 1(х) <)(с) при х>с. Определение 3. Будем говорить, что функция у=Г1х) .имеет в точке с локальный максимум (локальный м и н им ум], если найдется такая Ь-окрестность точки с, в пргдглах которой значение )(с) является наибольшим (наимгньшим) .срг и всех значений 1(х) этой функции. п редел ение 4. Будем говорить, что функция у=1(х) амггт в точке с лакал ьн ый экс трем ум, если эта функция .имеет в указанной точке либо локальнгяй максимум, либо локаль.ный минимум, На рис. 6.1 изображена функция, возрастающая в точке сь убывающая в точке сь имеющая локальный максимум в точке сз .и локальный минимум в точке с,.
Докажем следующие две теоремы. 225 5 !. Локальный экстремум Рнс. 6.2 Рнс. 6.1 Теорема бд (достаточное условие возрастания н л и у б ы в а н и я ф у н к ц и и в т о ч к е) . Если функция у = ! (х) дифференцируелса в точке с и ее производная в этой точке !"'(с) гтоложительна (отрицательна~!, то функция у=((х) возрастает (убывает) в точке с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем все рассуждения для случая )'(с) >О (для случая )'(с) <О они аналогичны). Так как (по определению производной) 7 (,) ((Ш !(х) — ((с) «-«с х — с то на основании определенна предела функции по Коши для положительного числа е=)'(с) найдется 6>0 такое, что — )' (с) ~ < !".' (с) при 0 < (х — с/ < 6 х — с или, что то же самое, 0< (( ) (() <2~'(с) при с — 6<х<с+6, кФс.
х — с Таким образом, всюду в проколотой 6-окрестности точки с (( ) — Е(с) >0 х — с Но зто н означает, что всюду в пределах 6-окрестности точки с )(х) >((с) при х>с, и ((х) <((с) прн х<с, т. е. функция у=) (х) возрастает в точке с.
и зак. 72 226 Гл. 6. Основные теоремы о дифферениируемых функииих Случай Г'(с) <О рассматривается аналогично. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной Г'(с) не является необходимым условием возрастания 1убывания] дифференцируемой в точке с функции у =1(х). Так, функция у=х' возрастает в точке с=О, в то время как производная этой функции Г'(х) =Зхл обрагцается в нуль в точке с=О (график функции — на рис. 6.2). Теорема 62 (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке ф у н к ц и и). Если функция у=1(х) дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум, то Г'(с)=О.
Доказательство. По условию теоремы сугцествует конечная производная )'(с). Так как функция у=1(х) имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с ии возрастать, ни убывать. Значит, в силу теоремы 6.1 производная 1'(с) не может быть нн положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что Г'(с) =О. Теорема 6.2 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой у=1('х), в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох (рнс. 6.3). Рис.
6Л Рис 6.3 Замечание 2. Пример той же самой функции у=х' (см. рнс. 6.2) показывает, что обращение в нуль производной является лишь необходимым и не является достаточным условием локального экстремул1а. (Производная Г'(х) =Зх' этой функции обращается в нуль в точке с=О, но никакого экстремума в этой точке нет.) 6 2. ТЕОРЕМА О НУЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ Теорема 63 (теорема Ролля'). Пусть функция )Гх) непрерывна на сегменте (а, б) и дифференцируема во всех внут- ' Мишель Ролль — французский математик (1652 — 1719).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
