В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 48
Текст из файла (страница 48)
$ 3. Формула конечных приращений 227 ренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того, 1(а) =1(Ь). Тогда внутри сегмента [а, Ь] найдется точка й такая, сго значение производной в этой точке )т(й) равно нулю. Кратко можно сказать, что между двумя равными значениями дифференцируемой функции обязательно лежит нуль производной этой функции. До к аз а тельство.
Так как функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь], то согласно теореме 4.15 эта функция достигает па этом сегменте максимального значения М и своего минимального значения т. Могут представиться два случая: 1) М=т; 2) М)т. В случае 1) 1(х) =М=т=сопз(. Поэтому производная 7" (х) равна нулю в любой внутренней точке сегмента [а, Ь]. В случае М>т, поскольку )(а)=7(Ь), можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или т достигается функцией в некоторой внутренней точке $ сегмента [а, Ь].
Но тогда функция )(х) имеет в этой точке $ локальный экстремум. Поскольку функция 1(х) дифференцируема в точке $, то по теореме 6.2 1'(Е) =О. Теорема полностью доказана. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если «райние ординаты кривой у=)(х) равны, то согласно теореме л"-олля на кривой у=)!х) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (рис. 6.4). Как мы увидим ниже, теорема Ролля лежит в основе многих формул и теорем математического анализа. 3 а м е ч а н и е. В теореме Ролля требуется, чтобы функция у=)(х) была непрерывна на сегменте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Так как нз днфференцируемости )(х) во всех внутренних точках вытекает непрерывность 7" (х) во всех внутренних точках, то по существу вместо непрерывности [(х) на сегменте [а, Ь] можно было бы потребовать непрерывность (~х) в точке а справа и в точке Ь слева, $3.
ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИИ (ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА) Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая теорема, принадлежащая Лагранжу'. Теорема 64 (теорема Лагранжа), Если функиня 1(х) непрерывна на сеглюенте [а, Ь] и дифферениируема во всех внутренних точках этого сегмента, го внутри сегмента [а, Ь] найдется точка $ такая, что справедлива формула [(Ь) — [(а) — — )'(й) (Ь вЂ” а) . (6.1) Формулу (6.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
* Жозеф Лун Лагранж — великий франнузский математик и механик (1733 †!3). ггз Гл. 6. Основные теоремы о лифференцируемых функциях Доказательство. Рассмотрим на сегменте [а, Ь) следующую вспомогательную функцию Р(х) = ! (х) — )(а) — (х — а). ь — а (6.2) Проверим, что для функции Р(х) выполнены все условия теоремы Ролля.
В самом деле, Р(х) непрерывна на сегменте [а, Ь[ (как разность функции 1(х) и линейной функции) и во всех внутренних точках сегмента [а, Ь] имеет производную, равную Р'(х) = !'(х)— ь — а Из формулы (6.2) очевидно, что Р(а) =.Р(Ь) =О. Согласно теореме Ролля внутри сегмента [а, Ь[ найдется точка $ такая, что Р а) =Г(~) — "" — "' =О. (6.3) ь — а Из равенства (6.3) вытекает формула Лагранжа (6.1), Подчеркнем, что в формуле (6.!) вовсе не обязательно считать, что Ь)а, эта формула верна н при Ь(а.
3 а м е ч а н и е. Мы получили теорему Лагранжа как следствие теоремы Ролля. Заметим вместе с тем, что сама теорема ролла является частным случаем теоремы Лагранжа (прн 1(а) =1(Ь)). Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа Н ь) — !(а) заметим, что величина есть угловой коэффициент се. ь — а кущей, проходящей через точки А(а, 1(а)) и В(Ь, [(Ь)) кривой у=1(х), а !'(6) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=1(х), проходящей через точку ,но~ С(е [($)). Формула Лагранжа оФ (6.1) означает, что на кривой у= с в =1(х) между точками А и В найдется ~акая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ (рис. 6.5). ч' ~-- улм„° -.- а 6' Ь х вать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (6.!).
Пусть Рис. 6.5 [(х) удовлетворяет условиям теоремы 6.4. Зафиксируем любое хо из сегмента [а, Ь) и зададим ему приращение ах произвольное, но такое, чтобы значение хо+ +ах также лежало на сегменте [а, Ь). Тогда, записывая формулу Лагранжа для сегмента, ограниченного точками хо и хо+Ьх, будем иметь ~(хо+Ах) — 1(хо) =Ах('(6), (6.4) 229 й 4. Некоторые следствия на формулы Лагранжа где 5 — некоторая точка, лежащая между хо и хо+Лх. Можно утверждать, что найдется такое (зависящее от Лх) число О из интервала 0<6<1, что 9 =-хо+ ОЛх.
