В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Дифференцирование обратной функции. Теорема 54. Пусть функция у=)(х) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке х и ее производная в этой точке !"'(х) отлична от пуля. Тоеда в некоторой окрестности соответствующей точки у=)'(х) определена обратная .для у=)(х) функция х=! — '(у), причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке у=](х) и для ее производной в этой точке у справедлива форд!ула (Г'(уИ'=, (5.17) р (х) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция у=)(х) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки х, то в силу теоремы 4.5 (см, $ 2 гл.
4) обратная функция х=)-'(у ) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности соответствующей точки у = )(х). Придадим аргументу этой обратной фувкции в указанной точке произвольное достаточно малое и о т л и ч н о е о т н у л я приращение Лу. Этому приращению Лу отвечает приращение Лх= =~ '(у+Лу) — ) '(у) обратной функции в соответствующей точке у=!'(х), причем в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение Лх отлично от ну л я. Это дает нам право написать следующее тождество ": Лх 1 ар ах ау Пусть теперь в тождестве (5.18) приращение Лу стремится к нулю.
Тогда в силу разностной формы условия непрерывности обратной функции х=)-!(у) в соответствующей точке у=](х) приращение этой функции Лх также стремится к нулю. Убедимся в том, что в таком случае существует предел правой части (5.18), 200 Гл. 5. хсиффереициальное исчисление равный величине, стоящей в правой части (5.17). Этим будет доказано, что тот же самый предел имеет и левая часть (5.18), т. е.
будет доказано, что обратная функция имеет производную в соответствующей точке у=7(х) н для этой производной справедливо равенство (5.17). Итак, для завершения доказательства теоремы остается убедиться в том, что правая часть (5.18) имеет предел при Лх- О равный 117'(х), где х †данн точка. Так какх=7 — '(у), Лх=7 — '(у+Лу) — 7-'(у), то х+Лх=)-'(у+Лу), т.
е. у+Лу=1(х+Лх) н Лу=1(х+Лх) — 1(х). Отсюда следует, что правая часть (5.18) может быть переписана в виде 1 ! ду 1(х+ йх) — 7(х) ах Ах Из последнего равенства в силу определения производной г'(х) и предположения 1'(х)ФО сразу же вытекает, что предел при Лх- О правой части (5.18) существует и равен 1/1'(х). Теорема доказана. Примеры применения доказанной теоремы будут даны в следующем пара- ~У графе. Уа Доказанная теорема имеет простой О геометрический смысл.
Пусть М вЂ” точка графика функции у=)(х), отвечают 1цая данному значению аргумента х (рис. 5.3). 1огда, очевидно, производная 1'(х) равна тангенсу угла наклона се касательной, проходящей через точку М, к оси Ох, а производная обратной функции (1-'(у))' в соответствующей точке у=)(х) равна тангенсу угла наклона р той же самой касательной к оси Оу. Поскольку углы наклона са и р в сумме составляют п72, то формула (5.17) выражает очевидный факт: 18($ = — при а+(1=и/2. 1 1яа 3.
Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 3 $ 2 мы убедились в том, что для случая, когда аргумент х дифференцируемой функции у=)(х) представляет собой не з а в и с и м у ю п е р е м е н н у ю, для дифференциала ду этой функции справедливо представление с(у=/'(х) с(х. (5.12) Сейчас мы докажем, что представление (5.12) является универсальным и справедливо также и в случае, когда аргумент х сам является дифференцнруемой функцией вида х=ф(1) некоторой й 3. Днфференцнрованне сложной н обратной функций 201 независимой переменной й Это свойство дифференциала функции принято называть ннварнантностью его формы*. Итак, пусть аргумент х дифференцируемой функции у=1(х) сам является дифференцируемой функцией вида х=ф(1) некоторой независимой переменной й В таком случае у можно рассматривать как сложную функцию вида у=г[ф(Г)] аргумента 1.
Поскольку этот аргумент 1 является независимой переменной, то для указанной функции у=)[гр(1)] и для функции х=~р(1) дифференциалы представимы в форме (5.12), т. е, в виде йу= [[[гр(1)])'сЫ, йх=гр'Яйй (5.19) По правилу дифференцирования сложной функции (1[ф (1) ])'= 1" (х) ф'(1). (5.13) Подставляя (5.13) в первую из формул (5.19), придадим этой формуле внд с(у=['(х) гр'(1)йг.
