В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому всякое. рациональное число г можно записать в виде г= — (д ) О) Р и дробь считать несократнмой. Число 0 будем считать записанным О одним способом:. 0 = —. 1 Назовем число и= [р~+а высотой рационального числа р/д. Ясно, что рациональных чисел г, имеющих данную высоту, конечное число. Будем нумеровать натуральными числами 1, 2, 3, .... рациональные числа по возрастанию высоты, т.
е. сперва занумеруем все рациональные числа высоты й=1. Такое число только одно: О. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е. поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем зануме- 1 руем рациональные числа высоты п=2. Таких чисел два: 1 =-— б2 Гл. 2. Вещественные числа — 1 -и 1 = —. Первому из них поставим в соответствие натураль- 1 ное число 2 (т. е.
занумеруем его индексом 2), второму — число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответст"вие между всеми рациональными числами н всеми натуральными числами, т. е. В й1. Введем понятие счетного множества. Определение 1. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным тныше, мы получаем, что множество рациональных чисел является счетным множеством. Докажем следующие два простых утверждения о счетных мно.жествах. У т в е р ж д е н и е 1. Всякое непустое подмножество счетного .пножества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством с гегнылс Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть А — исходное счетное множество, .т. е. А-Ж вЂ” множеству натуральных чисел. Это означает, что элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. 'Расположим элементы множества А в виде последовательности: аь аа, ..., а„.... Пусть  — непустое подмножество множества А. Рассмотрим последовательно элементы аь аь аа, ... множества А. Если а,в=В, то этот элемент мы обозначим через Ьб если а~иВ, мы переходим к рассмотрению элемента а,.
При рассмотрении элемента аа могут представиться две возможности: а) элемент а,ыВ; если при этом было выполнено, что и а1ецВ, то элемент а, .'мы обозначим через Ьа, если же а1ЙВ, то элемент аа обозначается .через Ь|, б) элемент аае=В, тогда переходим к рассмотрению элемента аа и т. д. Ясно, что при этом может случиться, что все элементы множества В будут расположены в виде конечной последовательности: Ьь Ьь,, Ьм (М(ее). В этом случае множество В состоит нз конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной последовательности элементов Ьь Ьа, ..., Ь„, ..., откуда следует, что множество В счетное. Утверждение доказано.
У т в е р ж д е н и е 2. Сумма любой конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное. Дока з а тельство. Рассмотрим, например, случай, когда имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть Аь Аь Аз, ... — совокупность множеств, каждое нз которых счетно. Расположим элементы множеств А,, А,, А,, ... в виде последовательяостеи: й 7. Элементы теории множеств А, — ]аз! > а„, аз,, Аз =' (азз > азз > ' азз! ° ° ) ° ° 4 ° ° .) х„=О, а„>а„,...а„...
Рассмотрим на интервале (0,1) вещественное число х=0, Ь>Ьз ... ... Ь„..., где Ь! — любая цифра, отличная от ан, 0 и 9; Ьз — люба>ь цифра, отличная от азь 0 н 9; и т. дл Ь, — люГ>ая цифра, отличная от а„„, 0 и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним нз чисел х>, хз, ..., х„, .... Число х не содержит после запятой нулей и девяток, т, е. это число не принадлежит классу ра* В записи всех элементов множеств А>, Аз, ..., приведенной выше, стрелки указывают порядок, в котором мы производим нумерацию. Пусть А= Ц А„.
Произведем нумерацию элементов а множе«=! ства А=(а) следующим образом а: а>=ась аз=ам, аз=ам, а,=азь аз=ать аз=а>з и т. д. У некоторых множеств А; и А! могут оказаться общие элементы (при 1Ф1). В этом случае мы их учитываем только один раз, Таким образом, элементы множества А можно занумеровать„ т. е.
поставить во взаимно однозначное соответствие с множест- вом натуральных чисел >>>, т. е. А счетно. Утверждение доказано. Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные мно- жества, т, е. такие бесконечные множества, которые нельзя поста- вить во взаимно однозначное соответствие с множеством натураль- ных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме.
Теорема 2.2, Множество всех точек сегмента (О, 1] несчетно. До к азат ел ьс тв о. Рассмотрим ннтервал (О, 1). Очевидно„ что если мы докажем, что интервал (О, 1) несчетен, то и сегмент. [О, 1] будет несчетен, так как множество точек сегмента (О, 1] отли- чается от множества точек интервала (0,1) всего двумя точками: 0 н 1. Итак, докажем, что множество точек интервала (О, 1) не- счетно. Допустим противное, т. е.
предположим, что все вещест- венные числа интервала (О, 1) можно занумеровать. Записывая все числа интервала (О, 1) в виде бесконечных. десятичных дробей, получим, что х>=0, а>>а>з...а>, ха=О, ашазз - а Гл. 2. Вещественные чнсла циональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает .единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел хь хь ..., х„, ..., ибо совпадение чис.ла х с каким-либо числом х„ означало бы совпадение Ь„ и а,. Таким образом, интервал (О, 1), а вместе с тем н сегмент [О, Ц несчетен.
