В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 41
Текст из файла (страница 41)
гл, 2, й 5, п. 3). Гл. В. дифференциальное исчисление эквивалентно тому, что функция (Ц(х+Лх) — 1(х)1 аргумента Лх является бесконечно малой при Лх-»0. Доказанное утверждение позволяет выразить условие непрерывности функции у=((х) в точке х в следующей форме: функция у=)(х) непрерывна в точке х, если приращение Лу. этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, является бесконечно малым при Лх-+-О, т. е. если (5.4) 1пп Лу=1пп [1(х+ Лх) — ~(х)1 = О. ах-ьо ах-~о Условие (5.4) мы будем называть р а з н о с т н о й ф о р м о й условия не п р е р ы в ности функции у=1(х) в точке х.
Это условие мы будем неоднократно использовать в дальнейшем. С помощью условия (5.4) еще раз убедимся в том, что функция у=з(пх непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Вх 1 В самом деле, из формулы (5.2), из условия ~сов(х+ — ~ ~( ах < 1 и из равенства 1пп з(п — = 0 непосредственно вытекает, д»ьо 2 что 1пп Лу=О. а о 2. Определение производной. Пусть, как и в и. 1, функция у=1(х) определена на интервале (а, Ь), х — фиксированная точка этого интервала, Лх — любое приращение аргумента, настолько малое, что число х+Лх также принадлежит интервалу (а, Ь). Считая, что Лх-ФО, рассмотрим в данной фиксированной точке х отношение приращения Лу функции у=1(х) в этой точке и соответствующему приращению аргумента Лх: оу 1(х+ Лх) — 1(х) (5.5) Лх ах Отношение (5.5) будем называть р аз постным отношением (в данной точке х).
Так как х фиксировано, разностное отношение (5.5) представляет собой функцию аргумента Лх. Эта функция определена для всех значений аргумента Лх, принадлежащих некоторой достаточно малой б-окрестности точки Лх=О, за исключением самой точки Лх=О, т. е. определена всюду в достаточно малой проколотой б-окрестности точки Лх=О. Это дает нам право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Лх-»0. Определение 1. Производной функции у=1(х) в данной фиксированной точке х называется предел при Лх- 0 разностного отношения (5.5) (при условии, что этот предел сущестеуег). Производную функции у=((х) в данной фиксированной точке х будем обозначать символом )х(х) или у'(х) или кратким символом у'. $ 1.
Понятие производной Итак, по определению 1'(х) =1(ш — = 1пп ' + ах-о ах ах о Лх Если функция имеет производную для всех точек х интервала (а, Ь), то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на интервале (а, Ь). Приведем два тривиальных примера вычисления производныхе 1'. )(х) =С=сопз1. Совершенно очевидно„ что производная ('(х) втой функции тождественно равна нулю, ибо приращение этой функции Лу=((х+Лх) — ((х) равно нулю для всех х и всех Лх. 2'. ((х) =х. Для этой функции разностное отношение (5.5р равно ЛВ (х+ ах) — х Лх Лх Лх Лх Отсюда следует, что и производная указанной функции равна единице в любой точке х бесконечной прямой.
В полной аналогии с понятиями правого и левого пределов функции в данной точке вводятся понятия п р а в о й и л е в о й производных функции у=((х) в данной фиксированной точке х. Определение 2. Правой (левой] производной функции у=('(х) в данной фиксированной точке х называется правый (левый) предел разностного отношения (5.5) в точке Лх=0 (при условии, что этот предел существует). Для обозначения правой (левой) производной функции в точке х используют символ ('(х+О) (('(х — О)(. Из сопоставления определений 1 и 2 и из свойства правого и левого пределов функции, установленного в и.
2 Э 4 гл. 3*, вытекают следующие утверждения: 1) если функция ((х) имеет в точке х производную ('(х), то эта функция имеет в точке х как правую, так и левую производные, причем 1'(х+О) =1'(х — О) =('(х); 2) если функция ((х) имеет в точке х как правую, так и левую производные, причен эти производные разнос друг другу, то функция ((х) имеет в точке х производную ('(х), причем ('(х) =('(х+О) =-)'(х — О).
В дополнение к утверждению 2) следует отметить, что если у функции 1(х) существуют правая и левая производные в точке х. но эти производные не равны друг другу, то у этой функции не * Если функция ((х) имеет в точке х и правый, и левый пределы, обо равные одному н тому же числу Ь, то функция 1(х) имеет в этой точке предел, равный числу Ь. 192 Гл.
5. Г«ифферен««иальное исчисление существует производной в точке х". Примером такой функции может служить функция хприх>О, ( — х при х( О. Эта функция имеет в точке х=О правую производную, равную Лх ( — Лх) 1пп — = 1, и левую производную, равную 1пп = — 1, лх-«О ах ьх о Лх но не имеет в точке х=О производной, 3. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции у=у(х), определенной и непрерывной на интервале (а, Ь). Фиксируем произвольу ную точку х интервала (а, Ь) и рассмотрим прис ращение ЛхФ-.О аргумен- та х, настолько малое, и л«) т«х'лх)-Г«' ) что число х+Ьх также принадлежит интервалу Ах (а, Ь).
