В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 51
Текст из файла (страница 51)
я(ха) Значит, справедливо неравенство — Ь~ < (|Ь! +|аам |) | ра,„|+|и,„„| . Ы(ха) Учитывая неравенства, стоящие в условиях (6.27) и (6.28), мы получим, что при всех п)пе (|Ь|+ |се „|). |р „|+ |а „|< / |Ь(-|- — ) .(- — "' =-в. 2 / |Ы+а/2 2 Итак, для произвольного фиксированного нами а>0 мы нашли номер по~та такой, что при всех и) и, ~ —,","„"', — Ь|<' Это и означает, что предел (6.19*) равен числу Ь и справед- ливо соотношение (6.20а). Таким образом, для случая конечно- го предела (6.18*) теорема доказана. 2) Пусть теперь предел (6.18') равен оо. Тогда, очевидно, предел обратного отношения 11гп ~ " будет равен нулю и по »-»а / (Х) только что рассмотренному нами случаю конечного предела (6.18*) мы получим, что а 1пп — = О. а(х) х-»а /(Х) Последнее соотношение с учетом (6.17*) эквивалентно тому, что 1(щ — = оо, /(х) к- д(х) Теорема 6.9" полностью доказана.
* Мы учитываем, что для обратного отношения выполнены все условия теоремы 6.9'. В частности, производная Г(х) пе обращается в нуль в достаточно малой проколотой Ь.окрестности точки а. (Это вытекает из существования равного са предела (6.26') и из необращения в указанной проколотой 4-окрестности производной а'(х).) 24В $ 6. Раскрытие иеопрепелепиостей Так же как и теорема 6.9, теорема 6.9* остается справедливой в каждом из следующих трех случаев: 1) в случае, если в этой теореме в качестве множества С, взять интервал (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)), а все пределы (6.17*) — (6.20*) взять при х-иа+О [соответственно при х- а — 01; 2) в случае, если в качестве множества С, взять совокупность всех х, лежащих вне сегмента [ — б, 6), а все пределы (6.17*)— (6.20*) взять прн х-е- оо; 3) в случае, если в качестве множества С, взять полупрямую* (6, + оо) [соответственно ( — оо, — 6)1, а все пределы (6.17*)— (6.20«) взять при х- + оо [соответственно при х-к- — оо|.
Обоснование справедливости теоремы 6.9* в этих трех случаях может быть заимствовано из предыдущего пункта. Примеры. 1) !пк Игп )/х !пх = 1'пп к е+е «-,е+е к' "' 1пп = — 211ш~/х = О. к е+е ~ ) .— За кое+а 1 2 2) и-кратным применением правила Лопиталя вычисляетсж предел .»" . и»к ' . и(и — 1)»" ' . и1 1пп — .=- 1пп — = 1!ш = ... = !пп — ' = О. ек кы-1- ~ е» кк-1. е" к-к+ к 3. Раскрытие неопределенностей других видов. Кроме изучен- О оо ных выше неопределенностей видов — и —, часто встречают- О сс ся неопределенности следующих видов; 0 оо, оо — оо, 1, О, оое.
Все эти неопределенности сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований. Покажем это, например, по отношению к последним трем из указанных выше неопределенностей, Каждая нз этих неопределенностей имеет вид у=[(х)ж»1, (6.29 й где при х — ка функция !(х) стремится соответственно к 1, 0 или оо, а д(х) стремится соответственно к оо или О. Логарифмируя выражение (6.29), получим (считая, что 1(х) >0) 1п у= д(х) 1п [(х). (6.30) Для нахождения предела выражения (6.29) достаточно найти предел выражения (6.30). Заметим, что в любом из трех рассматриваемых случаев выражение (6.30) представляет собой при х-иа неопределенность 244 Гк. О.
Основные теоремы о нифференцируемых функциях вида О.оо. Значит, достаточно научиться сводить неопределен- О оо ность вида О. о к неопределенности вида — или —. Покажем, О оо как это делается. Итак, пусть х=«р(х) ф(х), (6.31) причем 1!гп «р(х) = О, 1пп «р(х) = оо.
