В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть сначала )г))>1. Тогда 1д(=1+6, где 6>0. Используя формулу бинома Ньютона, можем записать ~у~я= (1+6)я=1+)тб+ (положительные члены). Отсюда следует неравенство (у(Я>6Ф. (3.7) * Сколь бы большим мы ни ваяли это число. ** Так как этот номер У, вообще говоря, зависит от А, то иногда пишут: УУ=У(А). "' Элементы бесконечно малых последовательностей мы будем стремиться обозначать греческими буквами. СкОль бы малым мы ии ВЭЯли ЗТО число.
*'*" Так как этот номер У, вообще говоря, зависит от е, то иногда пишут: В=У(а). Гл. 3. Теория пределов Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер У такой, чтобы было справедливо неравенство бУ>А. (3.8) Убедимся в том, что по любому А>0 можно выбрать номер У, удовлетворяющий неравенству (3.8). Договоримся обозначать символом [х] целую часть положительного вещественного числа х. Поскольку неравенство (3.8) эквивалентно неравенству У ) —, А б ' то этому неравенству заведомо будет удовлетворять номер У, выбранный из условия У = ~ — ~ + 1 = ~ 1[+ 1.
1 [ч[ — 11 Заметим теперь, что поскольку ] а[>1, то из свойств произведения вещественных чисел мы получим, что при всех пъУ [у [" ~[у!". (3.9) Сопоставляя неравенства (3.7), (3.8) и (3.9), мы получим, что для любого А>0 найдется номер У = [ ~ + 1 такой, что при А ~ 1ч1-1 всех п>У [а" [= [а[ ">А. Это н доказывает, что прн [а[>1 последовательность (а") является бесконечно большой.
Рассмотрим теперь случай [у[<1. Мы должны доказать, что в этом случае последовательность (д„) является бесконечно малой. 1 Исключая тривиальный случай у=0, положим — =1+6, где 1ч! б>0. Используя, как и выше, бином Ньютона, мы вместо (3.7) получим неравенство — )ЬУ, илн [д[н( —. 1 1 [ч1~ дн Фиксируем произвольное положительное число е и выберем по нему номер У такой, чтобы было справедливо неравенство — (е. бн (3.8') В силу того, что неравенство (3.8') эквивалентно неравенству 1 У ) —, для выбора указанного номера достаточно положить еб У = ~ — ~~+1= ~ 1 1 Г 1е1 ~ + 1. Далее, поскольку, в силу еб ~ ~ е(1 — [ч1) свойств произведения вещественных чисел, при [у[<1 для всех п>У справедливо неравенство [у[о~ [у]н (3.9') $ 1.
Последоввтельиость и ее предел 73 то из сопоставления неравенств (3.7'), (3.8') и (3.9') мы получим, что для любого е>0 найдется номер У = ~ ~ + 1 1ч1 ~ е(1 — 1е1) такой, что при всех п~У справедливо неравенство 1дв~ 1д~л<е Это и доказывает, что при 1д~ < 1 последовательность является бесконечно малой.
3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Те о р ем а 3.1. Сумма (а + р ).двух бесконечно малых последовательностей (а„) н (р„) представляет собой бесконечно малую последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность (а ) является бесконечно малой, то для положительного числа е(2 найдется номер У, такой, что при п~У1 справедливо неравенство ~1о ~<в(2. (3.10) Аналогично, так как последовательность (8,) является бесконечно малой, то для положительного числа е(2 найдется номер Уп такой, что при п~Уе справедливо неравенство ~й,)<е(2. (3.11) Обозначим через У наибольший из двух номеров У1 и Уе. Тогда при п) У будут справедливы оба неравенства (3.10) и (3.11). Учитывая, что модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, мы получим, что для всех номеров пъУ ~ ав+ Р4 ~! ав1+ ! Р4. (3.12) Из соотношений (3.12), (3.10) и (3.11) вытекает, что при пъУ справедливо неравенство ~1а +р„~ <е.
Это и означает, что последовательность (а +бе) является бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3.2. Разность (а„— р„) двух бесконечно малых последовательностей (а„) и (р„) представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство атой теоремы отличается от доказательства теоремы'3.1 только тем, что вместо неравенства (3.12) следует взять неравенство ~а„— рл~~)а ~+)Д„(. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Гл.
