В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Начнем с доказательства леммы, справедливой для любой монотонной (не обязательно строго монотонной) функции. Лемма. Если функция 1(х) является монотонной на сегменте [а, Ь), то у нее существуют правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента [а, Ь) и, кроме того, существуют правый предел в точке а и левый предел в точке Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для полного доказательства леммы достаточно доказать два факта: 1) существование правого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам а«с<Ь; 2) сушествование левого предела в любой точке с, удовлетворяющей неравенствам а<с«Ь, Мы установим только первый из указанных двух фактов, ибо второй устанавливается аналогично. При этом мы проведем все рассуждения для функции )(х), неубывающей на сегменте [а, Ь) (ибо для невозрастаюшей функции они проводятся аналогично). Итак, пусть функция 1'(х) не убывает на [а, Ь), с — любая точка, удовлетворяющая неравенствам а<с<6.
Рассмотрим множество ()(х)) всех значений функции 1(х) для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенствам с<х<Ь. Это множество (1(х)) непусто (в силу того, что с<Ь) и ограничено снизу (в силу неубывания функции 1(х) для всех х из полусегмента с<к<6 справедливо неРавенство 1(с)<)(х)г котоРое означает, что 1(с) ЯвлЯетсЯ нижней гранью рассматриваемого множества). По основной теореме 2.1 гл. 2 у рассматриваемого множества существует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом у. Докажем, что это число у и является правым пределом функции 1(х) в точке с, т. е, докажем, что у=[(с+О). Фиксируем произвольное е)0, По определению точной нижней грани найдется положительное число 6, не превосходящее Ь вЂ” с и'такое, что значение функции )(с+6) удовлетворяет неравенству 1(с+ 6) <у+ и.
Но тогда в силу неубывания функции 1(х) для всех х из интервала с<х<с+6 н подавно 'будет справедливо неравенство 1(х) <у+е. Так как, кроме того, для всех х из указанного интервала справедливо неравенство у<1'(х), то мы получим, что для всех х из интервала с<х<с+6 справедливы неравенства $ 2. Свойства монотонных фуниний у -)(х) <Т+е или [у — [(х) [ <е, а это и означает (в силу определения правого предела по Коши)', что число Т является правым пределом [(х) в точке с. Лемма доказана.
Замечание к лемме. В предположениях леммы при условии неубывання [(х) для любых с и х, удовлетворяющих соотношениям а«с<х«Ь, будут справедливы неравенства ~(а) «~(с) «)(с+0) «[(х) «)(Ь), (4.1) а для любых с и х, удовлетворяющих соотношениям а<х<с<Ь, будут справедливы неравенства ](а).Я(х)<[(с — 0)<[(с) <((Ь).
(4.2) При условии невозрастания [(х) все,знаки в неравенствах (4.1) и (4.2) следует заменить на противоположные. Пусть, например, [(х) не убывает на [а, Ь] и а<с(х<Ь. Тогда 1(а)<)(с)<[(х)<)(Ь). Из последних неравенств сразу же вытекает, что 1"(а)<((с)<1(с+0)<)(Ь). Для завершения доказательства неравенств (4.1) следует убедиться в том, что 1(с+0):~ =)(х)<1(Ь) для любого х из полуинтервала с<х<Ь, но это сразу вытекает из того, что число у=[(с+О) является, как доказано в лемме, точной нижней гранью множества значений 1(х) на полу. интервале с(х<Ь. Справедливость неравенств (4.2) проверяется аналогично.
' Докажем теперь три теоремы о строго монотонных функциях, Т е о р е м а 4.3. Пусть функция у=1(х) возрастает (убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть а=[(а), р=)(Ь). Тогда, если множеством всех значений функции у=((х) является сегмент [а, И (соответственно сегмент [р, а]), то на этом последнем сегменте определена обратная для у=Я(х) функция х=1 '(у), которая также возрастает (убывает) на указанном сегменте. Доказательство.
Проведем все рассуждения в предположении, что [(х) возрастает на сегменте [а, р] (для убывающей функции рассуждения аналогичны). Убедимся в том, что функция у=[(х) устанавливает взаимно однозначное соответствие между сегментами а<х<Ь и а<у<р. Действительно, то, что каждому х из [а, Ь] соответствует только одно значение у из [а, [1], следует из самого понятия функции у=1(х), а то, что каждому у из [а, р] соответствует только одно х из [а, Ь], вытекает из возрастания функции у =)(х). Убедимся теперь, что если у=((х) возрастает на [а, Ь], то и х=(-'(у) также возрастает на [а, и.
Пусть у1<уь где у1 и уа— любые два числа из [а„Р]. Тогда х~=)-'(У1) <хт=)' '(Уа), ибо из неравенства х,)хт и из возрастания функции у=)(х) следовало бы, что у~)уь что противоречит неравенству у1<уа. Теорема доказана. 136 Гл. 4. Непрерывность функции 3 а меч ание 1. Совершенно аналогично доказывается более общее утверждение: пусть у=«(х) задана и возрастает (убывает) на некотором множестве (х), а (у) — множество всех значений этой функции. Тогда на множестве (у) определена обратная для у=[(х) функция х=1 '(у), которая также возрастает (убывает) на указанном множестве (у).
