В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 49
Текст из файла (страница 49)
3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что положительность (отрицательность) производной Т'(х) на интервале (а, Ь) не явллетгл необа ход и м ы м условием возрастания (убывания) функции [(х) ни интервале (а, Ь). Так, функция у=х' возрастает на интервале ( — 1, +1), но производная этой функции ['(х)=Зх' не является всюду положительной иа этом интервале (она обрагцается в нуль в точке х=О) Вообще, легко доказать, что функция [(х) возрастает (убывает) на интервале (а, Ь), если производная этой функции ['(х) положительна (отрицательна) всюду на этом интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта производная равна нулю.
(Для доказательства достаточно применить теорему 6.7 к каждому из конечного числа интервалов„на которых Т'(х) строго положительна (отрицательна), и учесть непрерывность 1(х) в тех точках, в которых производная равна нулю.) Установленную теоремой 6.7 связь между знаком производной г1 направлением изменения функции легко понять из геометрических соображений. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной к графику у функции у=((х), знак производной указывает, острый или тупой угол с положительным направлением оси Ох составляет луч наса- тельной, лежащей в верхней полуплоскости.
Если [' (х) ) 0 всюду й а х на интервале (а, Ь), то всюду на этом интервале луч касательной, Рис. 6.6 лежащей в верхней полуплоскости, составляет с положительным направлением оси Ох острый угол, значит, и кривая у=-1(х) идет вверх всюду на этом интервале (рис. 6.6). 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной.
Теорема Лагранжа позволяет установить одно замечательное свойство производной. Начнем с доказательства следующей леммы. Л е и м а. Пусть функция у= — [(х) имеет конечную производную г*'(х) всюду на интервале (с, с+Ь) [на интервале (с — б, с)), гдв б — некоторое положительное число и, кроме того, имеет правую производную ['(с+О) [левую производную ['(с — 0)), Тогда, если производная ['(х) имеет в точке с правый предел [левый предел[, 232 Гл..б. Осноакые теоремы о дифференцнруемых функциях то этот предел совпадает с правой производной 1*'(с+0) [с левой производной !"(с 0)] ° Доказательство.
Из существования правой производной )'(с+0) [левой производной )'(с — 0) ] вытекает существование конечного предела ((х) — !(с] [ 1. ((х) — Цс) к с+о х — с [к-«с — о х — с Но это означает, что существует равный нулю предел 1пп (!'(х) — !'(с)) = 0 [ 1 пи (!'(х) — !"(с)) = 0], к«+о к с — о т. е. функция у=[(х) является непрерывной в точке с справа [слева].
Фиксируем любое х из интервала (с, с+6) [(с — 6, с)]. Так как функция у=)(х) дифференцируема (а значит, и непрерывна) всюду на указанном интервале и, кроме того, непрерывна в,точке с справа [слева], то для этой функции выполнены на сегменте [с, х] [на сегменте [х, с]] все условия теоремы Лагранжа 6.4. В силу этой теоремы между х и с найдется точка и такая, что справедливо равенство )(х) — )(с) (6 9) Перейдем теперь в равенстве (6.9) к пределу при х — «с+О [при х — с — 0].
Если производная ['(х) имеет в точке с конечный праь вый предел 1ип !'(х) [конечный левый предел 1пп [' (х)], то к с+о к с — О правая часть (6.9) обязана стремиться к этому пределу (ибо й-«с+О [5 — «с — О] при х-«с+О [х- с — 0]). Тот же самый предел при х- с+О [х- с — О] обязана иметь и левая часть (6.9). Но предел левой части (6.9) при х -с+О [х-«с — 0] по определению равен правой производной )'(с+ 0) [левой производной Г'(с — О)]. Лемма доказана. Применяя только что доказанную лемму в каждой точке с некоторого интервала (а, (з), мы придем к следующему утверждению: если функция [(х) имеет конечную производную всюду на интервале (а, Б), то эта производная ['(х) не может иметь на этом интервале ни точек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого рода.
В самом деле, если в некоторой точке с интервала (а, (з) существуют конечные правый и левый пределы функции ['(х), то 1'(х) непрерывна в точке с (в силу доказанной нами леммык). * В силу этой леммы !пп Р(х)=Р(с+0), !пп Р(х)=Р(с — 0), к-«с+О к с — О а поскольку р(с !0) =!'(с — 0) =р(с), то !!пз р(х)= !пп р(х)=! (с). к.«с-1 О к~ с — 0 Это и означает, что р(х) непрерывна в точке с.
233 4 4. Некоторые слелотвня на формулы Лагранжа Если же не существует хотя бы одного из пределов 1пп г' (х) а-~с+О и 1пп~'(х), то функция ('(х) по определению имеет в точке с а- а — о разрыв второго рода. Итак, производная 1'(х) в каждой точке с интервала (а, Ь) либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода, Сформулированное нами утверждение доказано. Приведем пример функции )(х), производная 1'(х) которой существует и конечна всюду на некотором интервале и имеет в некоторой точке этого интервала разрыв второго рода.
Рассмотрим на интервале ( — 1, +1) функцию ха соз — прн х Ф О, Г'(х) = л 0 при х= О. Очевидно, что для любого Х~О производная )"(х) этой функции ! ! существует и равна !" (х) = 2х соз — + яп —. Существование х л производной !'(Х) в точке х=О непосредственно вытекает из существования предела 1пп г(0+ Ьх) — 1(0) = 1(гп йхсоз — = О. ! а а Ах а о Ьх Производная 1'(х) не имеет в точке х=О ни правого, ни левого 1 пределов, нбо первое слагаемое 2хсоз — имеет в точке х=О 1 равный нулю предел, а второе слагаемое сйп — не имеет в точке х х=О ни правого, ни левого пределов.
