В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2) Достаточность. Пусть существует конечная производная Г'(х), т. е. существует конечный предел ! нп — = ) ' (х). и оЛх (5.9) ч Напомним, что символ о(бх) обозначает бесконечно малую в тогке Ли=о функцию более высокого порядка, чем Лх. *ч Нбо Нп1 Д=Д Нсп п=б Дх-тв Ьх-О Докажем следующее утверждение. Теорем а 5.1. Для того чтобы функция у=1(х) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную Г'(х).
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция у= =1(х) дифференцируема в точке х, т. е. ее приращение Лу в этой точке, отвечающее приращению аргумента Лх, представимо в виде (5.7). Считая Лх отличным от нуля и поделив (5.7) на Лх, получим — =А+ я (Лх). (5.8) Лх $2. Понятие дифференцируемости функции 195 Обозначим символом а(Ьх) разность — — 7 (х), т. е. поля ох ложим сс(тех) = —" — 7' (х). (5.10) ох Из существования предела (5.9) вытекает, что функция а(стх), определяемая соотношением (5.!0), имеет предел при стх- О, равный нулю, Умножая соотношение (5.10) на Лх, мы придем к представлению сту=!'(х) стх+а(стх) стх, совпадающему с представлением (5.7) при А =!'(х).
Тем самым доказано, что из существования конечной произ- водной !'(х) вытекает дифференцируемость функции у=!(х) в точке х, причем в условии дифференцируемости (5.7) число А совпадает с !'(х). Теорема доказана. Доказанная теорема позволяет нам в дальнейшем отождест- влять понятие дифференцируемости функции в данной точке с по- нятием существования у этой функции в данной точке конечной производной. Операцию нахождения производной в дальнейшем договоримся называть дифференцирование м.
2. Дифференцируемость и непрерывность. Легко доказывается следующее утверждение. Т е о р е м а 5.2. Если функция у=!(х) дифференцируеиа в данной точке х, то она и непрерывна в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция 7(х) диффереицируе- ма в точке х, то для ее приращения цу в этой точкс справедливо представление (5.7), из которого следует, что !пп сту=О, а это и, о н означает непрерывность функции у=7(х) в данной точке (в силу разностной формы условия непрерывности (5А), введенной в и; ! $ 1).
Теорема доказана. Заметим, что утверждение, обратное к теореме 5.2, несправед- ливо, т. е. из непрерывности функции у=!(х) в данной точке х, вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции )(х) в этой точке. Примером может служить функция у= ~!х~(, которая, очевидно, непрерывна в точке х=О, но (как мы уже видели в конце п. 2 э !) не имеет в этой точке производной. Отметим, что существуют функции, непрерывные в каждой точ- ке некоторого интервала, но не имеющие производной ни в одной точке этого интервала.
(Первый пример такой функции был по- строен Вейерштрассом, Один из примеров такой функции строится в дополнении к гл. 10.) 7' 196 Гл. Б. дифференциальное исчисление 3. Понятие дифференциала функции. Рассмотрим функцию у=)(х), дифференцируемую в данной точке х.
Приращение Лу такой функции в точке х может быть представлено в виде (5.7). Заметим, что приращение (5.7) представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых АЛх линейно от н о сите л ьно Лх, а втрое а(Лх)Лх является в точке Лх=О бесконечно м алой ф ун кц и е й б олее высокого по р ядка, чем Лх. Если число А, равное согласно теореме 5.1 производной Г'(х), отлично от нуля, то указанное первое слагаемое АЛх=Г'(х)Лх представляет собой г л а в н у ю ч а с т ь приращения Лу дифференцируемой функции у=1(х).
Эта главная часть приращения является линейной однородной функцией аргумента Лх" и называется дифференциалом функции у=7(х). В случае„если А=Г'(х) =О, дифференциал функции по определению считается равным нулю. Итак, дифференциалом функции у=7(х) в данной фиксированной точке х, отвечающим приращению аргумента Лх, называется число, обозначаемое символом йу и равное йу=Г'(х)Лх. (5.11) В случае Г'(х)4=0 это число представляет собой главную часть приращения Лу функции у=)(х), линейную и однородную относительно приращения аргумента Лх. Сразу же отметим, что дифференциал йу и приращение Лу функции у=)(х) в данной точке х, оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Лх, вообще говоря, не равны друг другу.
Это легко уяснить из рассмотрения графика функции у=)(х) '(рис. 5.2). Пусть М и Р— точки графика функции у=~(х), отвечающие значениям аргумента, соответственно равным х и х+Лх, М5 — касательная к графику в точке М, МЖ110х, *г)Р110у, сг — точка пересечения касательной МЗ с прямой РУ. Тогда при- У ращение Лу функции у=((х) в точке х, отвечающее 'приращению аргумента Лх, очевидно, равно величине отрезка оу Р1Р, в то время как диффедт ренциал йу этой функции в точке х, отвечающий тому же самому Лх, равен величине й х а+Ах х отрезка ЖЯ.
(Это сразу выте- кает из формулы (5.11) и из Рис. 5.2 того, что в прямоугольном ' Напомним, что линейной функцией аргумент Г называется функция вида у=лг+В, где А и  — некоторые постоянные. В случае В=О линейная функция называется однородной. $ 3. Дифференцирование сложной и обратной функций 197 треугольнике М()Ж величина отрезка Мй) равна Лх, а тангенс угла (гМЛ) равен Т'(х).) Ясно, что величины отрезков й)Р и )ЧЯ явля. ются, вообще говоря, различными. Весьма удобно ввести в рассмотрение понятие дифференциалаа а ргу мент а х. При этом следует различать два случая: 1) случай, когда указанный аргумент х представляет собой независимую переменную; 2) случай, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида х=~р(1) некоторой новой перел менной 1, которую мы можем считать независимой.
