В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

В силу замех чания 3 к определению равномерной непрерывности функция 1 ~(х)=з!и — тем более является равномерно непрерывной на интервале (у, 1), представляющем собой подмножество сегмента [у. 1). Теорему 4.16 удобно переформулировать в терминах к о л е б а- и ия функции иа данном сегменте. Пусть функция [(х) ограничена на данном сегменте [с, й~). Назовем колебанием функции [('х) на сегменте [с, д'1 разность ы=М вЂ” т между точной верхней и точной нижней гранями функции [(х) на этом сегменте. Для непрерывной иа сегменте [с, д] функции [(х) колебание равно разности между максимальным и минимальным значениями этой функции на указанном сегменте.

Из теоремы 4.16 непосредственно вытекает следующее утверждение. С лед ств не из теор е м ы 4.16. Если функция [('х) непрерывна на сегменте [а, Ь1, го для любого положительного числа г найдется отвечающее ему положительное число б такое, что колебание функции 11х) на любом содержащемся в сегменте [и, Ь) сегменте длины, меньшей 6, будет меньше числа г. 3 а меч а и не 4. Анализируя доказательства теорем 4.14 и 4.15 Вейерштрасса и теоремы 4.16, нетрудно заметить, что в этих трех теоремах вместо сегмента [а, Ь~) можно взять произвольное множество (х), для которого выполнены два требования: 1) это множество (х) является ограниченным; 2) это множество (х) содержит любую свою предельную точку (такое множество договоримся называть з а и к н у т ы м). Множество (х), удовлетворяющее указанным двум требованиям, договоримся называть ком п а ктн ы м м ножеством 4 б.

Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 181 или к о м п а к т о м. Таким образом, указанные три теоремы (т. е. две теоремы Вейерштрасса и теорема 4.!б) справедливы не только для функции, непрерывной на сегменте, но и для функции, непрерывной иа любом компакте. В $7 настоящей главы будутсформулированы болееточныеопределения замкнутого и компактного множеств. Впрочем, для случая числовых множеств эти более точные определения оказываются эквивалентнымн приведенным нами выше определениям 4. Понятие модуля непрерывности функции. Предположим, что функция )(х) определена и непрерывна на некотором множестве (х), каждая точка которого является предельной точкой этого множества.

Определение. Для каждого 6>0 назовем модулем непрерывности функции 1(х) на множестве (х) точную ьерхнюю грань модуля разности 11(х') — 1(ха) ~ по всем точкам х', и х", принадлежащим множеству (х) и удовлетворяющим неравенству 1х' — х"! <6. Для обозначения указанной точной верхней грани обычно употребляют следующий символ: зпр(/)(х') — 1(хы) (: 1х' — х" / (6; х', хлеп(х)). Сам же модуль непрерывности функции 1(х) на множестве (х) принято обозначать символом от(1, 6). Таким образом, по определению со(1, 6) =зпр(Д(х') — 1(хл) ~: !х' — х"! (6; х', х"еп(х)). (4.32) 3 а м е ч а н и е. При определении модуля непрерывности ет(1, 6) в правой части (4.32) вместо !)(х') — 1(хо) ) можно было бы писать разность 11(х') — 1(хо)1 без знака модуля. Это вытекает нз того, что точки х' и х" можно поменять местами (при этом разность [)(х') — 1(хо)1 изменит знак на противоположный, в то время как величина 1х' — х" ~ не изменится).

Отметим два свойства модуля непрерывности ет(1, 6). 1'. Модуль непрерывности от(1, 6) всегда неотрицате,ген: ы(1, 6) )О. Это свойство непосредственно вытекает из определения модуля непрерывности (4.32). 2'. Модуль непрерывности от(1, 6) представляет собой неубывающую функцию 6 всюду на полупрямой 6>0. В самом деле, при уменьшении 6 множество, по которому берется супремум (4,32), сужается, а супремум на части множества не превосходит супремума на всем множестве.

Вычислим модули непрерывности некоторых функций. 1. Вычислим модуль непрерывности функции 1(х) =х' на сегменте (О, 1). Пусть х' и х" — любые две точки сегмента (О, 1] такие, что х"=х' — 6, где 0<6<1. Тогда, очевидно, 182 Гл. 4. Непрерывность функции [[(х) — [(х") ) = [(х) а — (х») а) = [(х)' — (х' — 6) в) «26 — бн. Из последнего неравенства, учитывая замечание к определеник» модуля непрерывности, мы получим, что ат([, 6)=зцр ([[(х') — [(х»)): !х' — х" [<б; х', хм~[0, 1])~26 — Ь'.

С другой стороны, взяв х'=1, х"=1 — 6, так что !х' — х"!=6. мы получим„что [Дх') — [(х»)) =1 — (1 — 6)э=26 — ба. Значит, от(1, 6) =от(хв, 6) =26 — ба (если 6<1). 2. Вычислим далее модуль непрерывности функции ! (х)= 1 = з!и — на интервале (О, 1). х Так как 1~(х ) — 1(х ) ! ='~з1п — — з!и —,~ < ~з!и — ~+ ~а!и — ~ < 2, х' то то(1, 6) «2. С другой стороны, взяв две бесконечно малые последовательности [х„') и (х ") точек интервала (О, 1) вида х'= х" = где л=1, 2, ..., мы для любо» и — + 2и» 2 — — + 2и» 2 гоб)О сможем указать номеритакой,что 0<х,'<Ь и 0«х,м« < б, так что ! х»' — х»" ! «Ь, причем [1(х„') — 1(х„")1 = з!п — — з!и — = 2.

