В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При формулировке условия Коши достаточно в приведенном выше определении заменить условия (3.60) для случая правого [левого] предела в точке а условиями а<х'<а+б, а<х" <а+6 [а — 6<х'<а, а — 6<х"<а], для случая предела при х-+оо условиями ]х']>б, ]х" ]>б н, наконец, для случая предела при хл-+оо [х-~ — оо] условиями х'>6, х">6 [х'< — 6, х" < — 6]. Соответствующие критерии Коши доказываются по схеме доказательства теоремы 3.20: следует только во всех рассуждениях понимать под последовательностями значений аргумента (х„') и (х,") в случае правого [левого] предела в точке а последовательности, сходящиеся к а и состоящие из чисел, ббльших а [меньших а], в случае предела при х-е-оо бесконечно большие последовательности и, наконеп,, случае предела при х-е+оо[х-р- †) бес- |1В Гл. 3.
Теория пределов конечно большие последовательности, состоящие из положительных [отрицательных] чисел. 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Справедлива следующая фундаментальная теорема. Основная теорема 321. Пусть две функции /(х) и п(х) заданы на одном и том же множестве (х) и имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь и с. Тогда функции /(х)+д(х), /(х) — к(х), /(х) к(х) и /(х)/д(х) имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь+с, Ь вЂ” с, Ь с, Ь/с (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля).
Доказательство. Пусть (х«) — произвольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения 1 предела по Гейне соответствующие последовательности значений функции (/(х,)) и (д(х«)) сходятся к пределам Ь и с соответственно. Но тогда в силу теорем 3,9 — 3.12 последовательности (/(х )+й(х,)), (/(х ) — к(х )), (/(х ) к(х«)) и [ — 1 сходятся к пределам Ь+с, Ь вЂ” с, Ь.с и Г /(х„) 1 ! я(..)! Ь/с соответственно. Это последнее в силу произвольности последовательности значений аргумента (х«), сходящейся к а, и в силу определения 1 предела по Гейне означает, что функции /(х) + +д(х), /(х) — д(х), /(х) у(х) и /(х)/я(х) имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь+с, Ь вЂ” с, Ь.с и Ь/с. Теорема доказана.
Доказательство соответствующей теоремы для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при х-|-оо и предела при л- +оо[х — со] проводится по той же схеме, Все отличие состоит в том, что в качестве последовательности значений аргумента (х«) следует взять в случае правого [левого] предела в точке а последовательность, сходящуюся к а и состоящую из чисел, больших а [меньших а], в случае предела при х- оо — бесконечно большую последовательность и, наконец, в случае предела при :т-+.+ оо [х — оо] бесконечно большую последовательность, состоящую из положительных' [отрицательных] чисел.
Рассмотрим примеры применения теоремы 3.21. Выше в и. 2 мы убедились в том, что для любой точки а бесконечной прямой 1нпх=-а. Используя теорему 3,21, мы можем утверждать, что х-«« 1нп х' = 1цп х 1пп х = а. а = а' н, вообще, для любого номера п Вп| х«а« Пусть теперь Р (х) =Ья+Ь!х+Ь,х'+...+Ь„х", где Ь,, Ьь „, Ь„ь Ь«ФΠ— некоторые постоянные числа. Такая функция Р„(х) называется многочле нам степени п.
В силу той же теоремы 3.21 й 4, Предел функцян 119 Вп1 Р„(х) =- 1!гп 1Ьа + Ь х + ... + Ь„х") = Ь + Ь а + ... + Ь а" = Р (а) для любой точки а бесконечной прямой. Итак„многочлен Р„(х) имеет предел в любой точке а бесконечной прямой, и этот предел равен частному значению этого много- члена в точке а. Пусть, наконец, Р„(х) и 1, (х) — два произвольных многочлена степеней и и т соответственно. Частное )т(х) =- — принята Ра(х) 1Ь. (х) называть рациональной дробью. В силу теоремы 3.21 для случая частного 1цп Ра(х) 1!гп Я (х) = 1пп "! ) * ' "! ) К (а) х а х а 1г,а(х) 1цц <Ъи(х) Юи(а) н любой точке а, не являющейся корнем мпогочлена !г (х). Таким образом, рациональная дробь имеет предел в каждой точке а бесконечной прямой, не являющейся корнем ее знаменателя, и этот предел равен частному значению этой дроби в указанной точке а, 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Ради определенности будем рассматривать предел функции в точке а. Функция а(х) называется бесконечно м алой в точке а, если предел этой функции в точке а равен нулю. Примером бесконечно малой в точке а функции может служить функция а(х) = (х — а) ", где и — любое целое положительное число. В самом деле, в конце предыдущего пункта мы установили, что многочлен (х — а)" имеет предел в каждой точке а, причем этот предел равен частному значению этого многочлена в точке х=а, т.
