В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Значит, существует предел (при Лх- О) н левой части (5.25). По определению производной указанный предел равен у'(х), и мы приходим к требуемому равенству у'(х) =и'(х) ~о'(х). 2'. Пусть, далее, у(х) =и(х)о(х). Сохраняя за Ли, Ло н Лу тот же смысл, что и выше, будем иметь Лу=у(х+Лх) — у(х) =и(х+Лх)о(х+Лх) — и(х)о(х) = =[и(х+Лх)о(х+Лх) — и(х+Лх)о(х)]+ [и(х+Лх)о(х) — и(х)о(х)]. (Мы прибавили и вычли слагаемое и(х+Лх)о(х).) Далее можем записать Лу=и(х+Лх) [о(х+Лх) — о(х)] +о(х)[и(х+Лх) — и(х)]= = и (х+ Лх) Ло+ о (х) Ли. Таким образом, — = и (х+ Лх) — + о (х) —, Лу Ьо Ли (5.26) Ьх Ьх Лх Пусть теперь Лх- О.
Тогда в силу дифференцируемости функций и(х) и о (х) в точке х существуют пределы отношений Ьи Ло — и —, соответственно равные и'(х) и о'(х). Далее, из дифЛх Дх ференцнруемости функции и(х) в точке х в силу теоремы 5.2 следует непрерывность и(х) в этой точке. Значит, существует предел 1пп и(х+ Лх), равный и(х). ах-~а Таким образом, существует предел правой части (5.26) при Лх- О, равный и(х)о'(х)+и(х)о'(х).
Значит, существует предел (прн Лх- 0) и левой части (5.26). 110 определению производной указанный предел равен у'(х), и мы приходим к требуемой формуле у'(х) =и'(х)о(х)+и(х)о'(х). Гл. З. дифференциальное исчисление 3'. Пусть, наконец, у('х) = "", Тогда, поскольку о('х)чьО, по о (х) теореме 4.11 об устойчивости знака непрерывной в данной точке х функции о(х+Лх)~0 для всех достаточно малых Ьх, н мы можем записать, что Ьу=у(х+ Лх) — у(х) = и(х+ Ьх) и(х) о(х+ Ьх) о(х) и(х+ Ьх) о (х) — о(х+ Ьх) о(х) о(х) о(х+ Ьх) Добавляя и вычитая в числителе слагаемое и(х)о(х), будем иметь (и(х+ Ьх) о(х) — и(х) о(х)1 — (о(х+ Ьх) и(х) — и(х) о(х)1 р о(х) о (х + Ьх) о(х)(и(х+ Ьх) — и(х)1 — и(х) (о(х+ ах — о(х)1 о(х) Ьи — и(х) Ьо о (х) о (х + Ьх) о(х)о(х+Ьх) Таким образом, Ьи . Ьо о (х) — — и (х)— Ьи Ьх Ьх (5.27) Ьх о(х) о(х+ Ьх) Пусть теперь Лх- О.
В силу днфференцируемости (и вытекающей из нее непрерывности) функций и(х) и о(х) в точке х существуют пределы 1пп — и=и'(х), 1пп — о =о'(х), 1пп о(х+ Лх) =о(х). ах-~о Ьх ах-ао Ьх ах о Таким образом, поскольку о(х)ФО, существует предел при Лх- 0 правой части (5.27), равный о(х) и' (х) — и(х) о'(х) оа (х) Значит, существует предел прн Лх- 0 и левой части (5.27). По определению производной указанный предел равен у'(х), и мы получим требуемую формулу у'(х) = и' (х) о (х) — о' (х) и (х) оа (х) Теорема 5.5 полностью доказана. Следствие из теоремы 55.
Если для функций и(х) и о(х) выполнены в данной точке х те же предположения, что и в теореме 5.5, то в этой точке х справедливы следующие соотношения для дифференциалов: $5, Производные простейших элементарных функций 205 Ы (и ~ о) = Ыи ~ сЬ, с( (и о) = и1и + исЬ, (5.28) ( и ) еаГп — шге Для установления соотношений (5.28) достаточно умножить равенство (5.24) на дх и воспользоваться универсальным представлением (5.12) дифференциала произвольной функции у=1(х) й 5.
ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ зш — = сов (х -1- — ) 2 По определению производной Ах зш (в1о х)'= 1пп — =1пп сов (х + — ) (5.29) зх.оЬх ех.~е~ ~ 2 ) (йх) В силу непрерывности функции у=сов х в любой точке х бесконечной прямой 1пн сов (х + — ) = сов х.