1 1 х» Отсюда следует, что тв(1, 6)=от (з!и —, 6) = 2. 1 х 3. Вычислим, наконец, модуль непрерывности функции 1 Г(х)= — на интервале (О, 1). Убедимся в том, что этот х модуль непрерывности равен + оо, Фиксирован произвольное 6)0, рассмотрим только такие точки х' и х", которые удовлетворяют соотношениям 0<х'«б, х"= б, так что !х' — х" ! м,".6. Очевидно, что ' 1 1 ( 1 1 от ! —, 6 ! )~ зцр [ — — —: 0 < х' < Ь~ = + оо. В заключение докажем теорему, устанавливающую связь между свойством равномерной непрерывности функции 1(х) на * в1ы учитываем, что при сужении множества значений х',и х", но кото. рым берется сунремум, этот супремум может только уменьшаться.

5 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 183 множестве (х) и величиной модуля непрерывности этой функции на указанном множестве. Теорема 4.17. Для того чтобы финкция ((х) являлась равномерно непрерывной на множестве (х), необходимо и достаточно, чтобы модуль непрерывности се(1, 6) этой функции на рказанном множестве удовлетворял соотношению 11гп го (7, 6) = О. (4.33) а- о+а До к аз а тел ь ство. 1) Необходимость. Пусть функция 1(х) равномерно непрерывна на множестве (х). Требуется доказать, что справедливо соотношение (4.33), т.

е, требуется доказать, что для любого в>0 найдется отвечающее ему 6.>0 такое, что для всех б, удовлетворяющих условию 0<6<6„справедливо неравенство еэ(1, 6) <в е. По определению равномерной непрерывности для любого а>0 найдется отвечающее ему 6.>0 такое, что для всех х' и х" из множества (х), удовлетворяющих условию 1х' — х" ~ <б„, справедливо неравенство !1(х') — 7(х")~ —.

Но это и оз- 2 начает, что для любого 6 из интервала 0<6<6, справедливо неравенство са (1, 6) = зпр ( ! Р (х') — К (х") ~: ~ х' — х" 1 < б; х', х" ен (х)) ч- — ' < а. 2) Достаточность. Пусть выполнено соотношение (4.33), т.е. для любого а>0 существует отвечающее ему 6,>0 такое, что для всех б, удовлетворяющих условию 0<6<6„справедливо неравенство со(1, 6) <а. Из определения модуля непрерывности следует, что для всех х' и х" из множества (х), удовльтворяющих условию ~1х' — х")~6<6„справедливо неравенство ~)(х') — 1(хл) (<а, а это и означает, что функция )(х) равномерно непрерывна на множестве (х). Теорема доказана.

Выше мы вычислили модули непрерывностей трех функций: 1 ! функции хэ на сегменте [О, Ц и функций з)п — и — на х х интервале (О, 1). Так как го (ха, 6) = 26 — 6', га (з1 п —, 6) = 2, го ( —, 6) = + оо, то из теоремы 4.17 сразу же вытекает, что функция хэ равномерно непрерывна на сегменте [О, 11, а функции яп— 1 и — не являются равномерно непрерывными на интервале 1 х (О, 1). а Мы учитываем при атом, что ы(6 б) ъб. Гл. 4. Непрерывность функции 184 5 7. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ МНОЖЕСТВА 1.

Открытые и замкнутые множества. Рассмотрим произвольное множество весцественных чисел (х). Определение 1. Точка х множества (х) называется. внутренней точкой этого множества, если существует положительное число 6 такое, что Б-окрестность точки х также принадлежит множеству (х). О яре деление 2. Множество (х) называется откр ыт ы м, если любая точка этого множества является внутренней. его точкой. Примерами открытых множеств могут служить интервал,. открытая полупрямая, бесконечная прямая, объединение нескольких непересекающихся интервалов.

Определение 3. Множество (х) называется замкнутым, если дополнение этого множества (т. е. разность ( — оо„ + оо) ',(х)) является открьстьс с множеством. В замечании 4 в конце п. 3 $ 6 было дано другое определение замкнутого множества. Напомним его формулировку. О п р е д е л е н и е 3'. Множество (х) называется з а м к н ут ьс м, если это лсножество содержит все свои предельные точки. Убедимся в том, что для случая произвольных числовых множеств определения 3 и 3* эквивалентны. 1) Пусть сначала множество (х) является дополнением открытого множества. Докажем, что в таком случае любая предельная точка х этого множества (х) обязательно ему принадлежит.

В самом целе, предположив, что предельная точка х не принадлежит множеству (х), мы бы получили, что х принадлежит дополнению множества (х), которое является открытым множеством. Но тогда х принадлежала бы этому открытому множеству вместе с некоторой своей б-окрестностью, т. е. некоторая б-окрестность точки х не содержала бы точек множества (х), а это противоречило бы тому, что х является предельной точкой множества (х). 2) Пусть любая предельная точка множества (х) принадлежит этому множеству. Докажем, что множество (х) является дополнением открытого множества. Пусть х — любая точка дополнения множества (х).

Характеристики

Список файлов книги