Договоримся.для случая, когда аргумент х является независимой переменной, отождествлять дифференциал этого аргумента с его приращением Лх", т. е. считать, что дх=Лх. В силу этой договоренности равенство (5.11) принимает вид ду=~'(х) йх. (5.12) Таким образом, для случая, когда аргумент х является независимой переменной, для дифференциала функции у=](х) справедливо представление (5.12). Ниже в 'и, 3 9 3 мы докажем, что представление (5й2) носит универсальный характер н справедливо также и в случае, когда аргумент х не является независимой переменной, а является дифференцнруемой функцией вида х=~р(1) некоторой независимой переменной й (В этом случае в формуле (5.12) величину с(х нельзя считать равной Лх, ибо в силу сказанного выше она равна йх= = р'(1) дй) $ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 1.
Дифференцирование сложной функции. Установим правило, позволяющее найти производную сложной функции у=][Ф(1)] в точке 1 при условии, что известны производные составляющих ее функций х=Ф(1) и у=)(х) в точках 1 и х=~р(1) соответственно. Теорема 5.3. Пусть функция х=ф(1) дифференцируема е точке й а функция у=у(х) дифференцируема е соотеетстеуюи(ей точке х=~р(Г). Тогда сложная функция у=ДрЯ] дифференцируема е указанной точке й причем для ее производной в этой точке справедлива формула (7[<р(1)])'=]'(х) ~р'(1) =)'[гр(1)] <р'(1).
(5.13) Доказательство. Придаднм аргументу функции х=~р(1) в данной точке 1 произвольное отличное от нуля приращение ЛЕ этому приращению отвечает приращение лх=гр(г+лг) — ~р(г) ' Эта договоренность согласуется с рассмотрением невавнсимой переменной х как функции вида у=)(х) =х, для которой ну=у(х)лх=пх, т. е. ох=ах. Гл. 5. Дифференциальное исчисление 198 (5.15) причем формула (5.16) справедлива при условии, что функция х=ср(1) дифференцируема в данной точке 1, функция и=[(х) дифференцируема в соответствующей точке х=ф(1), а функция у= =р (и) дифференцируема в соответствующей точке и=[(х) = =1[р(1)!.
* См. п. 1 4 2 определение дифференцируемости и теорему 5.1. ** В силу теоремы 5.2 дифференцируемая н точке 1 функция х=ф(т) является непрерынной и этой точке. функции х=ср(1), причем указанное приращение Лх может обра- щаться в нуль. Приращению Лх, в свою очередь, отвечает приращение Лу= =[(х+Лх) — 1(х) функции у=1'(х) в соответствующей точке х= р(г). Поскольку функция у=[(х) по условию дифференцируе- ма в указанной точке х=ф(1), то ее приращение Лу в втой точке может быть представлено в виде * Лу=р'(х) Лх+ а(Лх) Лх, (5.14) где а(Лх) имеет при Лх- О предел, равный нулю.
Подчеркнем, что, как указано в п. 1 $ 2, представление (5.14) остается справедливым и при Лх=О. Поделив (5.14) на Л1чьО, будем иметь — =Г'(х) — + и(Лх) —, ар , ах ах ж ат Ат Докажем, что правая (а значит, н левая) часть (5.15) имеет предел при Л(- О, причем этот предел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Этим будет доказана дифференцируемость сложной функции и формула (5.13) для ее производной. Из дифференцируемости функции х=ф(1) в точке 1 вытекает, ах что отношение — имеет предел при Л1- О, равный ~'(1). ОстаМ ется доказать, что функция а(Лх) имеет предел при Л1- О, равный нулю, но зто сразу вытекает из того, что а(Лх)- О при Лх- О и что Лх- О при Л1- О на основании разностной формы условия не- прерывности дифференцируемой в точке 1 функции х=~р(1) *".
Итак, вся правая часть (5.15) имеет предел при Л(- О, и этот пре- дел равен величине, стоящей в правой части (5.13). Теорема доказана. Замечание 1. Теорема 5.3 и содержащееся в ее формули- ровке правило вычисления производной сложной функции после- довательно переносится на сложную функцию, являющуюся супер- позицией трех и болыцего числа функций. Так, для сложной функ- ции, являющейся суперпозицией трех функций у=р[[(~р(0)) пра- вило дифференцирования имеет вид (с[1(<р (1) ) ))'= Р[1(~р (1) ) ]1' (~р (1) ) (р'(1), (5.16) й 3. Диффереацироаание сложной и обратной функций !99 (5.
18) * Указанное тождество можно написать для любых двух чисел ЬЕ и Ьх, отличных от нуля. Замечание 2. При доказательстве теоремы 5.3 мы рассматривали сложную функцию вида у=)('х), где х=!р('1), т. е. обозначили символом х п р о м е ж у т о ч н ы й аргумент. Эта символика, конечно, может быть изменена, Чаще удобнее бывает обозначать символом х окончательный аргумент, т. е. рассматривать сложную функцию вида у=)(!р(х)]. В этих обозначениях правило дифференцирования сложной функции (5.13) принимает вид (фр(х)])'=Яр(х)] !р'(х). (5.13*) Примеры применения правила дифференцирования сложной функции будут приведены в следующем параграфе. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