е. равен нулю. Заметим, что если функция !(х) имеет предел в точке а, равный числу Ь, то функция а(х) =1(х) — Ь является бесконечно малой в точке а, Это вытекает из того, что пределы каждой из функцнй !(х) и й(х)=Ь в точке а равны числу Ь, и из теоремы 3.21 для случая разности ) (х) — д (х) . Сформулированное утверждение приводит нас к следующему специальному представлению для функции 1(х), имеющей равный Ь предел в точке а: ! (х) = Ь+ а (х), (3.63) где а(х) — некоторая бесконечно малая в точке а функция. Представление (3.63) весьма удобно в различных приложениях теории пределов.
Введем теперь понятие бесконечно большой в данной точке а справа !или слева) функции. 120 Гл. 3. Теория пределов Функция А(х) называется бесконечно большой в то чке а справа [слева) функцией, если для любой сходящейся к а последовательности (х„) значений аргумента, все элементы которой больше а [меньше а[, соответствующая последовательность значений функции (А (х„)) является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.
Для бесконечно больших в точке а справа [слева[ функций используется следуюшая символика: !!т А(х) = + со [ !нп А(х' = + оо] а-аа+О а-аа — О или 1пп А(х) = — оо [ !!гп А(х) = — оо]. а.аа+О а а-О Иногда употребляют более лаконичную символику: А (а+О) =+оп [А (а — О) = +по) или А (а+О) = — оо [А(а — О) = — оо[. Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке а функций. Пусть а(х) и р(х) — две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке а.
!'. Говорят, что а(х) является в точке а бесконечно м а л о й б о л е е в ы с о к о г о и о р я д к а, ч е м р(х) (и м е е т в точке а более высокий порядок малости, чем Р(х)), если !нп () =0 (3. 64) - Р(х) = . 2'. Говорят, что а(х) и [1(х) являются в точке а бесконечно малыми одного порядка (имеют в точке и одинаковый порядок малости), если предел, стоящий в левой части (3.64), равен конечному числу, отличному от нуля. 3'. Говорят, что о(х) и 6(х) являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если предел, стоящий в левой части (3.64), равен единице. Для обозначения того, что а(х) является в данной точке бесконечно малой более высокого порядка, чем р(х), используют следуюшую запись: а=о(6) (читается: «а равно о малому от р»).
Итак, символ о(р) обозначает любую бесконечно малую в данной точке а функцию, имеющую в этой точке более высокий порядок малости, чем бесконечно малая в той же точке функция 121 $4. Предел функции О(х). Из этого определения символа «о малое» вытекают следующие его свойства: 1) о(ф)+о(й) =оф), о(й) — о(й) =о(б); 2) если у=о(р), то о(б) +о(у) =о(р) ", 3) если а и б — любые две бесконечно малые в данной точке функции, то а О=о(а) и а р=о(р). Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке а справа (или слева) функции. Пусть А(х) и В(х) определены для одних и тех же значений аргумента и для определенности 1ип А(х) =+ оо, 1ип В(х) =+оо. х»а+о х»а+о 1'. Говорят, что А(х) имеет в точке а справа более высокий порядок роста, чем В(х), если функция А(х) В (х) является бесконечно больгиой в точке а справа.
2'. Говорят, что А(х) и В(х) имеют в точке а справа одина ко вьгй порядок роста, если предел функции — при А(х) В(х) х-»а+О равен конечному числу, отличному от нуля. Приведем примеры сравнения бесконечно малых н бесконечно больших функций. 1. Функции а(х)=хо — хо и р(х)=бх'+х" являются в точке х=О бесконечно малы н одного порядка, ибо а(х' . хо — хо . 1 — х' 1 1ип — — 1ип = 1ип — = —. х о Р(х х-о 5х'+х' х- о 5+х 5 2. Функции а(х) *=(х — 2)'(х — 1) и р(х) =(х — 2)' являются в точке х=2 эквивалентными бесконечно малыми, ибо 1ип — = Пгп а(х) .
(х — 2)'(х — 1) ' = Пгп(х — 1) =1. х о ))(х) х о (х — 2)к х к 3. Функции А(х) = — и В(х) = — являются бесконечно 2+х 1 х х большими одинакового порядка роста в точке х=О как справа, так и слева, ибо 1ип — =! ип (2 + х) = 2. А(х) х-о В(х) х о Аналогично определяются и сравниваются функции, бесконечно малые или бесконечно большие при х- оо, а также при х- +ее (соответсгвенно при х -оо). Гл. 3.
Теория пределов й З. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Анализируя определения различных видов предела функции Г(х) по Коши, мы легко можем заметить, что во всех этих определениях требуется, чтобы для любого з>0 все значения этой функции, отвечающие значениям аргумента х, принадлежащим некоторому множеству С„удовлетворяли неравенству (3.58)', т. е. принадлежали з-окрестности Ь. При этом множество С„определенное для всех 6>0, имеет разный вид при определении различных видов предела. При определении предела в точке а множество С, представляет собой проколотую 6-окрестность точки а, прн определении правого [левого] предела в точке а множество С, представляет собой интервал (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)], при определении предела при х- оо множество С, представляет собой внешнюю часть сегмента [ — 6, +6] и, наконец, при определении предела при х- оо [при х-е — оо] множество С, представляет собой открытую полупрямую (6, +со) [соответственно ( — оо, — 6)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
