В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Извлечем важное следствие из теоремы 3.15. Договоримся называть бесконечную последовательность сегментов (аь Ьт), (аа, Ьа),..., '1а, Ь ),...стягивающейся системой сегментов, если выполнены два требования: 1) каждый следующий сегмент содержится в предыдущем, т. е. а„<а +ь Ь ы<Ь для любого п=1, 2,...; 2) длина и-го сегмента (а„, Ь ), т. е.

разность ܄— а„, стремится к нулю при п-+«о. Следствие из теоремы 3.15. У всякой стягивающейся системы сегментов ([а„, Ь )) существует и притом единственная томка с, принадлежащая всем сегментам этой системы. 86 Гл. 3. Теория пределов Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что точка с, принадлежащая всем сегментам, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась еще одна точка г), отличная от с и принадлежащая всем сегментам, то, предположив ради определенности, что д>с, мы получили бы, что сегмент [с, г(1 принадлежит всем сегментам [а„, Ь„1. Но тогда для любого номера а выполнялись бы неравенства ܄— а„~д — с>0, что невозможно в силу того, что Ьа — па-е-0 прн и- Докажем теперь, что существует точка с, принадлежащая всем сегментам.

Так как система сегментов является стягивающейся, то последовательность левых концов (а ) не убывает, а последовательность правых концов (Ь 1 не возрастает. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все их элементы находятся на сегменте [а„Ь~~), то обе они сходятся (в силу теоремы 3.15).

Из того, что разность Ь вЂ” а является бесконечно малой, вытекает, что этн две последовательности (а„) и (Ь„) сходятся к общему пределу, который мы обозначим через с. В силу замечания 3 для любого номера л справедливы неравенства ва <с <Ь„, т. е. с принадлежит всем сегментам [а„, Ь 1. Следствие доказано. 3.

Число е. Применим теорему 3.15 для доказательства сходи- мости последовательности (х„), элемент х„ которой определяется равенством х„= (1+ — ', )". В силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что эта последовательность 1) является возрастающей; 2) ограничена сверху. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для х„следующее выражение: 1 а(а — 1) 1 а(а — 1) (а — 2) а 2~ ае 31 аз + а(а — 1)(а — 2) ... (а — (а — 1)1 1 а1 аи Это выражение перепишем в следующем виде: х„= 2+ 1 (1 — 1 ) + 1 (1 — — ) (1 — 2 ) + ... "— '(' — ')(' — ') ('- ') Для следующего элемента последовательности (х„) в полной аналогии с (3.34) получится следующее выражение: х„+, =-2+ — (1 — ) + — (1 — — ) (1 — — ) + Гл.

3. Теория пределов х„.ьт = — ( х„+ — ) (и = 1, 2, ... ), 1 г' а л а ( а (3.38у где в качестве первого приближения х, берется любое положительное число. Прежде всего докажем, что такая последовательность (х ) сходится, для чего в силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что она ограничена снизу и, начиная со нторого номера, является не- возрастающей. Начнем с доказательства ограниченности снизу. По условию хг>0. Но тогда из рекуррентной формулы (3.38), взятой при я=1, вытекает, что ха>0, далее из той же формулы (3.38), взятой при п=2, вытекает, что ха>0, ....

Продолжая эти рассуждения далее, мы последовательно докажем, что все х„>0. Итак, рассматриваемая последовательность ограничена снизу. Докажем теперь, что при п»2 все элементы х„удовлетворяют неравенству х„»)'и. Переписав формулу (3.38) в виде эта /' ха )Га '( т йга (3.39) воспользуемся тривиальным неравенством 1 + — > 2, справед- 1 ливым для всех 1>0 **. ь Рекуррентная формула (от латинского геспггепа — возвращающийся) формула, выражающая (л+1)-й элемент последовательности через значения ее первых в элементов. "' Это неравенство для всех 1»0 эквивалентно неравенству и+1»21, вытекающему иа того, что (1 — 1)'»О, Убедимся в том, что число е удовлетворяет неравенствам 2<к<3.

Для этого (в силу следствия 2 из теоремы 3.13) достаточно доказать, что каждый элемент х„последовательности (х„у удовлетворяет неравенствам 2~к(3. Неравенство х ~3 вытекает из (3.37), а неравенство 2~х вытекает из (3.34), если отбросить в (3.34) все члены, кроме первого. В дальнейшем выяснится, что число е играет важную роль в математике, и будет указан способ вычисления этого числа с любой степенью точности. 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. Начнем с рассмотрения последовательности, которая широко используется в современной вычислительной математике для приближенного нахождения корня квадратного из положительного вещественного числа а. Эта последовательность определяется следующей рекуррентной формулой ": 89 4 2.

Монотонные последовательности Взяв в этом неравенстве 1 = ~ " ) О, мы получим, что — "+ = 'Б- Ф + — > 2, н поэтому соотношение (3.39) дает х„+~~~а при а=1, нка ке 2, .... Зто и означает, что х„>)та при п=2, 3, .... Докажем, наконегт, что последователы1ость (х ), если ее рассматривать с номера в=2, является невозрастающей. Из рекуррентной формулы (3.38) вытекает, что — '.".' =+("+ х = — (х+ — ). Это равенство представляет собой уравнение для определения предела х. Единственный положительный корень этого уравнения есть х = 1/ а . Итак, мы окончательно доказали, что последовательность (х„), определяемая рекуррентной формулой (3.38) при любом выборе х~)0, сходится к пределу р' а .- В качестве другого применения теоремы 3.15 рассмотрим вопрос о вычислении предела последовательности (х ), элементы которой имеют внд м х„= —, и! (3.40) где 1 — любое фиксированное вещественное число.