Таким образом, формуле (6.4) можно придать внд 1(хо+ Лх) — 1 (хо) = Лх)' (хо+ ОЛх), (6.5) где Π— некоторое число из интервала 0<0<1. Формула Лагран; жа в виде (6.5) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение Лх аргумента. Этот вид формулы Лагранжа оправдывает термин чформула конечных приращений». й 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА 1.
Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Т ео р е и а 6.5, Если функция ) (х) дифференцируема всюду на интервале (а, Ь) и если всюду на этом интервале 1'1'х) =О, то функция 1(х) является постоянной на интервале (а, Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х, — некоторая фиксированная точка интервала (а, Ь), а х — любая точка этого интервала. Сегмент (хо, х) или соответственно [х, хо] целиком принадлежит интервалу (а, Ь). Поэтому функция )(х) дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на этом сегменте. Это дает право применить к функции 1(х) на этом сегменте теорему Лагранжа; Согласно этой теореме внутри указанного сегмента найдешься точка 9 такая, что 1 (х) — ) (хо) = (х — хо) 1" (Ц).
(6.6) По условию производная функции 1(х) равна нулю всюду в интервале (а, Ь). Значит, 1'(9) =0 и из формулы (6.6) мы получим )(х) =)(ха). (6.7)' Равенство (6.7) утверждает, что значение функции 1(х) в любой точке х интервала (а, Ь) равно ее значению в фиксированной точке хо. Это и означает, что функция 1(х) постоянна всюду на интервале (а, Ь), Теорема доказана. Теорема 6.5 имеет простой геометрический смысл: если касательная в каждой точке некоторого участка кривой у=1"(х) параллельна оси Ох, то указанный участок кривой у=1'(х) представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Ох.
Замечание. Теорема 65 будет использована нами в гл. 8 чПервообразная функция и неопределенный интеграл». Во всем остальном гл. 8 является независимой от гл. 6 и 7 и может читаться сразу после гл. 5. 230 Гл. 6. Основные теоремы о дифференцируеиых функциях 2. Условия монотонности функции на интервале. В качестве второго следствия формулы Лагранжа рассмотрим вопрос об условиях, обеспечивающих неубывание (невозрастание) функции на данном интервале. Прежде всего напомним определения неубывания, невозрастания, возрастания и убывания функции на данном интервале. 1'. Говорят, что фуняция )(х) не убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь), если для любых точек х~ и хх из интервала (а, Ь), удовлетворяющих условию х1<хт, справедливо неравенство )(Х,)~()(Х2) ()(Х!)~))(Х2)). 2'.
Говорят, что функция )(х) возрастает (убывает) на интервале (а, Ь), если для любых точек хь х2 из интервала (а, Ь), связанных условием х,<хь справедливо неравенство ) (Х1) () (Х2) () (Х1) )) (Х2) ) . Теорем а 6.6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция )1Х) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале. Доказательство.
1) Достаточность. Пусть )'(х) '-0 ( -О) всюду на интервале (а, Ь). Требуется доказать, что )(х) ие убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь). Пусть х| и хв — любые две точки из интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию х,(хв. Функция )(х) дифференцируема (а значит, н непрерывна) всюду на сегменте (хь х2]. Поэтому к )(х) можно применить на сегмен.
те (хь х2) теорему Лагранжа, в результате чего получим )(Х2) )(Х!) = (Х2 Х1)) (6), (6.8) где х~ <с(хи. ' По условию Г'(К))0 (<О), хе — х,)0. Поэтому правая, а значит, и левая части (6.8) неотрицательны (неположительны), что и доказывает неубывание (невозрастание) Г(х) на (а, Ь). 2) Необходимость. Пусть функция )(х) дифферснцируема на интервале (а, Ь) н не убывает (не возрастает) на этом интервале. Требуется доказать, что )'(х) ~0 ((О) всюду на этом интервале. Так как )(х) не убывает (не возрастает) на интервале (а, Ь), то эта функция нс может убывать (возрастать) ни в одной точке интервала (а, Ь). Значит, в сплу теоремы 6.! производная )'(х) ви в одной точке интервала (а, Ь) не может быть отрицательной (положительной), что и требовалось доказать.
Теорем а 6.7, Для того, чтобы функция )(х) возрастала (убывала) на интервале (а, Ь), достаточно, чтобы производная ('(х) была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале. Доказательство проводится по той же схеме, 1то и доказательство достаточности в теореме 6.6. Пусть хь х2 — любые й 4. Некоторые следствия из формулы Лагранжа 231 две точки из интервала (а, Ь), удовлетворяющие условию х~(хь Записывая для сегмента [хь ха[ формулу Лагранжа, получим равенство (6.8), но на этот раз в этом равенстве ['(6) )О (<0), Вследствие этого левая часть (6.8) положительна (отрицательна), что и доказывает возрастание (убывание) ) (х) па интервале (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