(5.20)' Сопоставляя полученное равенство (5.20) со вторым из равенств (5.19), окончательно получим для йу выражение йу=['(х)йх, совпадающее с представлением (5.12). Инвариантность формы (5.12) первого дифференциала функции йу установлена. Замечание, Можно дать и другую эквивалентную формулировку свойства инвариантности формы первого дифференциала, сразу же вытекающую из универсальности представления (5Л2): производная дифференцируелгой функции у=[(х) равна отношению дифференциала этой функции йу к дифференциалу ее аргумента йх, т.
е. определяется равенством ~~( ) пе (5.21) йх как в случае, когда аргумент х является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида х=гр(1) некоторой независимой переменной 1. Универсальность представления для производной (5.21) позволяет использовать отношение — для обозначения производной ер ох функции у=)(х) по аргументу х. 4. Применение дифференциала для установления приближенных фоРмул. Пусть ради простоты аргумент х функции у=[(х) является независимой переменной. В п.
3 $ 2 мы показали, что диф" Ниже мы введем понятия второго н последующих дифференциалов функцнн у=)(х) н обнаружим, что этн дифференциалы уже не обладают ннварнантносгью формы. Вследствие этого доказываемое свойство называют ннварнантносгью формы первого дифференциала. Гл. З. Дифференциальное исчисление $4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИИ Т е о р е м а 5.5. Если каждая из функций и(х) и о(х) дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что значение о(х) ~0) танисе дифференцируемы в этой точке, причем имеют место фор- мульс (и(х) ~о(х))'=и'(х) ~о'(х), (и(х) о(х))'=и'(х) о(х) + и(х) о'(х), )'- ' и(х) 1' и'(х) а(х) — и(х) о'(х) а (х) оа (х) (5.24) * Си. и.
3 $2. ференциал йу функции у=)(х), вообще говоря, не равен приращению Лд этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Лх, справедливо приближенное равенство Лд =йу. (5.22) Ьу — йу Отношение " естественно назвать относительной Ах погрешностью равенства (522), Так как Лд — йу=о(Лх) ', то относительная погрешность равенства (5.22) становится как угодно малой при уменьшении )Лх). Соотношение (5.22) позволяет приближенно заменять приращение Лу дифференцируемой функции у=)(х) дифференциалом йу этой функции. Целесообразность такой замены оправдывается тем, что дифференциал йу является линейной функцией Лх, в то время как приращение Лу, вообще говоря, представляет собой более сложную функцию аргумента Лх. Учитывая, что Лд=)(х+Лх) — )(х), йу=)'(х)Лх, мы можем переписать приближенное равенство (5.22) в виде )(х+Лх) — )" (х) ж =)'(х)Лх или, что то жс самое, в виде ((х+Лх) -)(х) +)'(х)Лх.
(5.23) Приближенное равенство (5.23), так же как и (5.22), справедливо для любой дифференцируемой в данной точке х функции )(х) с точностью до величины о(Лх) более высокого порядка малости, чем Лх. Это приближенное равенство позволяет с ошибкой о(Лх) заменить функцию )(х) в малой окрестности точки х (т.
е. для ма. лых значений Лх) линейной функцией аргумента Лх, стоящей в правой части (5.23). Приближенная формула (5.23) часто применяется для различных конкретных видов функции )(х). й 4. Диф. суммы, разности, нроизаеленин и частного функций 203 Дока з а те льет во. Рассмотрим отдельно случаи суммы (разности), произведения и частного. 1'. Пусть у(х)=и(х)-~-о(х), Обозначим символами Ли, Ло и Лу приращения функций и(х), о(х) и у(х) в данной точке х, отвечающие прирагценню аргумента Лх. Тогда, очевидно, Лу=у(х+Лх) — у(х) =[и(х+Лх) ~о(х+Лх)] — [и(х) ~о(х)]= = [и1х+ Лх) — и(х)] ч- [о(х+ Лх) — о(х)] =Ли ч: Лш Таким образом, (5.25) Лх ах Дх Пусть теперь Лх- О. Тогда в силу существования производных функций и(х) и о(х) в точке х существует предел правой части (5.25), равный и'(х) ~о'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
