В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(1+ — ')1= =!пп (1 + — ) .!пп (1 + — ) =е-1=е. Так как обе последовательности (а ) и (Ь ) сходятся к е, то для фиксированного выше е>0 найдутся номера Уг и Уи такие, что )а„— е!<е при п>Уг„!Ь,— е!<е при п)Уе. Пусть У вЂ” это наибольший из двух номеров Уг и Ув Тогда, очевидно, при п>У будут справедливы оба неравенства: !а„— е! <е и )܄— е! <е. (4.21) Теперь для завершения доказательства существования равного е правого предела функции !(х) =(1+х)п" в точке х=О убе- 1 димся в том, что если взять б =- —, то для любого х из интер- У вала 0 < х ..б = — будет справедливо неравенство (4.20).
! У В самом деле, пусть х — любое число нз интервала 0<х< 1 ! < 6= —. Тогда — > У.Обозначив через п целую часть числа аг х 1 Г 1 —, т. е. положив и = ~ — ~, мы, во-первых, с помощью нерах ~ х 1 венства — )У можем утверждать, что а~У, а во-вторых, можем утверждать, что справедливы неравенства ! (1+х) пх — е! <е. (4.20) Фиксируем произвольное е>0 и рассмотрим две последова!в тельности (а ) и (Ь,) с элементами а = (1 + — ), Ь = (1 + ! и+1 + — ) .
Убедимся в том, что обе эти последовательности сходятсяке. Всамом деле, поскольку в силу п.3$2гл. 3 1ип (! + еча те — = е, то на основании теорем о пределе частного и произведе~ия двух сходящихся последовательностей мы получим, что 161 $4. Даа замечательных нредела п.ч, — < п+ 1. ! х (4.22) Из (4.22) вытекают неравенства — < х< — и 1+ — < 1+х<1+ —. (4.23) 1 1 ! 1 и+1 и и+! и Из сопоставления неравенства (4.22) со вторым неравенством (4.23) и из свойства возрастания показательной функции с основанием, ббльшим единицы, вытекает, что ( 1 + — ) < (1+ х)ьх < (1 + — 1 или а„< (1+ х)нх < б.
и+1/ и / Итак, мы доказали, что для любого х нз интервала 0<х< 1 < Ь = — при некотором п>У, зависящем, конечно, от х, будут Л' справедливы неравенства а„<(1+х) нх<Ь„а значит, и неравен- ства а„— е<(1+х) н" — е<6„— е. (4.24) Л.)=(1+.)н"=(1 — "" '1 "= 1 +уи т 1 1 =-( — ') "" =(1+у.)аа Е зан. 72 Из сопоставления (4.24) с неравенствами (4.21), справедливыми для любого и~ 1ч', мы окончательно убедимся в том, что для лю- 1 бого х из интервала 0 < х< б= — будут справедливы нера- Ф венства (4.20).
2) Докажем теперь, что и левый предел функции 1(х) = = (1+х)ье в точке х=0 существует и равен е. В силу определения левого предела по Гейне достаточно доказать, что для любой бесконечно малой последовательности отри. цательных чисел (х ) соответствующая последовательность значений функции ~(х„)=(1+х„) '„сходится к е. Пусть (ха) — произвольная бесконечно малая последовательность отрицательных чисел, Эту последовательность мы будем рассматривать, начиная с того номера У, с которого все элементы х, по модулю меньше единицы. Положим у„= ", так что х„= Уа .
Тогда, оче!+ха' 1+ ул видно, (уа) будет являться бесконечно малой последовательностью, состоящей из п о л о ж и т е л ь н ы х чисел, причем Гл. 4. Нелрерывность функции 102 Таким образом, (4.25) 1пп ) (х„) = 11ш (1+ у,) л Вгп (1+ у„) при условии, что существуют пределы в правой части (4.25). Но поскольку (ул) сходится к нулю н состоит нз положительных чнс сел, то 1пп(1+у„) л =е (в силу уже доказанного существовал~ л ния равного е правого предела), а 1!ш (1+ ул)=1.