Теорема доказана. О п р е д е л е н и е 2. Множество, эквивалентное множеству то.чек сегмента [О, Ц, называется множеством м о щ и о с т и к о н г им у у лг а. Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума н счетные множества ие являются эквивалентными между собой множествами. В частности, нз теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте ,[О, Ц не все числа рациональны; в противном случае их можно было бы перенумеровать.
Из теоремы 2.2 также слсдуст, что иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество нли конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел — рациональных и иррациональных — было бы счетное множество. Расс готрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, го мы будем говорить, что они имеют одинаковую мои( ность или являются р а в и о м о щ н и м и. Для обозначения равномошности множеств А и В используют следующую символику: т(А) =т(В) '. Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножест.
ва, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощностьь множества А меньше мощности множества В. Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику: т(А) <т(В) . Например, из данного выше определения множества мощности континуума, нз теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощности множества сегмента [О, Ц, т.
е. мощности континуума. Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Логически возможны еще два случая: * Величину гл(А), представлящщуго собой общую характеристику класса всех эквивалентных множеству А множеств, принято называть ка р дня а л ьн ы м ч н с л о м. В частности, если А состоит нз конечного числа элементов, то т(А) равно количеству элементов этого множества. $ 7.
Элементы теории множеств а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквивалентное А. б) Множества А и В не эквивалентны, и нн одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен. Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мошности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума.
Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиоматической теории множеств. В заключение докажем, что сегмент [О, Ц и интервал (О, 1)— эквивалентные нли, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте [О, Ц и интервале (О, 1) по- 1 1 1 следовательность точек 2 3 н Точке 0 сегмента [О, Ц поставим в соответствие точку 1 — интервала (О, 1), точке 1 сегмента [О, Ц поставим в соот- 2 ! 1 ветствие точку — интервала (О, 1), далее точке — сегмента 3 2 1 [О, Ц поставим в соответствие точку — интервала (О, 1) 4 и т.
д., точке — сегмента [О, Ц поставим в соответствие точку 1 — интервала (О, 1), п)2. Всем остальным точкам сегмента 1 н+ 2 (т. е. точкам, отличным от О,1 и не принадлежащим-выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки интервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом [О, Ц и интервалом (О, 1) установлено. 4. Свойства операций над множествами. Отображение множеств. Отметим ряд свойств, введенных выше операций над множествами. Отношение в к л ю ч е н н я двух множеств обладает следуюшимн свойствами: 1') АсА; 2') если Ас:.В и Вс:.А, то А=В; 3') если ВсА и АсС, то ВсС; 4') Ис:А для любого множества А. 3 зак.
72 бб Гл. 2. Вещественные числа Операции суммы (объединения) и пересечения мно- жеств обладают следующими, непосредственно проверяемыми свойствами: б') (()Ач) ()В =() (А,ЯВ) (дистрибутивность пересечения); а а 6') (П А ) 0В = () (А„()В) (дистрибутивность объединения); о а 7') Ас:В эквивалентно условиям А()В=В или А()В=А. Напомним, что для подмножеств (А) некоторого фиксирован- ного множества Е мы ввели операцию дополнения А'= =Е,,А. Очевидно эта операция удовлетворяет следующим свой- ствам: 8') АЦА'=Е, АДА'=Я; 9') И'=Е, Е'=Я; 10') (()А )'=ДА ', 11') (()А )'=БА . Последние два свойства суть правила де Моргана*. Симметрической разностью двух множеств А и В назовем множество С(А()В) 1А()В). Симметрическая разность множеств А и В обозначается символом АЬВ.
Легко видеть, что А "~В=(А'ч,В)0(В~,А). Важнейшим понятием в анализе является понятие ото б р а- ж ения одного множества в другое. Пусть Х и У вЂ” какие-то множества. Если в силу некоторого закона 1 каждому элементу хе=Х соответствует элемент у=)'(х)е:-У, то говорят, что задано отображение )' множества Х в множество У. Записывают этот факт в виде ~: Х -э.
У или Х -т- 1'. В этом случае элемент у =7(х) называют о б р а з о м элемента х' или значением 7 на элем е н те х, а элемент х — и роо б р а з о м или одним из прообразов элемента у. Часто элемент хенХ называют переменным или аргумента м отображения 1. О б р а з о м множества Ас:Х при отображении 7: Х- У называют множество всех таких элементов из У, которые являются образами элементов хенА. Это множество обозначается символом 1(А). Если Вс:У, то прообразом (или полным прообразом) множества В называют совокупность всех элементов хенХ таких, что 1(х)енВ. Прообраз множества В обозначается символом 1 — '(В).
Отображение ):Х- У иногда удобно называть ф у н кци е й с областью определения Х и областью (или множеством) значений 1(Х) ~У. В некоторых разделах математики в зависимости от природы множеств Х и У и свойств 1 отображение 1 называется оператором, функционалом и т. д. " А. де Морган — шотландский математик (1806 — 1871). З 7. Элементы теории множеств Про отображение ):Х- У говорят, что оно сюръективно (или является отображением Х на У), если ~(Х) =У; инъект и в н о (или является в л о ж е н и е м), если для любых элементов хь хт множества Х нз условия )(хД =)(хт) вытекает, что х~ =хт, т. е. различные элементы имеют различные образы; б и е к т и в н о (или в з а и м н о о д н о з н а ч н о ), если оно сюръективно и инъективно одновременно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
