В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В силу определения 3 сходящейся последовательности (см. и. 4 $1) это и означает, что последовательность (х„) сходится к пределу х. Теорема 3.17 доказана. Докажем теперь следующую важнейшую теорему. Основная теорема 3.18 (критерий Коши сходи- мости последовательности). Для того чтобы последовательность (х„) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Необходимость. Пусть последовательность (х„) сходится к некоторому пределу х. Докажем, что эта последовательность является фундаментальной. Фиксируем произвольное положительное число и. Так как последовательность (х„) сходится к пределу х, то для положительного числа г/2 найдется номер Лт такой, что при всех и~ у 104 Гл. 3. Теория пределов ~х„— х~ <е/2. (3.54) Если р — любое натуральное число, то при всех пъй/ и подавно будет справедливо неравенство ~х +я — х~ <е/2 (3.55) (ибо при пъ.й/ заведомо будет справедливо неравенство и+ръ/у).

Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (3.54) и (3.55) мы получим, что при всех п>й/ и для любого натурального р ~ха+и Хл ) = ~ [Хя» р Х) + (Х Ха) ~ ~ 1хп+я Х~ + ~ Хп Х ) (Е а это и означает фундаментальность последовательности (х ).

2) Достаточность. Пусть последовательность (х ) является фундаментальной. Требуется доказать, что эта последовательность является сходящейся. В силу теоремы 3.17 достаточно доказать, что последовательность (х„) ограничена и что ее верхний и нижний пределы х и х совпадают между собой. Ограниченность любой фундаментальной последовательности уже установлена нами выше (см. свойство 2). Остается доказать, что для любой фундаментальной последовательности (х„) верхний предел х и нижний предел х совпадают.

Фиксируем произвольное положительное число е. В силу свойства 1 фундаментальной последовательности найдется элемент этой последовательности хн такой, что вне е-окрестности этого элемента, т. е. вне интервала (хн — е, хи+и) лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х ). Но тогда в силу следствия 2 из теоремы 3.16 'интервал (х, х) обязан содержаться в интервале (хь — е, хм+а) и, в частности, должно быть справедливо неравенство х — х( (хи+в) — (хн — е) =2е. Так как, кроме того, х~х, то для любого з>0 будут справедливы неравенства 0<х — х~2е. В силу произвольности е из этих неравенств вытекает, что х — х=0 е, т. е.

х=х. Критерий Коши полностью доказан. Применим критерий Коши для установления р а с х о д и м о с т и 1 1 последовательности (х ) с элементами х„ = 1 + — + ... + — . 2 и Заметим, что если для любого номера п натуральное число р взять равным и, то мы получим, что для всех номеров п 1Х„». — х 1 = 1хз„— х„~ = (1+ — + ...

+ — )— 1 1 ь В самом деле, если бы разность х — х равнялась положительному числу а, то, взяв а качестве з число а/3, мы бы получили противоречие с неравенством х — хз-2а 4 4. Предел функции 1 1 ! 1 1 1 — (.1+ — + ... + — ' = — + — +... + — > 2 и у и+1 и+2 2и 1 1 Р-и 2н 2 ибо подчеркнутая сумма содержит и слагаемых, наименьшее из 1 которых равно 2и 1 Таким образом, для положительного числа е= — не сущест- 2 вует номера М такого, что прн всех и) Л! и для любого натураль.

ного р справедливо неравенство !х,+р — х ~ <е. Это означает, что рассматриваемая последовательность не является фундаментальной н (в силу критерия Коши) расходится. В качестве второго примера применим критерий Коши для установления сходимости последовательности (х„) с элементами х„ =1+д+ ...

+4!н, где д — любое число из интервала 0<д<1. Для любого номера и и любого натурального числа р (р=- = 1, 2,...) справедливо неравенство (х„» — х„~ = (1 + д+ ... + г(+р) (1+ д + .... + д") = 1 — 'ч ! —,1' Фиксируем произвольное положительное, число е. Так как при 0<д<1 последовательность (7н) является бесконечно малой, то для положительного числа е(1 — д) найдется номер !к" такой, что при всех и:з.й! справедливо неравенство д" <е(1 — д).

(3.57) Из неравенств (3.56) и (3.57) вытекает, что при всех и~У н для любого натурального р ~х„+ — х„~< е(1 — 4) =е, ! †а зто означает, что рассматриваемая последовательность является фундам=нтальной и (в силу критерия Коши) сходится. й 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) функции Перейдем теперь к изучению другой более сложной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела (или пределеного значения) функции. Но прежде всего мы должны уточнить сам! понятия переменной величины и функции.