Тем самым л-~ о доказано, что последовательность (1(х„)) сходится к числу е. Теорема 4.8 полностью доказана. 1 ьс Сл еде тв ие. Предел функции с(1)=- (1+ — ~ при с — лосс с ~ существует и равен е. В силу определения предела при С-ьсо по Гейне требуется доказать, что для любой бесконечно большой последовательности (1.) соответствующая последовательность значений функции 1 ьсл с(С„)= (1+ — ) сходится к числу е. Мы будем рассматрисл вать бесконечно большую последовательность (1,), начиная с того номера АС, с которого все ее элементы С по модулю превосходят 1 1 единицу.
Положим хллл —, так что 1„= —. В силу теореСл хл мы 3.6 из гл. 3 последовательность (х,) является бесконечно ма- 1 'с лой, пРичем С (1„)=(1+ — ) л=(1.+хл) Сл Остается заметить, что в силу теоремы 4.8 Игп Т (1„) =1пп (1+ х„) " = е. й З. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 1. Классификация точек разрыва функции. В $ 1 мы договорились называть точками разрыва функции 1(х) те точки, в которых эта функция ие обладает свойством непрерывности. При этом подразумевается, что функция 1(х) определена в той точке, которую мы апробируем на предмет наличия или отсутствия в ней свойства непрерывности: Расширяя наше рассмотрение, мы можем подвергнуть изучению и те точки, в которых функция 1(х) не определена (при условии, конечно, что эти точки являются предельными для множества задания функции).
Выясним возможные типы точек разрыва. й б. Точки разрыва функции и их классификация )БЗ 1'. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой у с тр он и м о г о р а з р О1 в а функции у=((х), если предел функции !(х) в точке а существует, но в точке а функция )Тх) либо не определена, либо имеет частное значение !(а), отличное от предела Я(х) в этой точке. Например, функция з!п х и — при х~,'О, !(х) — ' х 05 при х= О имеет в точке х=О устраннмый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке х=О, как мы доказали в п. 1 й 4, равно 1.
Частное же значение 0,5Ф1. Если функция !(х) имеет в точке а устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от а. Для этого достаточно положить значение функции в точке а равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить !(0) =1 и тогда !1ш — """ =-!(0) =1, т. е. функция к о х !~х) станет непрерывной в точке х=О. В физических процессах точки устранимого разрыва встречаются при сосредоточенных распределениях физических величин. 2'. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой разрь1ва.первого рода, если в этой точке функция )(х) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы 1!т !(х) Ф 1!гп !(х). к а+О к а — О Образно выражаясь, разрыв первого рода можно назвать конечным скачком.
Приведем некоторые примеры. 1) Функция 1 при х~ О, Т(х) =зяпх = 0 при х = О, — 1 при хц. О н точке х= 0 имеет разрыв первого рода *. Действительно, * Функция !(х) =зцпх„очеаицно, может быть записана так: к ( — при хчаО, ! (х) = зяп к = 1х! 0 при х=О. Гл. 4. Непрерывность функпнн 1пп зипх=1, 1пп зипх= — 1, н, таким образом, эти пределы х.ло+О х о-о не равны между собой.
2) Другой пример дает функция )(х)= — при к~О. Для !х! О!П Х В!П Х этой функции !пп — = 1, 1пп — = — 1, так что точка х-о+о !х! х о-о 1Х! х=О является точкой разрыва первого рода. 1 3) Функция ) (х)=, определенная всюду, кроме точ- 1 1-1-2 ки х=1, имеет в точке х=! разрыв первого рода. В самом деле, если (х„) сходится к 1 и состоит из элементов х,)1, то ~ ~ является бесконечно большой последователь- 1 Хл ! ! постыл с положительными членами. Поэтому (1+ 2хл бесконечно большая последовательность н, значит, последователь. ность Т (х,) = 1 является бесконечно малой, т.
е. 1+2"л ' 1пп Т(х)=О. х- !+о Если же (х ) сходится к 1 и состоит из элементов х„<1, то 1 1 является бесконечно большой последовательностью с ,1 ! отрицательными членами. Поэтому (2хл ) сходится к нулю и, 1 значит, последовательность 1(х,) = сходится к еди112л нице, т. е. !пп Т(х)=1. х ! — о 3'. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой раз- рыва второго рода, если в этой точке функция 1(х) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или ес- ли хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. П р и м е р ы.
