В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Подчеркнем, что доказанная теорема содержит в качестве частных случаев как критерий Коши сходимости числовой последовательности, так и критерии Коши существования всех рассмотренных выше видов предела функции. 426 Гл. 3. Теория пределов В качестве возможных обобщений изложенной теории можно рассматривать функции, заданные на подмножествах произвольного метрического пространства (см. по этому поводу дополнение 2 к гл. 12). 3 а меч ание.

Базы В и Р множества (х) называются экв ив а л е н т н ы м и, если для любого элемента В», базы В найдется такой элемент Р~ базы Р, что Р»„С:В»,, и для любого элемента Р», базы Р найдется такой элемент В», базы В, что В», С Реев Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества (х) называется фильтром множества (х). Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В а Р справедливы одновременна. Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В настоящей главе будет всесторонне изучаться важнейшее понятие математического анализа — понятие непрерывности функции, В дополнении 2 к гл.

12 понятие непрерывности будет введенсь в общей ситуации, когда задано отображение одного метрического пространства в другое. й Е ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 1. Определение непрерывности функции, Пусть точка а принадлежит области задания функции ((х)а и любая е-окрестность точки а содержит отличные от а точки области задания функции- 1(х)**. Формальное определение непрерывности в точке а. Функция Дх) называется непрерывной в точке а, если функция 1(х) имеет в точке а предел и этот предел равен частному значению )(а) функции )(х) в точке а. Используя определения предела функции у= — )(х) в точке а по Гейне и по Коши, мы приходим к определению непрерывности функции в данной точке а по Гейне и по Коши.

Определение 1 (непрерывность в точке а по Гейне). Функция у=)(х) называется непрерывной в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности значении. аргумента хь хь ..., хгь соответствующая последовательность значений функции )(х~), )(хя), ..., ((х ), ... сходится к числу 1" (а). Замечание 1. По сравнению с определением 1 предела функции по Гейне (см.

п. 2 $4, гл. 3) в определении непрерывности по Гейне мы опустили требование, обязывающее все элементьа последовательности (х,) быть отличными от а. Это можно сделать. в силу того, что добавление к элементам последовательности ()(х„)), сходящейся к числу 1(а), любого числа новых элементов, равных )(а), не нарушит сходимости этой последовательности к )(а). * Заметим, что этого не требовалось, когда мы рассматривали предел функции 1(х),в точке а. "* Т. е. точка и является предельной точкой множества (л), на котором задана срункция ((х).

828 Гл. 4. Непрерывность функции Определение 1а (непрерывность в точке а по Коши). Функция 1(х) называется непрерывной в точке а, если для любого положительного числа е найдется отвечающее .ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию ]х — а[<6, справедливо неравенство ~[(х) — [(а) [<е. 3 а м е ч а н н е 2.

По сравнению с определением 1* предела .функции по Коши (см. п. 2 5 4, гл. 3) в определении непрерывности по Коши мы опустили требование, обязывающее все значения аргумента х удовлетворять неравенству ]х — а~>0, т. е. быть от.личными от а. Это можно сделать в силу того, что для значений .х=а разность» (х) — 1(а) равна нулю и удовлетворяет неравенству [1(х) — [(а) ~ <е при любом е>0. Условие непрерывности функции 1(х) в точке а символически можно выразить следующим равенством: 1нп 1(х) = 7 (а), к -.а Так как а=!них, то этому равенству можно придать следую«-и~ щую форму: 11пт 1(х) =Г(1ппх). Следовательно, для непрерывной в точке а функции символ 1пп «-аа предельного перехода и символ [ характеристики функции можно менять местами.

Из теоремы об эквивалентности определений предельного значения по Гейне и по Коши (см. теорему 3.19 из п. 2 $4 гл. 3» следует, что определения непрерывности функции по Гейне и по Коши (определения 1 и 1*) эквивалентны. Сформулируем теперь определение односторонней непрерывности функции 1(х) в точке а, т. е.