Ьх ~ дх-м>, 2 ) (5.30) Из вводной главы и из гл. 4 нам уже известно, что яр остей- шими элементарными функциями принято называть следующие функции: показательную функцию у=а* и логарифмическую функцию у=!опе х, рассматриваемые для любого фиксированного значения а такого, что 0(аФ1, степенную функцию у=х", где а — фиксированное вещественное число, четыре тригонометрические функции у=в(пх, у=совх, у=(нх и у=с(нх и четыре обратные тригонометрические функции у=агсв(пх, у=агссовх, у=агс1нх и у=агсс(нх.
В настоящем параграфе мы вычислим и систематизируем в таблицу производные всех простейших элементарных функций, уже выписанные нами в гл. 1. 1. Производные тригонометрических функций. 1'. Производная функции у=в(пх. Так как для этой функции Ьу= в1п(х+ Лх) — в1пх= 2 сов (х + — ) в1п —, Ьхт Ьх 2 ) 2 то при любом Ах~0 разностное отношение имеет вид Ах Гл. 3. Дифференциальное исчисление 206 Далее, в силу первого замечательного предела и элементарной Лх замены переменной 1=,— 2 Лх юп— 1нп 2, а1п1 =1пп — = 1.
дх о Лх ь о 2 (5.31) Из существования пределов (5,30) и (5.31) и из теоремы о пределе произведения двух функций вытекает существование предела в правой части (5.29) и равенство Лх мп— Лх1 2 (в)их)'= 1пп сои ) х + — ) =созх. дх о ~ 2 ) Лх 2 Итак (яп х)'=сов х (5.32) (для любой точки х бесконечной прямой). 2'.
П р о н з в о д н а я ф у н к ц и и у = сов х. Так как для любой точки х бесконечной прямой созх=яп (' — — х'), 1, 2 (соз х)' = [з)п ~ — — х) ~ = сов ~ — — х) ( — — х) = = соз ( — — х) ( — 1) = — яп х. 1, 2 Итак, (соз х) ' = — яп х (5.33) (для любой точки х бесконечной прямой). 51п х 3'. Производная функции у =1а х. Так как 1д х = соа х то в силу правила дифференцирования частногое*е и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой соз х4=0, Лх ' Очевидно, что 1= — "ч О при Лх-ьо. 2 чь,См. п.
! $3, формулу (3.13). а*4 См. 4 4, третью формулу (324). то по правилу дифференцирования сложной функции ** и по фор- муле (5.32) $ З. Производные простейших элементарных функций 207 / 5!П Х ! (5!ПХ) СО5Х вЂ” (С05Х) 51П Х ((я х)' — ~ (, СО5Х ) СО5' Х Соз Х+ 51П Х 1 с!и' х соза х Итак, ((йх)'1= ', =1+(а'х (5.34) — 51П Х вЂ” С05 Х 2 2 мп х 51П Х Итак, (с1йх)' = — — = — (1+ с1иа х) Мпа Х (5.35) (в любой точке хФПП, где о=О, ~1, ~2, +.3, ...).
2. Производная логарифмической функции. Пусть у=1ои,х, где 0<а4=1, х>0 — фиксированная точка. Тогда для любого достаточно малого ЛХФО Ьу 1ояа(к+Ох) — 1ойах 1 1 /1 Ьх 1 ЬХ Ьх 1 (1 По определению производной (!одах)'=1пп — = — 1нп 1од, ~ (1 + — ) Лу 1 ах ! ах ~ЬХ х ах-ао ", х (5.36) В силу второго замечательного предела и элементарной замены Лх ' переменной Вп ~(1+ — !! 1=1)ш ((1+() |=е.,'(5.37) ах * Так как х)О фиксировано, то т= — -2.0 при ЛХ-20.
Х в любой точке х~ — +пи, где П= О, -+-1, ~2, ...~. Саа К 4'. Производи а я фу н к ц и и у=с1дх. Так как с1йх=— 51п х то в силу правила дифференцирования частного и соотношений (5.32) и (5.33) в любой точке х, в которой 5(их~О, / СОБХ ! (СО5Х) 5!ПХ вЂ” (5!ПХ) ССЕХ ипх 51П Х Гл.
3. Дифференциальное исчисление Из существования предела (5.37) и из непрерывности функции у=!оа,х в точке х=е* вытекает, что предел в правой части ! (5.36) существует и равен — )он е. х Итак, (!од, х)' = — !оде е х (5.38) (для любых 0<ачь! и х>Р). В частности, при а=е (1п х)' = — (для любого х ) О).
