В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Тот факт, что правый и левый пределы этой функции не равны друг другу, не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение: если функция 1(х) имеет в точке а как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы. равны одному и тому все числу Ь, то эта функция имеет в точке а предел, равный Ь". Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться определениями 1а и 2* и учесть, что если неравенство (3.58) справедливо для значений аргумента х, удовлетворяющих условиям а<х<а+6 и а — 6<х<а, то неравенство (3.58) справедливо и для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0<1х — а~ <6.

' Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если функция 1(х) иые. ет в точке а равный Ь предел, то как правый, так и левый пределы 1(х) в точке о существуют и оба равны Ь. 614 Гл. 3. Теория пределов Сформулируем теперь понятие предела функции при х-+-оо. Для введения этого понятия следует потребовать, чтобы мнозсест'ео (х), на котором задана функция у=/(х), для любого 6>0 имело хотя бы один элемент, лежащий вне сегмента ( — 6, ллб). Определение 3 (предел функции п р и х-~оо по Гейне). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции у=/(х) при х — кое, если для любой ебесконечно большой последовательности значений аргумента (х,) соответствующая последовательность значений функции (/(х„)) сходится к числу Ь. О п р е д е л е н и е Зе (п р е д е л ф у н к ц и и п р и х-+.оо п о 'Кош и). Число Ь называется пределом (или предельным з и а ч е и и е м) ф у н к ц и и у=Я(х) и р и х — е.оо, если для любого еположительного числа в найдется отвечающее ему положительное .число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию !х) >6, справедливо неравенство (3.5Й).

Для обозначения предела функции у=/(х) при х — оо используют следующий символ: 1!ш/(и) = Ь. В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 3 и Зе. Следует лишь в рассуждениях, использованных при доказательстве этой теоремы, во!оду заменить сходя!цуюся последовательность значений аргумента (х,) бесконечно большой последовательностью значений аргумента (хв), а нера.венство 0<!х — а~ (6 заменить неравенством !х!>6. Примером функции, имеющей предел при х-+оо, может слу! окить функция /(х) = — (хчоО), В самом деле, для любой бескох печно большой последовательности значений аргумента (х,) соответствующая последовательность значений функции /(х„) =1/х„ (в силу теоремы 3.6) является бесконечно малой, т.

е. имеет своим пределом число Ь=О. Значит, в силу определения 3 !пп — = О. 1 Сформулируем, наконец, понятие предела функции при стремлении х к бесконечности определенного знака. Для введения такого понятия потребуем, чтобы функция у=/(х) была задана на таком множестве (х), которое для любого 6>0 имеет хотя бы один элемент, лежащий правее 6 (левее — 6). Определение 4 (предел функции при х +оо (х-+ — оо) п о Г е й н е). Число Ь называется и р е д е л о м (или и р е д е л ь и ье м значением) ф у и к ц и и у =/(х) п р и м — ~+во [при х — оо), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента (х,), все элементы которой $4. Предел функции положительны [отрицательны[, соответствующая последовательность значений функции Ц(х„)) сходится к числу Ь.

Определение 4" (предел функции прн х- +со [х- — оо) по Коши). Число Ь называется пределом (или и р е д е л ь и ы м э н а ч е н и е и) ф у и к ц и и у = [(х) при х- +со [при х- — о), если для любого положительного числа а найдется отвечающее ему полоскательное числа 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию х>6 [х< <,6[, справедливо неравенство (3.58).

Для обозначения введенных понятий используется следующае символика: 1пп 7" (х) = Ь [ 1'ип 7' (х) =. Ь) . х-~4-ю Л Ф Эквивалентность определений 4 и 4" доказывается по схеме доказательства теоремы 3.19: следует только во всех рассуждениях заменить сходящуюся последовательность значений аргумента (хн) на бесконечно большую последовательность значений аргумента (хн), состоящую из положительных [отрицательных) чисел, а неравенство О< [х — а[<6 заменить неравенством х>6 [х< — 6).

3 а м е ч а н н е 6. Отметим, что изученное нами в $1 — 3 понятие предела числовой последовательности (х„) можно рассматривать как частный случай предела функции при х-ь.+ьо. В самом. деле, если взять в качестве (х) мвожество всех натуральных чисел 1, 2, ..., п, ..., а в качестве функции [(х), заданной на этом множестве, ту функцию, которая каждому значению аргумента п ставит в соответствие и-й член последовательности х„ то определение 4ь предела такой функции прн х- + оь в точности совпадет с определением предела числовой последовательности (х„).

