В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть х1 и хг — любые два чпсла из этого сегмента 2 1 такие, что хг>хь Тогда, очевидно, числа 2 2 принадлежат интервалу (О, — 1, причем в силу второго равен- 2 / ства (4,10) 4 3. Простейшие элементарные функции Достаточно доказать, что в правой части (4.15) стоит положительное число, а для этого достаточно убедиться в том, что для всех значений аргумента из интервала (О, — 1 функции япх 2 / и соз х принимают только положительные значения. Для функции 1(х) =яп х это вытекает из свойства 3), а для функции соз х следует из равенства (4.11). Итак, доказано, что функция и!п х возрастает на сегменте ~, "1'.
О, — "1 ° Из нечетности функции з(их, т. е. из второго соотно- 2 1 шения (4.8), в таком случае следует, что функция яп х возрастает и на сегменте ~ — —, 01. 2 Тем самым доказано, что функция япх возрастает на сегменте — — — Остается исследовать поведение функции 51пх 2 2 на сегменте 11 — ", и+ — "1 В пункте е) мы убедились в том, 12 21 что яп я=О, сои я= — 1, а из этих равенств и из первого соотношения 1) вытекает, что яп(х+и) =япх сои и+сов х з(п я= — япх.
Полученное соотношение позволяет заключить, что из установленл к1 нога нами возрастания функции яп х на сегменте 2 2 ~ вытекает убывание этой функции на сегменте ) —, и+ — 1 ° 2 2 1 Изучение участков монотонности функций япх и созх полностью завершено. ялх СО5 Х В силу представлений 1их= —, с1их= — и в силу СО5 Х 51Л Х теоремы 4,1 для случая частного функцня1ихнепрерывнавлюбой точке хФ вЂ” +йп, а функция с1их непрерывна в любой точке 2 хайя.
Пользуясь соотношениями яп (х+и) = — япх, соз (х+я) = 51Л Х = — сои х, мы получим, что 1и(х+и)= — =1ях ианалогично СО5 Х с1д (х+я)=с1их. Это означает, что 1их и с1их являются периодическими функциями с периодом и. Значит, достаточно произвести исследование участков монотонности этих функций только в пределах интервала длины и. Из равенства (4.16) СО5 Ха СО5 Х1 СО5 Ха. С1% Хт и нз того, что яп х принимает только положительные значения на интервале (О, и), а созх принимает только положительные значе- Гл. 4. Непрерывность функции ния на интервале ( —, — ) ° вытекает, что функция 1дх 2 2/ возрастает иа интервале ( — —, — ).
(Для любых х~ и хв 2 2 / л лт из интервала ( —, — ) таких, что хв>хь в правой части 2 2 ) (4.16) будет стоять положительная величина.) Аналогична устанавливается, что функция с1их убывает нв интервале (О, л). 1 Мы не останавливаемся на изучении функций зес к =— сов х 1 и созес х =— мпк Графики всех тригонометрических функций изображены нв рис. 4.8 — 4.13. у= гпп и Рис. 4.9 Рис. 4.8 Рис.
4.11 Рис. 4.10 5. Обратные тригонометрические функции. Остановимся на вопросах определения и свойствах непрерывности и монотонности обратных тригонометрических функций. 155 $3. Простейшие элементарные функции у=нес ш Рис. 4.12 Рнс. 4.13 Для определения функции у=агсз!их рассмотрим функцию у=а!их на сегменте ~ — — ", — 1.
Согласно п. 4 на этом сег. 2 2 ! менте функция у=з!пх монотонно возрастает и непрерывна. Множество ее значений есть сегмент [ — 1, 1!. В силу теоремы 4,5 на сегменте [ — 1, 1~ существует. непрерывная возрастающая обратная функция, принимающая значение — — в точке — 1 и значе- 2 ние — в точке 1.
Эту функцию обозначают символом х= 2 =агс з1пу или, меняя обозначение аргумента у на х и обозначение х для функции на у, символом у=агс и!их. Точно так же определяется на сегменте [ — 1, 1! функция у=агссозх, обратная по отношению к функции х=созу, убывающей и непрерывной ва сегменте О (у~и. Функция у= агс соз х убывает и непрерывна на' сегменте [ — 1, +11 и принимает в точках х= — 1 и х=+1 значения, соответственно равные и и О. Функции у=агс 1пх н у=агсс!дх определяются как обратные для тангенса и котангенса, рассматриваемых на интервалах — — — н (О, и). Эти функции определены и монотонны 2 2 / 1бб Гл. 4.
Непрерывность функции Рис. 4.14 Рис. 4.15 Рис. 4.16 Рис. 4.17 на всей бесконечной прямой. На рис. 4.14 — 4.17 изображены графики обратных тригонометрических функций. ет+е" ее — е 6. Гиперболические функции, Функции и 2 2 называются соответственно г и п е р б о л и ч е с к и м к о с и н у с о м и гиперболическим синусом и обозначаются символами с11 х и з11 х: е +,— «,» — е 2 2 Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются соответственно формулами впх е» вЂ” е " спх е" + е " Йх= — =, орах= — = сох е" + е" вйх ее — е Из определения гиперболических функций следует,.что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тан- 1б7 й 3.