3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций. Для вычисления производных указанных функций используем теорему 5.4 о дифференцировании обратной функции, доказанную нами в п. 2 Э 3 настоящей главы. 1. Производная функции у=а' (0<ачь1). Так как функция у=а«, определенная на всей бесконечной прямой — со<х<+оо, является обратной для функции х=!оц у, определенной на полупрямой 0<у<+со, и для функции х=!од,у в окрестности лчобой точки у полупрямой 0<у<+ос выполнены все условия теоремы 5.4, то в силу этой теоремы функция у=а" дифференцнруема в любой точке х=!оцеу и для ее производной в этой точке справедлива формула «1 1 у (ах) Рока у)' 1 !оке е — 1ояд е у (Мы использовали выражение (5.38) для производной логарифмической функции.) Из полученного равенства в силу элементарного соотношения 1 — =1па и соотноц1ения у=а«окончательно получим 1оке е (а") '= а" 1п а (5.39) (для любой точки х бесконечной прямой).
В частности, при а=е (е«) е« е В П. 2 4 3 ГЛ. 4 дОКаЗаНО, Ч«О фуНКНИя у=1ОК Х НЕПрЕрЫВНа Н ЛЮбОВ точке х)0. 2'. Производная функции у=агсыпх, Так как функция у=агсыпх, определенная на интервале — 1<х<1„является обратной для функции х=ып у, определенной на интервале — — < у С 2 $5. Производные простейших элементарных фунхцвй 209 п (-!- —, и для функции х=япд в окрестности любой точки д 2 интервала — ' — ( д( + — выполнены все условия теоремы 2 2 5.4, то по этой теореме функция д=агсз1пх дифференцируема в любой точке х=япд и для ее производной в этой точке справедлива формула (агсз1п х)'— 1 1 1 (5.40) (э!пр)' с!мр у 1 — в!и р Мы использовали равенство (5.32) и взяли перед корнем знак + в силу того, что созд положителен всюду на интервале 2 <д< + —. 2 Учитывая, что з!пд=х, мы окончательно получим из (5.40) (агсяп х)' = у' ! — хс (для всех х нз интервала — 1<х<+1).
3'. Производи ая фун кци н д=агссозх. Так как функция д=агссозх, определенная на интервале — 1<х<+1, является обратной для функции х= сов д, определенной на интервале 0<д<п, и для функции х=созд в окрестности любой точки д интервала 0<у<!с выполнены все условия теоремы 5.4, то по этой теореме функция д=агссозх дифференцируема в любой точке х=созд и для ее производной в этой точке справедлива формула (агссоз х)'— 1 1 1 (соэ р)' ( — э!и у) — у 1 — соэ' у Мы использовали равенство (5.33) и взяли перед корнем знак— в силу того, что япд положителен всюду на интервале 0<д<я. Учитывая, что сов д=х, мы окончательно получим из (5.41) ! (агссоз х)' =-— у 1 — хс (для всех х из интервала --1<х<+1). 4'.
Производная функции д=агс1пх. Так как функция д=агс1цх, определенная на бесконечной прямой — ос<х<+оо, является обратной для функции х=1пд, определенной на интервале — — (д( — ", и для функции х=1яд в окрестности каждой 2 2 ' (5.41) точки у интервала — — ( д ( — выполнены все условия теоремы л Я 2 2 5.4, то по.этой теореме функция д=агс1пх дифференцируема в каждой точке х=1пд н для ее производной в этой точке справедлива формула й)О Гл. 5. Дифференниальнсе исчисление 1 1 1 (агс(ях)'— (1иу) 1+ 1К~ у 1+ к' (Мы использовали соотношение (5.34).) Итак, (агс1дх)' = ! +х' (для любой точки х бесконечной прямой).
Б'. Производная функции у=агсс1нх. Так как функции у=агсс1их, определенная на бесконечной прямой — со<х<+со является обратной для функции х=с1ду, определенной на интервале 0<у<и, и для функции х=с1ду в окрестности каждой точки интервала 0<у<я выполнены все условия теоремы 3.4, то по этой теореме функция у= агсс1д х днфференцируема в каждой точке х=с(ну и для ее производной в этой точке справедлива формула 1 1 ! (агсс1а х)'— (с1ну)' — (1+с1неу) 1+х' (Мы использовали соотношение (5.35).) Итак, (агсс10 х) = —— 1 1+ хе (для любой точки х бесконечной прямой). 4.
Производная степенной функции. Пусть у=х, где а — любое вещественное число, х — любая точка полупрямой 0<х<+со. В гл. 4 мы уже рассматривали степенную функцию у=х как су. перпозицию логарифмической и показательной функций у = Ха = (аынае)а „а!%Р (где а — любое фиксированное число 0<аФ1). По правилу дифференцирования сложной функции у=а", где и = а 1оне х, получим у' = (а")' (ск! ой, х)' = а".1п а а — 1он е = к а иа а — =х" а — =сека — !, а!онх 1, 1 х х Итак, окончательно (х") '= ох (для любого х>О). 5. Таблица производных простейших элементарных функций. Соберем теперь в таблицу все вычисленные нами производные простейших элементарных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
