В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

3. Теория пределов 100 Очевидно, что построенная нами подпоследовательность ха„ ха„...,ха„, ... является бесконечно большой. Замечая, что эта подпоследовательность заведомо содержит бесконечно много либо положительных, либо отрицательных членов, мы может выделить из нее бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма доказана. Из леммы 2 и из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает следующее утверждение.

Л е м м а 3. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма 3 естественно приводит к идее расширения понятия предельной точки последовательности. Договоримся формально дополнить введенные выше конечные предельные точки последовательности еще двумя возможными предельными точками +оо и Будем говорить, что + оо ( — оо) является предельной точкой последовательности (х„), если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой положительны (отрицательны), При таком расширении понятия предельной точки из леммы 3 вытекает следующее утверждение: у совершенно произвольной последовательности существует хотя бьч одна предельная точка е. Естественно, считая, что + со и — оо связаны с любым конечным вещественным числом х соотношением —.оо(х(+со, убедимся в том, что у совершенно произвольной последовательности (х„) существуют верхний и нижний пределье (т.

е. существу'от наибольшая и наименьшая предельные точки).' Ради определенности остановимся на доказательстве существования верхнего предела. В силу теоремы Зйб достаточно рассмотреть лишь случай, когда последовательность (х„) н е я в л я е т с я о г р а н и ч е н н о й. Если при этом последовательность (х ) не является ограниченной сверху, то из нее можно выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны, и поэтому '+ оо является предельной точкой, а значит, и верхним пределом последовательности (х,). Остается рассмотреть случай, когда неограниченная последовательность (х,) является ограниченной сверху, т.

е. когда существует вещественное число М такое, что все элементы х последовательности удовлетворяют неравенству х„ (М. Так как прн этом последовательность (х,) не является ограниченной снизу, то нз нее можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, а Либо конечная, либо равная +ее или †. а 3.

Прои»вольные последовательности все элементы которой отрицательны, т. е. — оо является предель« ной точкой такой последовательности. Если при этом указанная последовательность (х„) не имеет ни одной конечной предельной точки, то единственная предельная точка — о и является верхним пределом этой последовательности. Если же при этом у указанной последовательности есть хотя бы одна конечная предельная точка хэ, то, фиксировав некоторое в>0, мы выделим из этой последовательности подпоследовательность тех ее элементов х, которые удовлетворяют неравенствам е хэ — в<ха ~М. Выделенная подпоследовательность ограничена, и по теореме 3.16 у нее существует наибольшая предельная точка, которая является наибольшей предельной точкой (т.

е. верхним пределом)' и всей последовательности (х ). Существование у совершенно произвольной последовательности верхнего предела доказано. Аналогично доказывается, что у совершенно произвольной последовательности существует нижний предел. В заключение заметим, что почти все понятия и утверждения, установленные нами в этом и в предыдущем пунктах, переносятся на случай и р о и з в о л ь н о г о числового множества (х), имеющего бесконечное число элементов. Точку а бесконемной прямой ( — оо, + со) назовем предельной точкой такого множества, если в любой е-окрестности точки а содержится бесконечно много элементов этого множества. Наибольшую и наименьшую предельные точки множества (х) назовем соответственно верхней и нижней предельным н точ к а м и этого множества. Повторяя рассуждения теоремы 3.16 с заменой термина «последовательность (х„)» термином «множество (х), содержащее бесконечное число элементов>, мы придем к следующему утверждению: у всякого ограниченного множества (х), имеющего бесконечное число элементов, существуют верхняя и нижняя предельные точки (и, в частности, существует хотя бы одна предельная точка).

Из этого утверждения вытекает следующее обобщение теоремы Больцано — Вейерштрасса: из элементов всякого ограни ченного множества (х), имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся подпоследовательность еэ. Как и для случая последовательности, удобно расширить понятие предельной точки и считать, что + оо 1 в оо) является и р едел ьной точкой множества (х), если из элементов этого мно- ' Заметим, что ха(М, ибо все элементы х„последовательности (х ) удовлетворяют неравенству х„<М. Далее эаметнм, что в силу того, что хэ— предельная точка, существует бесконечно много элементов х„ последовательности (х ), удовлетворяющих неравенству ха — е~х„(М. Любые два элемента иоторой являются различными элементами множества (х).

