В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1'. (ха)'=ах' — ' (х>0). й З Производные простейших элементарных функций 211 В частности, 11 — ~ = — —, (у х)'= 1 х, хе ' 2утх 2'. ()оя, х)' = — 1од,е (О < а ф 1, х ) 0). Х В частности, (1пх)' = —. 3'. (а )'=а'!па (0<аФ1). В частности, (е")'=е', 4'. (ыпх)'=созх. б'. (созх)'= — ыпх. 6'.
(ах)'= =1+1яах (х~ — "+пп; и=О, ~1,...~ Сез' Х 2 7'. (с1их)'= — ' — = — (1+с(пах) (х~пи; п=О, ~-1, ...). 51п' х 8". (агсз!пх)'=14~'1 ~— ха ( — 1 < х< + 1). 9". (агссозх)'= — — 1Д'1 — х' ( — 1<х<+1). 10". (агс1я х) ' = 1+ х' 11'. (агсс1д х) ' = —— 1+ха В гл. 4 мы ввели в рассмотрение четыре гиперболические функции у=з)1 х, у=с)1х, у=й х и у=с(11 х, являющиеся простыми комбинациями показательных функций. Из представления этих функций через показательные функции элементарно вытекают следующие выражения для их производных: 12'. (51тх)'=с(тх. 13 .
(с(1 х) '= зй х. 14'. (Йх)'=— спзх ' 13'. (с()1х)'= — — (хФО). ап х Установленная нами таблица производных вместе с правилом дифференцирования сложной функции (установленным в п. 1 2 3) и правилами дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (установленными в $4) составляет вычислительный аппарат той части математического анализа, которую принято называть дифференциальным и сч и слепнем.
В гл. 1 и 4 мы уже ввели понятие элементарной функции, как такой функции, которая выражается через простейшие элементарные функции посредством четырех арифметических действий и суперпознций, последовательно прнмсняемых конечное число раз. Из установленной нами таблицы производных и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции вытекает следующии важный вывод: производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную 212 Гл. 5. Дифференциальное исчисление функцию, т.
е. операции дифференцирования нв выводит нас из класса элементарных функций. 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций. В и. 3 3 3 мы установили, что дифференциал ау функции у=)(х) всегда равен производной этой функции Г'(х), умноженной на дифчреренциал аргумента ах. Поэтому установленная нами таблица производных сразу же приводит нас к соответствующей таблице дифференциалов простейших элементарных функций.
1'. с((х )=а х Чх. 111 1 — 1 В частности, й ( — ) = — ах, а ()~ х) ==с(х. (,х) ха 2 и' х 2 . с((1од,х) = — !оу,едх (О < а =~ 1, х >О). .В частности, а(1п х)= —. ох х 3". Н(а ') =ах 1п адх (0<аФ1). В частности, а(вх) =ехс(х. 4'. И(зцпх) =созхс(х. 5'. д (соз х) = — з(п хах. 6 с((1ух) = " =(1+1дах)дх соха х хчь — + па; п=О, ~ 1, ~2,...). 7 . й (с1я х) =- — — = — (1+ с1ца х) йх [х Ф пп; а=О, ~1, ...) 31иа х '8".
с1(агсздп х) = дх/$' 1 — х' ( — 1 < х < + 1). 9". й (агссоз х) = — йхФ 1 — х' ( — 1 < х < + 1). 10'. с((агс(их) =— 1+ха ох 11'. й (агс(я х) = — —. 1+ ха 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции. Пусть функция у=1(х) положительна ч1 дифференцируема в данной точке х. Тогда и сложная функция аргумента х вида ш=1пу, где у=1(х), в силу теоремы 5,3 будет также днфференцируема в указанной точке х, причем для производной этой сложной функции по аргументу х будет справедлива формула (5.42) ]1п) (х)]' = (1пу)' у' = — = —.
у 1(х) Величину (5.42) принято называть лога риф м ячеек ой и р о и з в о д н о й функции у=1(х) в данной точке х. Логарифмическая производная может быть использована для вычисления производных некоторых функций, не являющихся простейшими элементарными. $6. Производные и днфференпналы высших порядков 213 В качестве примера вычислим производную так называемой степенно-показательной функции, т.
е. функции вида у=и(х)"< >, где и(х) н о(х) †д функции, дифференцируемые в данной точке х, первая из которых и(х) строго положительна в этой точке. При таких ограничениях функция и=!ну> п(х) 1пи(х) будет дифференцируема в данной точке х. В самом деле, в силу теоремы 5.3 функция !и и(х) дифференцируема в точке х. Значит, на основании теоремы о дифференцируемости произведения двух дифференцируемых функций можно утверждать дифференцируемость в данной точке х и функции и=!пуе а(х) 1пи(х), причем в силу второй формулы (5.24) (1пу)'=и'(х)1пи(х)+ о(х) 1!пи(х)['= = о'(х)1пи(х)+о(х) —.
и (х) Из (542) и (5.43) получим, что — =о'(х)1пи(х)+ п(х)— р и'(х) р и (х) Учитывая, что у=и(х) а<х>, окончательно получим следующеевыражение для производной степенно-показательной функции; (и (х)'1'>)' =и (х)'"> [и' (х) !пи (х) + п(х) — 1. (5.44) и(х) 1 Формула (5.44) справедлива в предположении, что и(х) н п(х) дифференцируемы в данной точке х и и(х) >О в этой точке.
