В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть функций у=)(х) определена на некотором бесконечном множестве (х), и пусть а — точка бесконечной прямой ( — оо, +со), быть может и ие принадлежащая множеству (х), но обладающая тем свойством, что в любой 6-окрестностн этой точки а имеются точки множества (х), отличные от а *. Например, множеством (х) может служить интервал (а, Ь); в этом случае точка а, являясь граничной точкой интервала, ему не принадлежит, но в любой 6-окрестности а содержатся точки указанного интервала. Другим примером множества (х), на котором задана функция 1(х), может служить множество всех рациональных чисел, принадлежащих интервалу (а — 6, а+6) с выкинутой точкой а. Заметим, кстати, что при любом 6)0 интервал (а — 6, а+6), 'из которого выкинута точка а, принято называть проколотой 6-окрестностью то чк и а.
О и р е д е л е н и е 1 (п р е д е л ф у н к ц и и п о Г е й н е е*)'. Число Ь называется пределом (или предельным значеи и ем) функции у=)" (х) в точке а (или при х-з-а), если для любой последовательности значений аргумента хь хз, ...,х, ..., сходяи(ейся к а и состоящей из чисел х„, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции )(хх), )(хз), ...,Дх ) ... сходится к числу Ь. Определение 1* (предел функции по Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции у=((х) в точке а (или при х-ка), если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такова*а, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0<)х — а~ <6, справедливо неравенство 1)'(х) — Ь | <ж (3.58) Для обозначения предельного значения функции у=)(х) в точке а используют следующую символику: 1)шГ(х) =Ь или )(х)-з.Ь при х-з-а.
' Это означает, что е является предельной точкой множества (х). *' Генрих Эдуард Гейне — немецкий математик (1821 — !881). Так как 8 зависит от е, то иногда пишут: 8=8(е). Гл. 3. Теория пределов Прежде чем доказывать эквивалентность определений 1 и 1 ", сделаем несколько замечаний, разъясняющих смысл этих определений. 3 а м е ч а н и е 1. Подчеркнем важность фигурирующего в определении 1 требования, обязывающего элементы последовательности значений аргумента х„быть отличными от а, и аналогичного требования в определении 1е, обязывающего брать значения аргумента х, удовлетворяющие условию 0<)х — а), т. е.
отличные от а. Это требование вызвано уже тем, что функция у=)(х) может быть не определена в точке а. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела функции для определения производной функции. В самом деле, из гл. 1 нам известно, что производная Г'(а) функции )(х) в точке а представляет собой предел при х- а следующей функции: 1(л) — Да) х — а Очевидно, что эта функция Р(х) не определена в точке а и это вызвано существом дела. Замечание 2. Особо подчеркнем, что множество (х), на котором задана функция ((х), вовсе не обязано сплошь покрывать некоторую проколотую 6-окрестность точки а.
От этого множества (х) требуется только, чтобы оно имело хотя бы один элемент в любой проколотой 6-окрестности точки а. Примером множества (х) может служить множество всех элементов последовательности 1 — ), лежащих в фиксированной 6-окрестности точки а=0. л 3 а меч ание 3. Заметим, что фигурирующее в определении 1* условие 0<)х — а~ <б эквивалентно соотношениям а — 6< <я<а+6, х~а, т. е. означает, что х принадлежит проколотой б-окрестности точки а. Аналогично, фигурирующее в определении 1е неравенство (3.58) эквивалентно неравенствам Ь вЂ” е< <1(х) <Ь+е, т.
е. означает, что 1(х) принадлежит з-окрестности Ь. 3 а м е ч а н и е 4. Привлекая идею приближения функции 1(х) в окрестности точки а с наперед заданной точностью е, мы можем следующим образом перефразировать определение 1* предела функции по Коши: число Ь называется и р е д е л ь н ы м з н а ч ением ф унк ц и и 1(х) в то ч к е а, если для любой наперед заданной точности е>0 можно указать такую Ь-окрестность точки а, что для всех значений аргумента х, отличных от а и принадлежащих указанной б-окрестности точки а, число Ь приближает значение функции 1(х) с точностью е (рис. 3.9). 3 а меч ание 5. Отметим, что функция 1(х) может иметь в точке а только один предел. В самом деле, для определения предела функции по Гейне это вытекает из единствевности предела последовательности (1(х„)), а для определения предела функции $4.
Предел функции по Коши это вытекает из устанавливаемой ниже эквивалентности этого предела пределу функции по Гейне. Докажем теперь следу1ощую важную теорему. Теорема 3.19. Определения 1 и 1* предела функции по Гейне и по Коши являются эквивалентными. Дока з а тел ь ство. 1) Пусть сначала число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а по Коши. Докажем, что это же число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а и по Гейне. Пусть (х,) — любая сходящаяся к а после- у=Гав) довательность значений аргумента, все элементы которой от- ь в личны от а.