1, Понятия переменной величины и функции. Как мы уже видели в гл. 1, к понятию функции приводит изучение'двух перемен- 1Об Гл. 3. Теория пределов ных величин, изменение которых взаимообусловлено. Поэтому естественно начать с уточнения понятия переменной величины. Рассмотрение реальных физических переменных величин приводит нас к выводу, что эти величины не всегда могут принимать произвольные значения.

Так, скорость материальной точки не может быть больше 3 !01а см/с (т. е. скорости света в пустоте), температура тела не может быть меньше — 273', смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания по закону у=А соз(ой+б), может принимать значения только из сегмента ( — А, +А). Отвлекаясь от конкретных физических свойств наблюдаемых в природе переменных величин, мы приходим к понятию м а тем атической переменной велич ивы, характеризуемой только численными значениями, которые она может принимать *. Множество (х) всех значений, которые может принимать данная переменная величина х, называется о б л а с т ь ю и з м е н ения данной переменной величины.

Переменная величина считается заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы, как правило„будем обозначать переменные величины малыми латинскими буквами х, у, т, ..., а области изменения этих переменных величин соответственно символами (х), (у) (г) -" Перендем теперь к уточнению понятия функции. Пусть задана переменная величина х, имеющая областью изменения некоторое множество (х). Если каждому значению пеоеменной х из множества (х) ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят„ что на множестве (х) задана функция у=у(х) или у=((х).' При этом переменная х называется а р г у м е н т о м или н е з ависимой переменной, множество (х) называется областью задания функции, а то число у, которое соответствует данному значению х, называется ч а с т н ы и з н а ч е н и е м ф у н к ц и и в т о ч к е х.

Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество (у), которое называют либо областью изменения функции, либо множеством всех значений функции. В обозначении у=у(х) букву Г часто называют х ар а к те ристикой функции. Для обозначения аргумента, функции и ее характеристики могут употребляться различные символы.

Остановимся на примерах функций. 1*. у= )т'4 — х'. Эта функция задана иа сегменте — 2~х(2 (при этом выражение под знаком корня является неотрицатель- ' Понятие неременной величины также относится к числу начальных математических ионятий. 107 $4. Предел функции ным), а множеством всех ее значений является сегмент 0(у<2 (рис. 3.4). 2'. Так называемая функция Дирихле', которая определяется так: 1 О, если х — иррациональное число, у ='Р(х)= ~ 1, если х — - рациональное число. Эта функция задана на бесконечной прямой — со<х<+ое, а множество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1. 3н +1, если х>0, У=зйпх= О, если х=О, — 1, если х< О. (Термин «зуп» происходит от латинского слова з(ипшп — знак.) Читается: «у равно сигнум х».

Эта функция задана на всей бесконечной прямой — со<х<+о, а множество всех ее значений состоит из трех точек у= — 1, у=О и у=! (рис. 3.5). Рис. 3.5 Рис. 3.4 4. у=!х1, или у=Е(х), где символ 1х1 или Е(х) обозначает целую часть числа х или, точнее, наибольшее целое число, не превосходящее х. Читается:.«у равно антье х» (от французского слова еп(1ег — целый). Эта функция задана на всей бесконечной прямой — сс<х<+ое, а множеством всех ее значений является множество всех целых чисел (рис. 3.6). 5'.

у=п!. Эта функция задана на множестве всех натуральных чисел п=-1, 2, 3, .... Множеством всех значений этой функции является множество натуральных чисел вида п1=1 2 3 ... и, где п = 1, 2, 3, ... (рис. 3. 7) . Часто закон, устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется ан ал итическ им. * Петер Густав Лежен-Дирихле — немецкий математик ()805 — 1859). Гл.

3. Теории пределов 108 При этом следует подчеркнуть, что функция может задаваться разными формулами на разных участках области своего задания. Например, функция — х при и<0, хи при х)О задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой — со<х<+ос (рис. 3.8). Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8 Весьма распространенным способом задания функции является так называемый т а б л и ч н ы й способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Прн таком способе задания можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, отвечающие промежуточным значениям аргумента.

Для этого применяется метод и н т е р п о л я ц и и, заключающийся в замене функции между ее соседними табличными значениями какой-либо функцией простой природы (например, линейной или квадратичной). Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местополо- юй $4. Предел функции жение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позволяет приближенно определить местоположение поезда в любой промежуточный момент времени. В практике физических измерений весьма распространенным является и еще один способ задания функции — так называемый графический способ, прн котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе).

Характеристики

Список файлов книги