к-аа Перепишем (6.31) в виде х =«р(х) «р(х) = 1 'Их) (6,32) 1 !ип (1пу) 1нп = 1пп — =- — 1нп х=О. !их . х к-и«+е к->О+0»-и«+е к-~О+0, 1 1 х ке Отсюда ясно, что 1пп у=1. к.+о+о « ! 2) 1«гп (1+ х') ' — '-'. Пусть у =- (1 + х') ' — '-'. к.ав Тогда 1пу= 1 1и (1 + х'). ек — 1 — к Пользуясь правилом Лопиталя, получим 2» 1+хе 1ип (1 п у) = 1пп 1п(1+ ха) = 1нп к~п кое е" — 1 — х к е е» вЂ” 1 = 1!гп 2к = 1пп к- е (е" — 1)(1+ хе) к- е ек(1+ хе) Отсюда ясно, что Нт у = ее.
к е 2 = 2. -1- (е" — !)2к Очевидно, выражение (6.32) представляет собой при х — иа неопре- О деленность вида —, Наша пель достигнута. О' При мер ы, 1) Вычислить !пп х'. Обозначим у=хи. Тогда к-~о+в !их !пу=х1пх= —. Применяя правило Лопиталя, будем иметь 1 х 5 7. Формула Тейлора 245 $7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В этом параграфе мы установим одну нз важнейших формул математического анализа, имеющую многочисленные приложения как в математике, так н в смежных дисциплинах. Теорема 610 (теорема Тейл ораз).
Пусть функция ) (х) имеет в некоторой окрестности точки а производную поряд. ка ев п+1 (и — любой фиксированный номер). Пусть, далее, х— любое значение аргумента из указанной окрестности, р — произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка й такая, что справедлива следующая формула: 7(х) = 7(а)+ — (х — а) + (х — а)'+ ... Р(а) )г )(о) 21 1(л)(п) + (х — а)" + И+) (х), п) (6.33) где 11")() (.
о) (6 3г) Далее обозначим символом )с„+) (х) разность гс„+)(х) =) (х) — гр(х, а). (6.36) * Брук Тейлор — английский математик (1685 — 1731). ** Отсюда вытекает, что сама функция 1(х) и ее производные до порядка и непрерывны в указанной окрестности точки о. '*' Эту форму остаточного члена называют также формой Шлем ил ьх а†Ро ш а. л.,(.)=(" ')'' "" ~+)а. 1 х — й / п1р (6.34) Замечание. Так как точка 4 лежит между х и а, то дробь х — и — всегда положительна, а поэтому для любого р>0 опредех — $ х — о )Р лена степень '1 х — $,) Формула (6.33) называется формулой Тейлора (с центром в точке а), а выражение ))) +,(х) называется остаточным ч л е н о м. Как мы увидим ниже, остаточный член может быть записан не только в виде (6.34), но и в других видах.
Принято называть остаточный член, записанный в виде (6.34), остаточным ч л е н о м в о б щ е й ф о р м е '""*. До к а з а тельство. Обозначим символом гр(х, а) многочлен относительно х порядка и, фигурирующий в правой части (6.33), т. е. положим <р (х, а) = 7'(а) + — (х — а) -(- (х — а)з + ...
+ Г(о) (!2)( 11 21 246 Гл. 6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема будет доказана, если мы установим, что )т„+!(х) определяется формулой (6.34). Фиксируем любое значение х из окрестности, указанной в формулировке теоремы. Ради определенности будем считать, что х)а. Обозначим через г переменную величину, имеющую областью своего изменения сегмент [а, х), и рассмотрим вспомогательную функцию тр(!) следующего вида: тй(!) =)(х) — <р(х, !) — (х — г) и~(х), (6.37) где я (х) ) я+1(х) (х — а)я ' Подробнее тр(!) можно записать так: ф(г) =П ) — И) — '"' ( — ) —" )! (6.38) — (х — г)" — (х — !)" )~ (х).