Требуется ь доказать, что соответ- ь +. --+---' ствующая последова- 1 тельность значений функции (1(х )) сходится к Ь. Фиксируем произ- в а-Ю а а+Ю х вольное положительное число е и по нему Рис. 3.9 положительное число 6, которое в силу определения предела функции по Коши гарантирует справедливость неравенства (3.58) для всех значений х, для которых 0<1х — а ~ <6. В силу сходимости последовательности (х„) к а для указанного положителю|ого числа 6 найдется номер )и' такой, что при всех п)У справедливо неравенство 1х„— а~<6.
Поскольку х„~а для всех номеров и, то при всех п)У справедливы неравенства О< <1х — а~<6 и, значит, в силу определения предела функции по Коши при всех п~У справедливо неравенство 11(х ) — Ь1<е. Это я означает, что последовательность (1(х„О сходится к числу Ь. 2) Пусть теперь число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а по Гейне. Докажем, что это же число Ь является пределом функции у=)(х) в точке а и по Коши.
Предположим, что это не так. Тогда для некоторого положительного числа е и для сколь угодно малого положительного числа 6 кайдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что 0<1х — а ~ <6, ио ~1(х) — Ь |:э-е. 1 Таким образом, мы можем взять последовательность 6„=— л 1 (п=1, 2, ...) и утверждать, что для каждого ее элемента 6„=— и найдется хотя бы одно значение аргумента х„такое, что 0< |х„— а1( —, но 11(х„) — Ь) )~ е. (3.59) Гл. 3. Теория пределов Левое из неравенств (3.59) означает, что последовательность (х ) сходится к а и состоит из чисел, отличных от а.
Но в таком случае согласно определению предела по Гейне соответствующая последовательность значений функции ()(х„)) обязана 'сходиться к числу Ь, а этому противоречит правое из неравенств (3.59), справедливое для всех номеров и. Полученное противоречие доказывает теорему. Приведем примеры функций, как обладающих, так и не обладающих в данной точке а предельным значением.
1'. Функция 1(х) =с=сопя( имеет равный с предел в каждой точке а бесконечной прямой. В самом деле, для любого значения аргумента х разность )(х) — с равна нулю, и поэтому )[(х) — с(<а для любого е>0 и для всех значений аргумента (в данном случае для любого е>0 в определении предела по Коши можно брать в качестве б любое положительное число). 2'. Функция )'(х) =х в любой точке а бесконечной прямой имеет предел, равный а. В самом деле, для этой функции последовательности значений аргумента и соответствующих значений функции тождественны, и поэтому, если последовательность (х„) сходится к а, то и последовательность (1(х„)) также сходится к а.
3 . Функция Дирихле д)(х), значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных точках — нулю, не имеет предела ни в одной точке а бесконечной прямой. Это вытекает из того, что для сходящейся к а последовательности рациональных значений аргумента предел последовательности соответ* ствующих значений функции равен единице, в то время как для сходящейся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен нулю. Введем теперь понятие одностороннего (т. е.
правого или левого) предела функции в данной точке а. Для этого нам прежде всего следует уточнить характер того множества (х), на котором задана функция [(х). Мы теперь потребуем, чтобы это множество (х) для любого б>0 имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу (а, а+б) [интервалу (а — б, а)).
Определение 2 (правый [левый) предел функ ° ци и по Гейне). Число Ь называется правым пределом [л е в ым и р в д е л о м) ф у и к ц и и у=[(х) в точке а, если для любой последовательности значений аргумента (х„), сходящейся к а и состоящей из чисел, ббльших а [меньших а), соответствующая последовательность значений функции (~(х„)) сходится к числу Ь. Определение 2* (правый [левый) п редел фун кци и по Коши). Число Ь назь1вается правым пределом левым пределом) функции у=[(х) в точке а, если ля любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для всех значений аргумента х, Ь 4, Предел функции удовлетворяющих условию а<х<а-1-6 [условию а — б<х<а|, справедливо неравенство (3.58) .
Для обозначения правого [левого| предела функции 1(х) в точке а используют следующую символику: 1пп [(х) = Ь [ 1пп ~(х) = Ь[ х а+0 х или более краткую символику [(а+0) =Ь Ща — 0) =Ь). В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 2 и 2*: следует лишь во всех проведенных пр1с доказательстве этой теоремы рассуждениях брать значения аргумента х и элементы последовательности (х„) большими числа а [меиьптими числа а). В качестве примера рассмотрим функцию + 1, если х ) О, [ (х) = зйп х = О, если х = О, — 1, если х< О.
Эта функция имеет в точке а=0 как правый, так и левый пределы, причем зяп(0+0) =+1, зяп(0 — 0) = — 1. В самом деле, для. любой сходящейся к а=О последовательности (ха), состоящей иэ чисел, больших нуля, соответствующая последовательность. (здпх„) сходится к +1, а для любой сходящейся к а=О последовательности (ха), состоящей из чисел, меньших нуля, соответству. ющая последовательность (знпх ) сходится к — 1. Из проведенных рассуждений вытекает, что у рассматриваемой- функции у= вин х не существует в точке а=О предела. Итак, функция у=вднх не имеет в точке а=О предела, поимеет в этой точке правый предел, равный +1, и левый предел, равный — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
