В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Гл. 3. Теория пределов По теореме 3.15 последовательность (3.41) сходится к некоторому пределу х. Остается найти этот предел. Из соотношения (3.41) очевидно, что все элементы рассматриваемой последовательности неотрицательны. Следовательно, в силу теоремы 3.13 и искомый предел х этой последовательности не- отрицателен. Возводя в квадрат рекуррентное соотношение (3.42), мы получим равенство (3.52) Так как последовательность (х„) сходится к пределу х, то, переходя в равенстве (3.52) к пределу при а-~-оо и пользуясь теоремой о пределе суммы и произведения двух сходящихся последовательностей, мы получим следующее соотношение для определенна искомого предела х: х'=а+х илн, что то же самое, х' †х †. (3 53)' Соотношение (3.53) представляет собой квадратное уравнение для определения искомого предела х. Это уравнение имеет два корня: х= '+Р"+ >Онх-= '-"'+~ (О Так как искомый предел, как уже указано выше, является неотрицательным числом, то мы окончательно получим, что он сов.

падает с положительным корнем уравнения (3.53), т. е. равен 1+ У1+4п 2 $ 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности. Рассмотрим некоторую последовательность хь хь ..., х„, . и произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел йь яя, ..., й„, ....

Выберем из последовательности (х„) элементы с номерами йь /ге, ..., Й,... и расположим их в порядке возрастания указанных номеров, Мы получим при этом новую последовательность . хвлхя„...,х»„, ..., которую принято называть подпоследовательностью исходной последовательности (х„). В частности, и сама последовательность (х ) может рассмат» риваться как подпоследовательность с номерами й„=п. 9 3. Произвольные паследавательнасти 93 , Заметим сразу же, что всегда я ~ и, ибо любая подпоследовательиость, не совпадающая со всей последовательностью, получается путем некоторого прореження элементов последовательности. Справедливы два тривиальных утверждения: 1'.

Если последовательность (х„) сходится к пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а. 2'. Если все подпоследовательности некоторой последовательв ности (х„) сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность). Докажем сначала утверждение 1'. Фиксируем произвольное положительное число в и, пользуясь сходимостью последовательности (х„) к пределу а, выберем по этому з номер Л' такой, что !х„— а~(в при всех п)М.

Пусть (хь ) — произвольная подпоследовательность последовательности а '(х„). Так как ян'.ы.тУ, то для всех номеров и.- Л! элементы подпоследовательности (хь„) удовлетворяют неравенству 1хь — а ) с. е, а это и означает, что подпоследовательпость (хь„) сходится к пределу а. Для доказательства утверждения 2' достаточно учесть, что так как сама последовательность (х„) (как частный случай подпоследовательности) сходится к некоторому пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу а (в силу утверждения 1'). В полной аналогии с утверждением 1' доказывается, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

Введем фундаментальное понятие предельной точки последовательности. Определение 1. Точка х бесконечной прямой ( — аа, +аа) называется предельной точкой последовательности (х ), если в любой в-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Оп р ед ел ение 2. Точка х бесконечной прямой ( — аа, +со) называется предельной точкой последовательности (х„), если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Убедимся в том, что определения 1 и 2 эквивалентны.

1) Пусть в любой е-окрестности х содержится бесконечно много элементов последовательности (х„). Рассмотрим совокупность в-окрестностей точки х, для которых з последовательно равно 1 ! 1 2 3 В первой нз этих окрестностей выберем элемент последовательности хл, с некоторым номером яь во второй нз указанных окрестностей выберем элемент последовательности хь, с номером яв, удовлетворяющим условию кз>йь в третьей из указанных окрест- Гл, 3. Теория пределов настей выберем элемент последовательности хм с номером йм удовлетворяющим условию яв>йв ....

Этот процесс можно продолжать неограниченно, так как в любой е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов последовательности (х ). В результате мы получим подпоследовательность хьохм,хь„..., .хл„, ... последовательности (х ), которая сходится к пределу х, ибо (хь †х~< — . 1 и л 2) Предположим, что из последовательности (х ) можно выде,лить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Тогда в любой е-окрестностн точки х лежит бесконечно много элементов подчтоследовательности (все, начиная с некоторого номера). Так как каждый элемент подпоследовательности является элементом и всей последовательности, то в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности. Эквивалентность определений 1 и 2 доказана. Выясним вопрос о наличии предельных точек у сходящейся г!оследовательности.