(5.43) й 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ а Для обозначения второй производной используют также символм млн у". 1. Понятие производной и-го порядка. Как уже отмечалось в и. 2 3 1, производная 1'(х) функции у=((х), определенной и дифяреренцируемой на интервале (а, Ь), представляет собой функцию, также определенную на интервале (а, Ь). Может случиться, что функция 1'(х) сама является дифференцируемой в некоторой точке х интервала (а, Ь), т. е.
имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную называют в т о р о й и р о и з в о д н о й (или производной второго порядка) функции у= — 1(х) в точке х и обозначают символом [1Я>(х) или у!Я> а. После того как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т. д. Если предположить, что нами уже введено понятие (и — 1)-й производной и что (и — 1)-я производная дифференцнруема в некоторой точке х интервала (а, Ь), т. е. Гл. о.
Дифференциальное исчисление 214 имеет в этой точке производную, то указанную производную называют п-й производной (или производной и-го порядка) функции у=((х) в точке х и обозначают символом )>о>(х) или у>в>. Таким образом, мы вводим понятие и-й производной индуктивно, переходя от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее и-ю производную, имеет вид у!а> (у(а — ») т (5.45) Функцию, имеющую на данном множестве (х) конечную производную порядка и, обычно называют и раз дифференцнруемой на данном множестве. Понятие производных высших порядков находит многочисленные применения. Здесь мы ограничимся тем, что укажем механический смысл второй производной. Если функция у=)(х) описывает закон движения материальной точки вдоль осн Оу, то, как мы уже знаем из гл, 1, первая производная Г'(х) дает мгновенную скорость движущейся точки в момент времени х.
В таком случае вторая производная 1<з>(х) равна скорости изменения скорости, т. е, равна ускорению движущейся точки в момент времени х. Методика вычисления производных высшего порядка предполагает умение вычислять только производные первого п о р я д к а, ибо последовательное применение формулы (5.45) есть не что иное, как многократное вычисление первых производных. В качестве примеров вычислим производные и-го порядка некоторых простейших элементарных функций. 2.
и-ые производные некоторых функций, 1'. Вычислим п-ю производную степенной функции у =х (х>0, а — любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, будем иметь у'=ах ', уа>=а(а — 1)х'-Я„у<в>=а(а — 1) (а — 2)х' ', .... Отсюда легко уяснить общий закон (ха)>л> а (а ]) (а п.) 1) хо — в ~ ! Строгое доказательство этого закона легко проводится методом математической индукции. В частном случае а=>и, где и — натуральное число, получим (Хю)1 >=па!, (Х )ги>=(> Прн И>ит. Таким образом, п-я производная многочлена и-го порядка при п>ги равна нулю"'. а Прн атом мы используем следуюгцую очевидную формулу: (Аи(х) + +Во(х)]"=Ан>'>(х)+Во>">(х), где А и  — постоянные.
$6. Производные и дифференциалы вывших порядков 216 2'. Далее вычислим л-ю производную показательной функции у=а". Последовательно дифференцируя, будем иметь у'=а"!пх, у(а!=а"!пех, уы(=а'!пва, .... Общая формула, легко устанавливаемая по методу индукции, имеет внд (ая)(Ю =- а' 1и" а. ~ !я— В частности, (ех)(ш ея ~ ! 3'.
Вычислим л-ю производную функции у=-з!их. Первую производную этой функции можно записать в виде у' = соз х =- в!и (х + — 1. Таким образом, дифференцирование 2 / функции у=з!их прибавляет к аргументу этой функции величину — Отсюда получаем формулу ,2 ! ( -('= (*~ — "(. ! 2 / 4'. Совершенно аналогично устанавливается формула ( е = (*~ — '(./ 2 / 5'.
Вычислим л-ю производную функции у=агс!их. Докажем с помощью метода математической индукции, что справедлива следующая формула: (агс1их)(я(= ~ абп (л(агс1йх+ — )1. (5.46) (1 ! хе)л/а 2 / Учитывая, что у=агс!дх, х=!яу, 1 1 = соз'у, мы 1 + х' 1 + (аа у, можем переписать устанавливаемую формулу в виде у(е( = (л — 1) ! соз" у з! и ~ и ( у + — ) 1, (5.46*) 2 / Убедимся методом индукции в справедливости формулы (5.46*).
При л=1, в силу п. 3 $5, у'=(агс!як)'= — =савау.То же ! 1+х' самое выражение получается при л=1 из (5.46*) (достаточно учесть, что з!и ! у+ — 1! =сову). 2 / Таким образом, ири л= 1 формула (5.46е) справедлива. 2(б Гл. б. Дифференциальное исчисление Предположим теперь, что формула (5.46е) справедлива для некоторого и', и убедимся, что в таком случае зта формула справедлива н для следующего номера п+1. В самом деле, производя дифференцирование (5.46е), получим у(о+и = (и — 1) ! — ( соз" у з(п ~ и ~ у + — ") ~ ~ = = (л — 1)! — ~сж" уз(п ~л (у+ —.) ~ ~ — ~ = = (и — 1) ! ~ — (созе у) з)п ~ и ( у + — ~ ~ + 1~ + соз" у — ~з!пи (у + — ") 11'у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