1) Функция 1 х.соз — при хс. О, х 1(х)=( О при хлл О, 1 соз — при х) О 1 1 х обладает левым пределом в точке х=О, равным нулю: !пп Т(х) = х Π— О = О. В самом деле, если (х,) — последовательность, сходящаяся $ 5. Точки разрыва функции и их классификация 165 к нулю и состоящая из чисел х,(О, то 0 ч. 17 (х„) ) = 1х„( < саз — < -( 1х„1. 1 Поскольку 1х,1-~-0 при и- оо, то 1нп )(х~=й. а»» Убедимся теперь в том, что рассматриваемая функция не имеет в точке х=О правого предела. Для этого рассмотрим две сходящиеся к нулю и состоящие из положительных чисел последова» 1 1 тельности х„ = и х,= †. Если бы функция обладала и 2ив — +на 2 в точке х=О правым пределом, то обе последовательности (1(х,)) и (1(х',)) сходились бы к одному и тому же числу.
Однако зи !(х,') =саз2пп=! сходится к единице, а 1(х„)=сок ( — + пп) = (,2 = 0 сходится к нулю. Итак, рассматриваемая функция имеет вточке х=О разрыв второго рода. 2) Функция 1(х) =1дх, очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек ха= — +пй, где А=О, .+.1, +-2,..., ибо в каж- "2 дой такой точке ха 1пп !'(х)= +оо, 1пп 1(х)= — оо. к ка- 0 к-»ка+ о Можно образно сказать, что в каждой точке ха функция 1дх имеет бесконечный скачок. 3) Функция яп — при хФ О, 1 ~(х)= к 1 при х=0 имеет разрыв второго рода в точке х=О, ибо в этой тачке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.
В самом деле, по- 1 . 1 скольку яп — = — з!и —, достаточно удостовериться в отсут— к к ствии в точке х=О только правого предела, а для этого достаточно заметить, что двум последовательностям значений аргумента 1 ' 1 х„ = — и х„ = отвечают последовательности значе— + 2ив 2 ний функции 1(х„) =з(ппп=О и 1(х )=яп ( и + 2пп1 = 1, а сходящиеся первая к нулю, а вторая — к единице. Введем понятие кусочно непрерывной функции, часто встречающееся в математике и в ее приложениях.
Гл. 4. Непрерывность функции 166 Функция Г(х) назьчвается кусочно непрерьчвной на сегменте «а, Ь), если эта функция определена всюду на сегменте [а, Ь1, непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке Ь. Функция )(х) называется кусочно непрерывной на интервале (или на бесконечной прямой), если «(х) кусочно непрерывна на любом принадлежащем этому интервалу (или бесконечной прямой) сегменте. Например, функция у=[я) кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и на бесконечной прямой.
2. О точках разрыва монотонной функции. Следующее утверждение проливает свет на природу точек разрыва монотонной функции. Т е о р е м а 4.9. Если функция т(х) определена на сегменте [а, Ь1 и является монотонной" на этом сегменте, то она может иметь на этом сегменте только точки разрыва первого рода, причем множество всех ее точек разрыва не более чем счетно. Доказательство. В силу леммы, доказанной в п. 1 З 2, монотонная фчнкция имеет конечные правый и левый пределы в любой внутренней точке сегментй [а, Ь| и, кроме того, конечный правый предел в точке а и конечный левый предел в точке Ь. Отсюда и вытекает, что точками разрыва монотонной функции могут быть только точки разрыва первого рода.
Чтобы доказать вторую часть теоремы о том, что множество всех точек разрыва не более чем счетно, будем ради определенности считать, что [(х) является неубывающей на сегменте [а, Ь1. Достаточно доказать не более чем счетность множества точек разрыва, расположенных на интервале (а, Ь), т. е. точек разрыва, являющихся внутренними точками сегмента [а, Ь1. Заметим, что в каждой такой точке разрыва х справедливо неравенство для правого и левого пределов [(х+О) >[(х — О) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