Теорема 4.4. Пусть функция у=[(х) возрастает (или убывает) на сегменте [а, Ь], и пусть а=](а), [)=](Ь). Тогда для того, чтобы функция у=11х) являлась непрерывной на сегменте [а, Ь], неооходимо и достаточно, чтобы любое число у, заключенное между а и р, было значением этой функции. Доказательство.
Все рассуждения проведем для возрастающей на сегменте [а, Ь] функции, ибо для убывающей функции они аналогичны. 1) Необходимость. Пусть функция у=](х) возрастает и непрерывна па сегменте [а, Ь]. Требуется доказать, что любое число т, удовлетворяющее условиям а(у<р, является значением функции в некоторой точке с сегмента [а, Ь]. Пусть (х) — множество всех значений х из сегмента «а, Ь], для которых ((х)<Т. Это множество (х) непусто (ему принадлежит, например, точка а, ибо 1(а) =а<у) и ограничено сверху (на.
пример, числом Ь). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества (х) существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через с: с==зпр(х). Остается доказать, что ](с) =у. Сначала убедимся в том, что Я(х)<у для всех х из [а, Ь], лежащих левее с, и 1('х)>у для всех х из [а, Ь], лежащих правее с. В самом деле, если х<с, то по определению точной верхней грани найдется х' из полуинтервала х<х'<с, принадлежащее множеству (х), т. е. такое, что 1(х')<у. Но тогда из возрастания 1(х) будет вытекать, что и 1(х)<у (ибо 1(х) <[(х')). Далее, любое х, лежащее правее с, не принадлежит множеству (х), а потому для такого х справедливо неравенство [(х) >у.
Теперь убедимся в том, что с является внутренней точкой сегмента [а, Ь). Я]окажем, что с<Ь. Предположим, что это не так, т. е. допустим, что с=Ь. Возьмем любую сходящуюся к с=Ь возрастающую последовательность (х„) точек сегмента [а, Ь]. Так как все ее элементы х, лежат левее с, то ](х,)<т для всех номеров п, а поэтому (в силу теоремы 3.13 гл. 3) и !1т[(х„) <у. Но е так как функция 1(х) непрерывна в точке с=Ь, то 11щ1(хп) =Т(Ь). е Тем самым мы получаем неравенство р=[(Ь) <у, которое противоречит условию у<р. Полученное противоречие доказывает, что с<Ь. Совершенно аналогично доказывается, что а(с. Итак, доказано, что с — внутренняя точка сегмента [а, Ь].
Теперь для того, чтобы доказать, что ](с) =у, рассмотрим две й 2. Свойства монотонных функций 137 сходящиеся к с с разных сторон последовательности точек сегмента [а, Ь] — возрастающую последовательность (х„') и убывающую последовательность (х,"). В силу того, что функция [(х) непрерывна в точке с, !!шу(х„) =1!тТ(х„) =1(с). а Ф С другой стороны, поскольку х '<с<хам для любого номера и, то 1(х„')<у, [(х,'У) >у (для любого номера и). Но тогда в силу теоремы 3.13 1пп~(х„)=[(с) < у, 1!шу(х„) =)(с) > у, Ф >Ф т.
е. )(с) =у. )]еобходимость доказана. 2) Достаточность. Пусть функция у(х) возрастает на сегменте [а, Ь], н пусть любое число у из сегмента [а, р] является значением этой функции. Докажем, что функция [(х) непрерывна на сегменте [а, Ь]. Достаточно доказать, что 1(х) непрерывна справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь, н непрерывна слева в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь. Мы ограничимся доказательством непрерывности справа в любой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь, нбо вторая часть утвержденна доказывается аналогично. Предположим, что функция 1(х) не является непрерывной справа в некоторой точке с, удовлетворяющей условиям а<с<Ь. Тогда ее правый предел 1(с+О), который существует согласно доказанной выше лемме, будет отличен от значения [(с), и поэтому справедливые в силу замечания к указанной лемме неравенства (4.1) примут вид а=[(а)<[(с) <)'(с+0)«=[(х)<1'(Ь) =й (4.2') (для всех х из полуннтервала с<х(Ь).
Неравенства (4,2') означают, что содержащийся в [а, р] интервал (1(с), ) (с+О)) не содержит значений функции [(х)е, а это противоречит тому, что любое число у нз сегмента [а, р] является значением этой функции. Теорема 4.4 полностью доказана. Теорема 4.5. Пусть функция у=Я(х) возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [а, Ь], и пусть а=[(а), р=[(Ь). Тогда на сегменте [а, й] (соответственно на сегменте [р, а]) определена обратная для у=)(х) функция х=[-'(у), которая возрастает (убывает) и непрерьсвна на указанном сегменте. Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непрерывности на сегменте '[а, Ь] данной функции вытекают существо- * В самом деле, для х<с значение 1(х) удовлетворяет неравенству !(х)~ «(1(с) (в силу возрастания функции), а для х с значение 1(х) удовлетворяем неравенству 1(с+0)«<)(х) (в силу (4.2')).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