102 Гл. 3. Теория пределов жества можно выделить бесконечно болыиую последовательность, состоящую из положительных (стриг)ательных) чисел. Эта формализация позволяет нам утверждать, что у совергиеиио произвольного числового множества (х), имеющего бесконечное число элементов, существуют хотя бы одна предельная точка, а также верхняя и нижняя предельные точки.

3. Критерий Коши* сходимости последовательности. При изучении вопроса о сходимости последовательности (х„) с помощью определения сходящейся последовательности приходится оценивать разность х — а элементов последовательности и ее предполагаемого предела а. Иными словами, приходится предугадывать величину предела а этой последовательности.

В этом пункте мы установим «внутренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий сделать заключение о ее сходи- мости лишь по величине ее элементов и не использующий величины предполагаемого предела этой последовательности. Для установления такого критерия введем понятие фундаментальной последовательности. Определение. Последовательность (х ) называется фунд а м е н та л ь и о й, если для любого положительного числа в найдется номер У такой, что для всех номеров п, удовлетворяющих условию п»У, и для любого натурального р (р=1, 2,...) справедливо неравенство )х„+р — х„1 <е. Установим два важных свойства л ю бой фундаментальной последовательности. С в о й с т в о 1.

Для любого положительного числа в найдется элемент фундаментальной последовательности хн такой, что в а-окрестности этого элемента хи находятся все элементы х„этой последовательности с номерами и, удовлетворяющими условию п»У. Другими словами, для любого е>0 найдется элемент фундаментальной последовательности хи, вне е-окрестности которого лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности.

Для доказательства этого свойства следует фиксировать произвольное положительное число е и взять в определении фундаментальной последовательности номер и равным У. Мы получим при этом, что для любого натурального р (р= 1, 2,...) элементы фундаментальной последовательности удовлетворяют неравенству ~ хи+ р — хи, ( < е или, что то же самое, неравенству хн — е < хи+ р < хи+ е. ' Огюстен Лук Коши — фраккузскка математик 11789 — 1857).

$ 3. Произвольные иослеловательиости Так как р — любое натуральное число, то последние неравенства и означают, что все элементы фундаментальной последовательности, номер которых не меньше У, находятся в интервале (хл — г, хн+г), т. е. в е-окрестности хн. Свойство 1 доказано.

С в о й с т в о 2. Фундаментальная последовательность является ограниченной. Д о к а з а телье тв о. Фиксируем некоторое е)0. Так как последовательность (х„) является фундаментальной, то для этого у (в силу свойства 1) найдется элемент хн такой, что все элементы х„с номерами и) У удовлетворяют неравенству хн — е(х„<хи+~а. Обозначим теперь через А наибольшее из следующих (У+11 чисел: (хз), (хз(, ..., )хн з(, )хн — г1, )хн+е). Тогда, очевидно„длЯ всех номеров и будет справедливо неравенство ~хо( (А, которое и означает ограниченность последовательности (х ).

Свойство 2 доказано. Докажем теперь следующую вспомогательную теорему. Т е о р е м а 3.17. Для того чтобьз последовательность (х„) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и ее верхний и нижний пределы х и х совпадали между собой. До к аз а тел ьс тв о. 1) Необходимость. Пусть последовательность (х„) сходится.

Тогда она ограничена (в силу теоремы 3,8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 1 из п, 1 этого параграфа). Это и означает, что ее верхний и нижний пределы х и х совпадают между собой. 2) Достаточность. Пусть последовательность (х„) ограничена (при этом она в силу теоремы 3.16 имеет верхний предел х и 'нижний предел х), и пусть х=х, Положим х=х=х. В силуследствия 1 из теоремы 3.16 для любого г>0 в интервале (х — г, х+г)' лежат элементы последовательности (х ), начиная с некоторого номера.

Характеристики

Список файлов книги