непрерывности в точке а либо только справа, либо только слева. От множества (х) задания функции 1(х) мы нэ этот раз должны потребовать, чтобы это множество включало точку а и для любого 6>0 имело хотя бы один элемент, лежащий на интервале (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)]. Формальное определение непр" рывности в ~точке а справа [слева].

Функция [(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если правый [левый] предел этой функции в точке а существует и равен частному значению 1(а) функции [Гх) в точке а. Используя определения правого [левого] предела функции »(х) в точке а по Гейне и по Коши, мы придем к определениям непрерывности функции »(х) в точке а справа [слева] по Гейне и лто Коши. 129 $1. Понятие непрерывностн функции Определение 2 (непрерывность функции в точке а сп р а за [слева] по Гейне).

Функция [(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любой сходяи!ейся к а последовательности значений аргумента (х„), все элементы которой удовлетворяют условию х„>а[х„<а], соответствующая последовательность значений функции (Т(х„)) сходится к числу [(а), Заметим, что в этом определении условие х,>а [х„<а] можно заменить менее жестким условием х„>а [х,<а], ибо добавление к последовательности ([(ха)), сходящейся к )(а), какого угодно числа новых элементов, равных !(а), не нарушит сходимости этой последовательности к [(а). В применениях более эффективно условие х„>а [х„<а]. Определение 2" (непрерывность функции в точке а с пр а ва [слева] по Коши).

Функция 1(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию а<к<а+6 [а — 6<х<а], справедливо неравенство [[(х) — ! (а) [ <е. Заметим, что и в этом определении условие а<х<а+6 [а — 6<х<а] можно было бы заменить менее жестким условием а<х<а+6 [а — 6<х<а]. Эквивалентность определений 2 и 2* вытекает из эквивалентности соответствующих определений предела функции.

Тот факт, что функция )(х) непрерывна в точке а справа [слева], записывают так: ! 1ш Т (х) = ) (а) или ) (а + О) = [ (а) а а+О [ 1ипТ(х) =Т(а) или Т(а — О) =-7(а)]. а а-О 3 а м е ч а н не 3. Если функция !(х) непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрергнвна в этой точке. Действительно, в силу утверждения, доказанного в п.

2 $4 гл. 3, в этом случае существует предел функции в точке а, равный [(а). Точки, в которых функция не обладает свойством яепрерывности, называются т о ч к а м и р а з р ьс в а этой функции. рассмотрим примеры. 1) Степенная функция !(х) =х", где и — натуральное число, непрерывна в каждой точке а бесконечной прямой ( †, +со). Действительно, в гл. 3 было установлено, что предельное значение этой функции в любой точке а бесконечной прямой равно частному значению а". и зая. 7т Гл.

4. Непрерывность функцнн 2) Многочлены и рациональные дроби имеют в каждой точке области задания предельное значение, равное частному значению (см. п. 3 5 4 гл. 3). Поэтому они являются непрерывными функциями в каждой точке области задания. 3) Функция Г(х) =вднх имеет разрыв в точке х=О и непрерывна во всех остальных точках числовой оси. Действительно, в точке х=О, как было показано в гл.

3, существуют правый (равный +1) н левый (равный — 1) пределы функции зяпх. Поскольку зти односторонние пределы не равны друг другу, функция здп х в точке О разрывна (не является непрерывной). В остальных точках оси она обладает предельным значением, равным частному значению, и непрерывна. 4) Функция Дирихле Р(х) (см. $4 гл. 3) разрывна в каждой точке числовой оси, поскольку она не имеет предельного значении ни в одной точке. Заметим, однако, что функция 1(х) =х Р(х), где Р(х) — функция Дирихле, является непрерывной в точке к=О и разрывной во всех остальных точках бесконечной прямой. Разрывность Г(х) в любой точке хоФО устанавливается точно.так же, как для функции Р(х) (для любая сходящейся к х, последовательности (х,) рациональных точек соответствующая последовательность (1(х,)) сходится к числу хоФО, а для любой сходящейся к хо последовательности (х,) иррациональных точек соответствующая последовательность (1 (х„)) сходится к нулю).

Характеристики

Список файлов книги