Простейшие элементарные функции генс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки х=О На рис. 4.18 — 4.21 изображены графики этих функций. Рис. 4.19 Рис. 4.18 Рис. 4.21 Рис. 4.20 Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области нх задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы 4.1). Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например, для гиперболических функций имеют место теоремы сложения, аналогичные теоремам сложения для тригонометрических функций: зЬ (х+у) = зЬ х.сЬ у+сЬ х зЬ у, сЬ (х+у) = сЬ х. сЬ у+ зЬ х.
зЬ у. Непосредственно также проверяются формулы зЬ 2х=2 зЬх сЬ х, 1оа Гл. 4. Непрерывиость функции сй'х — зйзх=1; Эпитет же «гиперболический» связан с тем обстоятельством, что равенства х=а сй Ь у=а зй Г задают гиперболу, подобно тому, как равенства х=а.созй у=а з(пг задают окружность. Действительно, в первом случае мы, очевидно, имеем хв — ув=ав, т. е.
уравнение гиперболы, а во втором хв+уа=ав— уравнение окружности. 4 4. ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА 1. Первый замечательный предел. Прежде всего докажем следующую теорему, представляющую собой функциональный аналог теоремы 3.14. Теорема 46 (функциональный аналог принципа двустороннего огр а н и че ни я). Пусть в некоторой проколотой Ь-окрестности точки а* заданы три функции Цх), Ь(х) и д(х), две из которых 7(х) и д(х) имеют в точке а общий предел, равный Ь. Тогда если всюду в указанной проколотой Ь-окрестности точки а справедливы неравенства 7(х) «Ь(х) «д (х), (4.
17) то и функция Ь('х) имеет в точке а предел, равный Ь. Доказательство. Пусть (х ) — произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента„ все элементы которой отличны от а. Тогда, с одной стороны, в силу определения прес дена по Гейне, обе последовательности соответствующих значений функций (7(х„)) и (у(х„)) сходятся к Ь, а с другой стороны, в силу (4.17), для всех номеров и справедливы неравенства ~(хл) «Ь(ха) <д(хл) В силу теоремы 3.!4 мы можем утверждать, что последовательность Ь(х„) также сходится к Ь, а это и означает, что число Ь является пределом функции Ь(х) в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.7, Предел функции в точке Х=О существует и равен единице, т.
е. 5!П Х 1пп — = 1. 5!и х Х-Ю Х До к аз а тельство. Будем отправляться от неравенств к '1 О ( з1п х ( х ( 1я х ( при 0 ( х ( — 1, 2 / (4.18) Напомним, что проколотой б-окрсстиостью точки а называется интервал (а — 6, о-~-а), иа которого выкииута точка и. 3 4. два замечательных предела 159' указанных в п.
4 $ 3. Посредством деления на з)их>0 мы получим из (4.18) следующие неравенства: 1( ( (при 0(х( — ), Мпх сов х 2 ! Для обратных величин, очевидно, справедливы обратные нера- венства соах( (1 (при 0(х( — 1. Х 2 / (4, 19) * В самом деле а и. 4 $3 мы установили, что соз( — х) =сов х, Мп( — х) = 51П ( — Х) З!ПХ вЂ” з)их и, значит, ( — х) х " Число е введено в п. 3 $ 2 гл.
3 как предел последовательиости ~ (1 + Заметим, что из того, что неравенства (4.19) справедливы при 0(х( —, вытекает, что эти неравенства справедливы и при 2 — — (х( О, ибо при замене х на — х все три функции сов х„ 2 51П Х е — и 1 ие меняют своих значении х Таким образом, неравенства (4.19) справедливы для всех значений х из интервала — ( х( —, за исключением точки х=О, 2 ' т, е, справедливы всюду в проколотой — окрестности точки 2 х=О.
Так как, кроме того, обе функции 1(х) =сов х и а(х) =1 имеют в точке х=О равный единице предел, то в силу теоремы 4.6 51П Х и функция Ь(х)=- — имеет в точке х=О предел, равный едих нице. Теорема доказана. 2. Второй замечательный предел. Теорем а 4.8. Предел функции 1(х) = (1+х)нх в точке х=О существует и равен числу е *з. Доказательство.
Достаточно доказать, что как правый, так и левый пределы функции 1(х) = (1+х) ьх в точке х=О существуют и оба равны е. 1) Сначала докажем, что правый предел указанной функции в точке х=О существует и равен е. В силу определения правого предела по Коши достаточно доказать, что для любого е>0 найдется отвечающее ему Ь>0 такое, Гл. 4. Непрерывность функиии что для любого х из интервала 0<х<б справедливо неравен- ство ( ')' !пп а„= Игп е-ь«ь и-~а 1нп 1+ и а( 6+1 е, (1+ — ) ) !нп (1+ — ) Игп Ь„=Иш ~(1+ — ')".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