3. Теория пределов Т е о р е м а З.З, Произведение ограниченнои последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство. Пусть (х„) — ограниченная и (а ) — бесконечно малая последовательности. По определению ограниченной последовательности найдется вещественное число А)О такое, что для всех элементов х, справедливо неравенство ~х„! ~А.
Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность (а ) является бесконечно малой, то для положительного числа е/А найдется номер й1 такой, что при п»Ж справедливо неравенство (3.13) )а ~ <е/А. (3.14) Учитывая, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, мы получим с помощью неравенств (3.13) и (3.14), что для всех п»йе 1хл. и, ( = 1хв ~ ~ ав ) <А — = е.
А Это и означает, что последовательность (х, ав) является бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3,4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной: Доказательство. Пусть (а„) — бесконечно малая последовательность. Фиксируем некоторое положительное число е. По определению бесконечно малой последовательности найдется отвечающий этому е номер й1 такой, что ~1а ~<е для всех номеров п»Х Обозначим через А наибольшее из следующих )Ч чисел: е, ~а1 ~, ~1ая~; ..., (ан 1~. Тогда очевидно, что 1а„) ~А для всех номеров и, а это и означает ограниченность последовательности (ал). Теорема доказана.
Следствие из те о р е м З.З и З.4. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Теорем а 3.5. Если все элементье бесконечно малой последовательности (а,) равны одному и тому же числу с, то с=О.
Доказательство. Допустим, что с~О. Обозначим через е положительное число е=1с~. По определению бесконечно малой последовательности для указанного е= )с'1 найдется номер М такой, что ~1а 1<1с~ при всех п»И. Но неравенство ~а„)<~с! (в силу того, что все а» равны с) превращается в заведомо абсурдное неравенство 1с(<)с~. Следовательно, наше допущение сааб не имеет места, и теорема доказана. Т е о р е м а 3.6.
Если (х„) — бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера и, определено частное й 1. Последовательность и ее предел — двух последовательностей (1) * и (х ), которое представля- Я 1 ет собой бесконечно малую последовательность. Если все элел(енть( бесконечно малой последовательности (о ) отличны от нуля, то частное ~ — ~ двух последовательностей (Ц и (а„) представляет 1 и„ собой бесконечно большую последовательность. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.
Заметим, что у бесконечно большой последовательности (х ) лишь конечное число элементов может быть равно нулю. В самом деле, по определению. бесконечно большой последовательности для числа А = 1 найдется номер Л(* такой, что 1х„1 >А= 1 для всех п>й(е. Значит, при я~У* все элементы х„не обращаются в нуль, 1 и мы можем, начиная с номера У', рассматривать частное ~ — ) последовательностей (1) и (х,). Докажем, что это частное является бесконечно малой последовательностью. Фиксируем произвольное положительное число е. По определению бесконечно большой 1 последовательности для положительного числа — найдется нов мер М (этот номер мы возьмем таким, чтобы он превосходил Л(*) 1 1 такой, что )х„~ > — при пай или, что то же самое, е хл 1 ' е при пъ..)т'.
Это и означает, что последовательность 1хл ! 1 1 — является бесконечно малой. хл Для доказательства второй части теоремы предположим, что все элементы бесконечно малой последовательности (а,) отличны от нуля. Фиксируем произвольное положительное число А. Так как (а ) является бесконечно малой последовательностью, то для 1 1 положительного числа — найдется номер Л( такой, что 1(х„! (— А А 1 1 1 при п~й( или, что то же самое, ~ — ~= — >А при пъ--*г). ссе !о„! ( 1 Это и означает, что последовательность 1 — 1 является бесконечно ав ! большой.
Теорема доказана. 4. Сходящиеся последовательности и их свойства. Введем фундаментальное понятие сходящейся последовательности и ее предела. Определение 1, Последовательность (х„) называется сходящейся ся, если существует такое вещественное число а, что последовательность (х„— а) является бесконечно малой. При этом ве- '.Символ (1) обозначает последовательность, все влеиенты которой равны 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