Для любого фиксированного 1 найдется номер 1у такой, что ~1(<в+1 при всех и И. Но тогда, поскольку "+' = —, мы получим, что кл и+1 )х .„,~ < ~х„~ при всех и~Лт, т. е., начиная с номера Л', последовательиость (~х„() является убывающей. Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу (иапример, числом нуль), то Из последнего соотношения, учитывая, что х„))'а при н»2, получим, что ~' .ч,,1 при п>2 или х„+,.<х при н)2. Итак, прн «» п~ 2 последовательность (х ) является невозрастающей. По теореме 3.15 последовательность (х ) сходится к некоторому пределу х. Остаетсянайтиэтот предел.

Учитывая, что х„ъ'~а при и=. 2, мы получим (в силу теоремы 3.13), что х=. ~а>0. Принимая во внимание, что х>0, перейдем к пределу при и — ~-ее в рекуррентном соотношении (3.38). Мы получим в пределе прн и — ~-са из (3.38) следующее равенство: 90 Гл. 3. Теория пределов г х„= т' а+1 а+Уа+... +~а (3.41) при условии, что а)О и общее число извлекаемых корней равно и.

Указанную последовательность (х„) можно задать рекуррентным соотношением х,+, = )Га + х„(и = 1, 2, ...) (3.42) при условии, что х,= ~а. (3.43) .Для доказательства сходимости рассматриваемой последовательности достаточно (в силу теоремы 3.15) доказать, что она возрастает и ограничена. Сначала докажем возрастание последовательности (3.41), т.

е. докажем, что для любого номера хл<х +!. (3.44) Доказательство этого неравенства проведем по индукции Достаточно доказать два утверждения: 1) неравенство (3.44) справедливо для номера и=1, т. е. справедливо неравенство х!~хя! (3.45) 2) нз справедливости неравенства (3.44) для данного номера и по теореме 3.15 она сходится к некоторому пределу х. Для нахождения х запишем соотношение (3.40) для номера и+1: ~+ !" ! 1! х„+, = (и+ 1)! и1 и+! и+! Таким образом, (х„+,) = — (х„(, и, перейдя в последнем равени+! стве к пределу при и-л-ео, мы получим соотношение 1х( =)х) 1пп ~ =О.

л о и+1 Итак, последовательность ~х„(, а вместе с ней и последовательность (3.40), сходится к пределу х=О. В обоих рассмотренных примерах мы применили часто употребляемый прием: сначала с помощью теоремы 3.15 доказали существование предела последовательности, а затем нашли этот предел, устремив номер и к бесконечности в рекурреитном соотношении, выражающем (и+1)-й элемент последовательности через ее и-й элемент. В качестве третьего примера изучим вопрос о сходимости последовательности (х„), элемент х„которой имеет вид й 2. Мопотопвне последовательности вытекает справедливость этого неравенства и для номера и+1, т.

е. вытекает справедливость неравенства хп+г (Хп+г. (3.46) Справедливость неравенства (3.45) сразу вытекает из равенства (3.43) н нз соотношения х, = $ а + !т'а )Уа . Докажем, что нз справедлйвости неравенства (3.44) вытекаех справедливость неравенства (3.46). Из неравенства (3.44) и рекуррентной формулы (3.42) вытекает, что х >т = ')т"а + х„( )/а + х„+,. (3.47) С другой стороны, записывая рекуррентное соотношение (3.42) для номера и+1, мы получим равенство х„.ьг = н' а + х„.ьт, (3.48) Из сопоставления равенства (3.48) с неравенством (3.47) и вытекает неравенство (3.46). Тем самым индукция завершена и возрастание последовательности (3.41) доказано. Докажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху. Снова пользуясь методом математической индукции, мы докажем, что для всех номеров и х (М, (3.49) где М вЂ” наибольшее из двух чисел а и 2.

Сначала проверим, что неравенство (3.49) справедливо для номера и=1. Пользуясь равенством (3.43) и рассматривая отдельво случаи 0(а~2 и а>2, мы получим хт =)Га <(/2 (2 при 0(а~<2, (3.50) при а)2. хт =)/а ( а Из (3.50) вытекает, что хг (М, где М='шах(а, 2). Пусть теперь неравенство (3.49) справедливо для данного номера и. Пользуясь рекуррентным соотношением (3.42) и рассматривая отдельно случаи 0<а(2 н а>2, мы получим, что х +, — — )/а -(- х„( У2 + 2 = 2 при О ( а ( 2, (3.51) х +, —— 1 а + х„( 'г' а + а = )т'2а ( а при а ) 2. Из (3.5!) вытекает справедливость неравенства х +г~М, где М=тах(а, 2). Таким образом, индукция завершена, и ограниченность последовательности (3.41) доказана.

Характеристики

Список файлов книги