Пусть М и Р— точки графика функции )«о р«ах) у=((х), абсциссы кото- 0 в х хлхь х рык соответственно рав- ны х и к+ах (рис. 5.1). Рис. 5.1 Координаты точек М и Р, очевидно, будут иметь вид М (х, 1(х)), Р(к+бах, ~(х+Лх)). Прямую, проходящую через точки М н Р графика функции у=1(х), будем называть секущей. Поскольку точку М мы предполагаем фиксированной, то угол наклона каждой секущей МР к осн Ох будет функцией аргумента Лх (ибо значение Лх однозначно определяет точку Р графика функции у —.-Г(х)). Обозначим указанный угол наклона секущей МР к оси Ох символом ф(бх), О п р ед ел е н не, Если существует предельное положение секущей МР при стремлении точки Р графика функции к точке М (или, что то же самое, при стремлении Лх к нулю), то это предельное положение называется касательной к графику функции у=)(х) в данной фиксированной точке М этого графика, Из этого определения следует, что для существования касательной к графику функции у=1(х) в точке М достаточно, чтобы существовал предел 1пп р(ах)= «р„ причем указанный предел ьх-~о «ро равен углу наклона касательной к оси Ох.
" Иначе мы получили бы протиноречие с утверждением 1). Рзз $2. Понятие диффереицируемоети функции Докажем следующее ут ее рэкд ение; Если функция у=)(х) имеет в данной фиксированной точке х производную, то существует касательная к графику функции у=1(х) в точке М(х, 1(х)), причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной )'(х).
Опустим из точек М и Р перпендикуляры на ось абсцисс (см. рнс. 5,1). Проведем через точку М прямую, параллельную оси абсцисс, и обозначим через о' точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным из Р на ось абсцисс. Из треугольника МИР очевидно, что (Ь ) д«1(х+ дх) — !(х) Лх Лх Таким образом, Ф (ьх) = агс(я — «, Л« Лх (5.6) й 2. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕй(ОСТИ ФУНКЦИИ 1. Определение дифференцируемости функции.
Пусть, как и в предыдущем параграфе, функция у=1(х) определена на интервале (а, 5), х — любое фиксированное число из этого интервала, Лх — произвольное приращение аргумента, настолько малое, что значение аргумента к+ах также принадлежит интервалу (а, Ь), ау=((к+ах) — 1(х) — приращение функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх.
Определение. функция у=((х) называется дифференцируемой в точке х, если приращение ау этой функции в точке х, отве- Убедимся в том, что существует предел правой (а значит, и левой)' части (5.6) при Ьх- О. В самом деле, в силу существования про. изводной 1'(х) существует предел 1пп — «=7'(х). Отсюда и из диет Лх непрерывности функции агс1ди для всех значений и следует, что существует предел правой части (5.6), равный агс(Е)'(х). Итак, мы доказали, что существует предел 1пп <р(йх) =агс1Е~'(х). Но это и означает, что существует предельное положение секущей, т. е.
существует касательная к графику функции в точке М(х, 1(х)), причем угол наклона ~рв этой касательной к оси Ох равен ~ре=агс1и('(х). Значит, Угловой коэффициент Указанной касательной 1ЕФо Равен 1'(х). Сформулированное утверждение доказано. Гл. б. Дифференциальное исчисление 194 чающее приращению аргумента Лх, может быть представлено в виде Лу=АЛх+ а(Лх) Лх, (5.7) где А — некоторое число, не зависящее от Лх, а а(Лх) — функция аргумента Лх, бесконечно малая в точке Лх=О.
В самой точке Лх=О зта функция а(Лх), вообще говоря, не определена, и ей можно приписать в этой точке любое значение. Для дальнейшего удобно считать зто значение а(О) равным нулю. При такой договоренности функция а(Лх) будет непрерывна в точке Лх=О и равенство (5.7) можно распространить и на значение Лх=О. 3 а м е ч а н и е. Второе слагаемое в правой части (5.7) а (Лх) Лх можно переписать в виде о(Лх) *. В самом деле, так как обе функции а(Лх) и Лх являются бесконечно малыми в точке Лх=О, то произведение этих функций а(Лх)Лх представляет собой бесконечно малую в точке Лх=О функцию более высокого порядка, чем Лх (см. п.
5 9 4 гл. 3). Таким образом, представление (5.7) можно переписать в виде Лу=АЛх+о(Лх). Правая (а поэтому и левая) часть (5.8) имеет равный А предел в точке Лх=О*". Остается заметить, что предел при Лх- О левойчасти (5.8) (в случае, если он существует) по определению равен производной 1'(х). Итак, мы доказали, что если для функции 7(х) справедливо представление (5.7), то эта функция имеет в точке х производную )' (х), причем Г'(х) =А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