(Это было доказано в примере, рассмотренном в п. 3 $5 гл. 4.) 4. Вывод некоторых неравенств. В заключение покажем, как с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены некоторые весьма полезные неравенства. В качестве примера установим следующие два неравенства: ~31ПХ1 31ПХа(~ ~Х! Ха~ ( агс1ях! — агс1дха~~~х,— х,~. (6.10) (6.11) (Здесь под х! и ха можно понимать любые значения аргумента.) Для установления неравенства (6.10) применим теорему Лагранжа к функции 1(х) =з(п х по сегменту (хь ха). Получим 3!пх1 з!п а= (х! ха)! (З), (6.12) Учитывая, что ~'(к) =-соз к и что )сов Я(1 для любого $, получим, переходя в (6.12) к модулям, неравенство (6.10).
234 Гл. 6. Основные теоремы о лифференцируемых функциях Для установления неравенства (6,11) следует применить теорему Лагранжа по сегменту [хь хв] к функции 1(х) =агс1Их и учесть, что у (С) = 1 < 1. 1+0 й В. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИИ (ФОРМУЛА КОШИ) В этом параграфе мы докажем теорему, принадлежащую Коши и обобщающую установленную выше теорему Лагранжа.
Теорема 6,8 (теорема Коши). Если каждая из двух функций )(х) и у(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, крол~в того, производная у'(х) отлична от нуля всюду внутри сегмента [а, Ь], то внутри этого сегмента найдется точка $ такая, что справедлива формула (6.15) 1(Ь) — Ка) 1'(Е) (6.13) у(Ь) — д(а) у'($) Формулу (6.13) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.
Доказательство. Прежде всего докажем, что у(а)~д(Ь). В самом деле, если бы это было нс так, то для функции д(х) были бы выполнены на сегменте [а, Ь] все условия теоремы 6.3 (Ролля) и по этой теореме внутри сегмента [а, Ь] нашлась бы точка $ такая, что у'(Е) =О. Последнее противоречит условию теоремы. Итак, у(а)злу(Ь), и мы имеем право рассмотреть следующую вспомогательную функцию: Е (х) = Г (х) — Г (а) — Д ) ~~ ) [у (х) — д (а)].
(6. 14) Е(Ь) — у(а) Б силу требований, наложенных на функции [(х) и д(х), функций Е(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и днфференцнруема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, очевидно, что Е(а) =Е(Ь). Таким образом, для Е(х) выполнены все условия теоремы 6.3 (Ролла). Согласно этой теореме внутри сегмента [а, Ь] найдется точка с такая, что Е'(Е) =О. Имея в виду, что Е'(х) =1 (х) — д'(х), и используя у(Ь) — у(а) равенство (6.15), будем иметь [ (Е) — "" "' у (Ь) = О. (6. 16) я(а) — Е(Ь] Учитывая, что д'Я)зеО, из равенства (6.16) получим формулу Коши (6.13). Теорема доказана. 265 6 6. Раскрытие неопределенностей Замечание 1. Формула Лагранжа (6.1) является частным случаем формулы Коши (6.13) при у(х) =х. Замечание 2. В формуле (6.13) вовсе не обязательно считать, что (г>а.
Эта формула верна и при у<а. 5 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) 1. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что 0 0 отношение двух функций — представляет собой при х- а 1(х) д(х) 0 неопределенность вида †, если О 1пп 1(х) = 1пп д (х) = О. 1!шг(х) =1!гпту(х) = О. х а х а Тогда если существует (конечный или бесконечный) предел В Р() хыа Я'(Х) (6.17) (6.18) то существует и предел 1!гп —, 1(х) х а у(х) причем справедливо соотношение ! пп — =! !гп— ях) . Т(х) х а я(х) к а Е'(х) (6.19) (6.20) " Гильом Франсуа де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704). Напомним, что проколотой б-окрестностью точки о называется интервал (а — б„а+б) с выкинутой точкой а (при условии, конечно, что 6)0).
Раскрыть эту неопределенность — зто значит вычислить предел 1!гп — (прн условии, что этот предел существует). Лх) х-а у(х) 0 Аналогично вводится понятие неопределенности вида — при 0 х — ьа+0 [х — ьа — О[, прн х- оо, а также при х — ь-+ оо [х-ь — оо], Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности О вида — для предела в точке а. О Теорема 69 (первое правило Лоп итал я"). Пусть лгножество С, представляет собой проколотую б-окрестность точки а**, функции 1(х) и д(х) определены и дифференцируемы на Са и, кроме того, производная у'(х) не обращается на Сь в нуль. Пусть, далее, хзб Гл.
б. Основные теоремы о днфференцнруемых функциях Теорема 6.9 дает правило раскрытия неопределенности вида Π— сводящее вычисление предела в точке а отношения двух о функций к вычислению предела в этой точке отношения производных этих функций. Доказательство. Пусть (х») — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел отличных от а.
Доопределим функции 1(х) и д(х) в точке а, положив нх равными нулю в этой точке. При таком доопределении функции 1(х) и я(х) окажутся непрерывными всюду на множестве С,, дополненном точкой а, т. е. всюду в 6-окрестности точки а. В самом деле, непрерывность 1(х) и д(х) во всех точках б-окрестности точки а, за исключением самой точки а, вытекает из их диффсренцирусмостн в этих точках, а непрерывность 1(х) н л(х) в точке а вытекает из того, что в силу нашего доопределення этих функцнх их пределы в точке а равны частным значениям в этой точке. Учитывая, что все элементы последовательности (х») принадлежат множеству С„рассмотрим произвольный сегмент, ограниченный точками а и х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