3'а меча ние 7. Естественно, возникает идея связать воедино все введенные нами понятия пределов функции и предел числовой последовательности. В $ 5 настоящей главы вводится понятие общего предела функции по базе, включающее в себя как частный случай все введенные нами понятия пределов функции и понятие предела числовой последовательности. 3. Критерий Коши существования предела функции. Ради определенности рассмотрим подробно случай предела функции у=[(х) в точке а, введенного определениями 1 и 1'.

Определение. Будем говорить, что функция у=1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши, если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для любых двух значений аргумента х' и х"„ удовлетворяющих условиям 0<[х' — а[<6, 0<[х" — а[<6, (3.60) справедливо неравенство [7(х') — )'(х") [ <е. (3.61)1 410 Гл. 3. Теория пределов Теорема 320 (критерий Коши существования предел а функции в то'чке а), Для того чтобы функция у=1(х) имела в точке а конечный яредел, необходимо и достаточно, чтобы функция у=1(х) удовлетворяла в точке а условию ,Коши. Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Необходимость. Пусть существует конечный предел 1нп1(х) = Ь. Фиксируем произвольное положил а тельное число а. В силу определения 1" предела функции по Коши для положительного числа е12 найдется положительное число 6 такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие условиям О< ~х' — а~ <6, О< ~хл — а) <6, для соответствующих значений функции справедливы неравенства ~Г(х') — Ь| ( —, ~1(х") — Ь|(— 2 2 (З.б2) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу неравенств (3.62) мы получим, что У (» ) 1( ") ) = ~ (1(» )-Ь) + (Ь-1(хл)) ~ < <~7'(х') — Ь!+ ~)(хл) — 6~ <а, а это и означает, что функция у=1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши.

2) Достаточность. Пусть функция 1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши. Требуется доказать, что функция 1(х) имеет н точке а предел. Пусть (х„) — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел, отличных от а. В силу ойределення 1 предела по Гейне достаточно докузать, что соответствующая последовательность значений функ,ции ()(х,)) сходится к некоторому числу Ь и что это число Ь одно и то же для всех сходящихся к а последовательностей (х,), состо.ящих нз чисел, отличных от а. Докажем сначала, что для каждой сходящейся к а последовательности (хл) значений аргумента, отличных от а, соответствующая последовательндсть значений функции (1(х,)) сходится н некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число е н по нему отвечающее ему, согласно условию Коши, по.ложительное число 6.

В силу сходнмостн последовательности (х„) 'к а и в силу условия х,чьа для этого 6>0 найдется номер У такой, что 0<1х„— а~ <6 при я~У. Если теперь р — любое нату.ральное число (р=1, 2, 3, ...), то тем более 0<)х,+ — а) <6 при я>1Ч '. Таким образом, при и- У и для любого натурального р спра~ведливы два неравенства: О< ~х„+л — а~ <6, О< ~я,— а) <6. ' Иоо если л~У, то и нодввно я+я~У. $4. Предел функции 117 Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при а>Ф и для любого натурального р ][(Хичр) 1(Хр) ],<3, а это означает фундаментальность последовательности Д(х )). В силу критерия Коши.сходимости числовой последовательности (см. теорему 3.18) последовательность ([(х )) сходится к некоторому числу Ь.

Остается доказать, что для любых двух сходящихся к а последовательностей значений аргумента (х„) и (х ), все элементы которых отличны от а, соответствующие последовательности значений функции ([(х„)) и (1(л„')) сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности ()(х )) и ()(х„')) сходятся к пределам Ь и Ь' соответственно. Рассмотрим новую последовательность значений арсумента хь х1', хь хз, хз, хз, ..., х„ х,', ..., также сходящуюся к и и состоящую из чисел, отличных от а. В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений фУнкЦии У(х,), У(х,'), Г(хз), У(хз'), ..., )(хч), У(х„'),...

обЯ- заиа сходиться к некоторому пределу Ь". Но тогда в силу утверждения, доказанного в начале п. 1 $3, и ллобая подпоследовательность этой последовательности обязана сходиться к тому же самому пределу Ь". Значит, как подпоследовательность нечетных элементов )(х~), )(хз), ..., )(х,), ..., так и подпоследовательность четных элементов 1(хл'), 1(хз'), ..., )(х '), ... обе сходятся к Ь". Отслода вытекает, что Ь=Ь'=Ь". Теорема полностью доказана. Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при хл-оо и предела при х-~+ оо[х-р †].

Характеристики

Список файлов книги