7!"! ОО а! (6.39) Отсюда на основании (6.36) получим тр(а) =О. Равенство зр(х) =-О сразу вытекает из формулы (6.39). Ирак, для функции тр(Г) на сегменте (а, х) выполнены все условия теоремы 6.3 (Ролля). На основании этой теоремы внутри сегмента [а, х) наидется точка й такая, что ф'(;) =О. (6.40) Подсчитаем производную ф'(!). Дифференцируя равенство (6.39), будем иметь Это вытекает из того, что из условия существования у функцки [(!) в окрестности точки а производной порядка а+! вытекает непрерывность самой функции )(!) и всех ее производных до порядка и в указанной окрестности точки а, а потому и на сегменте [а, х).
Далее можно утверждать, что сама функция !" (О к все ее производвые до порядка п один раз диффереицнруемы всюду в указанной окрестности точки а, а потому и всюду внутри сегмента [а, к). Наша цель — выразить Я(х), исходя из свойств введенной нами функции ф(Г). Покажем, что функция зр(!) удовлетворяет на сегменте [а, х1 всем условиям теоремы 6.3 (Ролля). Из формулы (6.39) и из условий, наложенных на функцию )(х), очевидно, что функция тр(!) непрерывна на сегменте [а, х) н дифференцируема но всех внутренних точках этого сегмента".
Убедимся в том, что зр(а) =тр(х) =О. Полагая в (6.37) )=а и принимая во внимание равенство (6,38), будем иметь ф(а) =)(х) — <р(х, а) †)св+!(х). 247 $7. Формула Тейлора (р (а, а) = 7 (а), р'(а,а) = 7'(а), (р(я (а, а) = 7(е( (а), (6.44) (р(л) (и и) = ((л( (а) (р (г) = — 1 (г) + — — (х — 1) + 2 (х — 7) —... 1'1() 1("00 1(и(() (( (( 2! 1(л(1() 1(л+(((О ..
*+ и(х — 1)" ' — (х — 1)л + р(х — 1)л — ( () (х). л( л! (6.41) Легко видеть, что все члены в правой части (6.41), за исключением последних двух, взаимно уничтожаются. Таким образом, 1(л+и (() (р'(() = — (х — 1)л -(- р (х — 1)л — ' Я(х). (6.42) л! Полагая в формуле (6.42) 1=$ и используя равенство (6.40), получим — +' а()= ' " ~" а (6.43) л(р Сопоставляя (6.43) и (6.38), окончательно будем иметь (к л)л+( )р„~,(х) = (х — а)ля(х) = ( — '1 ~ ~("+о я) , к — $/ л!р Случай, когда х(а, рассматривается совершенно аналогично. Теорема доказана. Найдем разложение по формуле Тейлора простейшей функции — алгебраического многочлена и-го порядка.
Пусть ( (х) = Соха + С(хл — '+ ... + С„,х+ С„. Тогда, поскольку 7(л+о(х) = — О, остаточный член Р„+((х) =0 и формула Тейлора (6.33) принимает вид р (х) = 7'(а) + — (х — а) + (х — а)а + ... + — (х — а)", 1'(а) (! 2! л( (Здесь в качестве а можно взять любую точку бесконечной прямой.) Таким образом, формула Тейлора позволяет представить любой многочлен )(х) в виде многочлена по степеням (х — а), где а — любое вещественное число.
Пусть теперь 1(х) — произвольная функция, удовлетворяющая условиям теоремы 6.10. Постараемся выяснить, какими свойствами обладает многочлен (6.35), фигурирующий в формуле Тейлора для втой функции. Как и выше, будем обозначать этот многочлен символом (р(х, а). Символом (р(л>(х, а) обозначим п-ю произволную (р(х, а) по х. дифференцируя формулу (6.35) по х и затем полагая х=а, мы получим следующие равенства: 248 Гл.
6. Основные теоремы о дифференцируемык функциях Таким образом, фигурирующий в формуле Тейлора для произвольной функции ((х) многочлен ~р(х, а) обладает следующим свойством: он сам и его производные до порядка и включительно равны в точке х=а соответственно 1(х) и ее производным до порядка и. й В. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОСТАТОЧИОГО ЧЛЕНА. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА 1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Выше мы установили формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме. Здесь мы установим другие возможные представления для остаточного члена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