Л е м м а 1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности. Доказательство. Пусть последовательность (х„) сходится и пределу х. Тогда в любой в-окрестностн х лежит бесконечно иного элементов последовательности (х ) (все, начиная с некоторото номера), а поэтому х является предельной точкой последовательности (х„).

Остается доказать, что ни одно число х', отличное от х, не является предельной точкой последовательности (х 1, но это непосредственно вытекает из доказанного выше утверждения 1, согласно которому из сходимости всей последовательности к пределу х вытекает сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу х. Приведем пример ограниченной последовательности (х„), имеющей две предельные точки.

Докажем, что последовательность 1 1 1 1 1 1 —, 1 — —, —, 1 — —, ..., —, 1 — —, ... имеет только две 2 2 3 3 л и предельные точки х=О и х=1. Тот факт, что эти две точки х=О и х=1 являются предельными, вытекает из того, что подпоследовательность всех нечетных элементов рассматриваемой последовательности сходится к пределу х=О, а подпоследовательность всех четных элементов рассматриваемой последовательности сходится и пределу х= 1.

Остается доказать, что ни одно число хр, отличное от О и 1, ве является предельной точкой нашей последовательности. Так как хоай и хоФ-1, то заведомо можно указать столь малое положительное число е, что е-окрестности трех точек О, 1 и х, не будут иметь общих точек (рис. 3.1). $ 3. Произвольные нослеловательностн й т Рнс. 3,! Но все нечетные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в е-окрестности числа О, а все четные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого нон мера, находятся в е-окрестности числа 1. Поэтому за пределами е-окрестностей чисел 0 и 1 (н, в частности, в е-окрестностн числа хс) может лежать лишь конечное число элементов нашей последовательности.

Это и означает, что х, не является предельной точко!г последовательности. Приведем теперь пример ограниченной последовательности (х ), имеющей бесконечно много предельнсчх точек. Выше (в п. 3 5 7 гл. 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел нз сегмента [О, 1] можно занумеровать в последовательность (х„). Докажем, что любое вещественное число х нз сегмента [О, 1] является предельной точкой указанной последовательности (х„). Заметим, что, каково бы ни было число х из сегмента [О, 1] для любого 0<в<1/2 хотя бы одно из двух чисел х — е и х+е также принадлежит сегменту [О, 1]. Предположим ради определенности, что число х+е принадлежит сегменту [О, 1].

Между двумя не равными друг другу вещественными числами х и х+е, в силу леммы 2 $ 3 гл. 2, лежит бесконечно много различных рациональных чисел, Это означает, что при любом 0<в<1/2 в е-окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности (х„), т.

е. х является пределыюй точкой этой последовательности. Естественно, возникает идея рассмотрення наибольшей и наименьшей предельных точек последовательности. О п р е де лен не 3. Наибольшая предельная точка последовательности (х„) называется ее р хи им пределом этой последовательности и обозначается символом х=1ппх„. н о О п р е де л е н и е 4. Наименьшая предельная точка последоеательности (х„) называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом х = 1пп хн. и-~ Возникает вопрос о существовании хотя бы одной предельной точки и верхнего и нижнего пределов у любой ограниченной последовательности. Гл.

3. Теория пределов Справедлива следующая замечательная теорема. Оси о в н а я теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы и, в. частности, существует хотя бы одна предельная гочка. Доказательство. Остановимся на доказательстве существования у любой ограниченной последовательности хотя бы одной предельной точки и верхнего предела. (Существование нижнего предела доказывается аналогична.) Пусть (х,) — произвольная ограниченная последовательность. По условию ограниченности найдутся два вещественных числа т и М такие, что любой элемент х„последовательности (х„) удовлетворяет неравенствам и (х <М.

Характеристики

Список файлов книги