В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Убедимся в том, что функция 1'(х) =х Р(х) непрерывна в точке х=О. Для любой бесконечно малой последовательности значений аргумента (хл) последовательность (Р(х„)) ограничена, а потому (в силу теоремы 3.3 из гл. 3) последовательность )(х ) =к„Р(х„) является бесконечно малой, т. е. имеет предел нуль, равный частному значению )(О). Мы будем говорить, что функция н е п р е р ы в и а н а м и о ж ее т в е (х), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Например, функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной на интервале. Особо договоримся называть функцию 1(х) непрерывной н а с е гм е н т е (а, Ь], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого сегмента и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь. Выше, давая определение непрерывности функции Г(х) в точке а, мы предположили, что точка а обладает тем свойством, что в любой ее е-окрестности содержатся точки области задания, отличные от а. Формально этого предположения можно бы было и не делать и допустить, что точка а обладает в-окрестностью, свободной от точек области задания функции, а в самой точке а функция определена. В этом случае формально функцию . 1" (х) можно считать непрерывной в точке а.

Однако вся содержательная часть понятия непрерывности функции относится как раз (3! Ч ц Понятие иепрерывиости фтиииии к случаю, когда а — предельная точка области определения функции. Определение непрерывности функции можно дать и в следующей, эквивалентной форме. О п р е д е л е н и е 1'*. Функция 1(х) называется н е и р ерывн о й в точке а, если для любой окрестности точки 1(а) найдется такая окрестность точки и, что образ всех точек множества задания функции, лежащих в этой окрестности точки а, при отображении, осуществляемом функцией 1(х), целиком лежит в указанной окрестности точки 1(а).

В дополнении 2 к гл. 12 будет показано (даже в более обгцей ситуации), что последнее определение непрерывности эквивалентно предыдущим, Предлагается в качестве упражнения проверить это. Используя введенное в 5 5 гл. 3 общее определение предела функции 1(х) по базе В множества ее задания, мы можем объединить в одной формулировке понятие непрерывности в точке а, в точке а справа и в точке а слева.

Пусть функция 1(х) задана на множестве (х), которое включает точку а и допускает базу В одного из видов х- а, х- а+О, х- а — О*. Функция 1(х) называется непрерывной в точке а, если ее предел по базе В множества ее задания существует и равен 1(а), 2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Убедимся в том, что арифметические операции над непрерыв- ными функциями приводят снова к непрерывным функциям. Справедлива следующая теорема.

Основная теорема 4.1. Пусть на одном и том же мно- жестве заданы функции 1'(х) и д(х), непрерывные в точке а. Тогда функции 1(х)+д(х), 1(х) — д(х), 1(х).д(х) и — ' непрерывны 1(. ) Е (х) в точке а (в случае частного нужно дополнительно требовать д" (а) чьО) . Доказательство. Так как непрерывные в точке а функции 1(х) и д(х) имеют в точке а пределы, соответственно равны 1(а) н д(а), то в силу теоремы 3.21 из гл. 3 пределы функций 1(х)+ +у(х), ~(х) — к(х), ((х) д(х) и — существуют и равны соот- 1 (х) е (х) ветственно 1(а)+д(а), 1(а) — д(а), 1(а) у(а) и 1(о) .

Но как раз е (а) эти величины равны частным значениям перечисленных функций в тачке а. По определению эти функции непрерывны в точке а, что и требовалось доказать. * См. $ 5 гл. 3. 122 Гл. 4. Непрерыннееть функции 3. Сложная функция и ее непрерывность. Функции, полученные в результате суперпозиции двух или нескольких функций, мы будем называть сложными. Под суперпозицией двух функций мы понимаем функцию, полученную в результате наложения или последовательного применения указанных двух функций в определенном порядке.

Ясно, что достаточно определить сложную функцию, полученную в результате суперпозиции только двух функций. Указанный алгоритм можно будет применять, беря суперпозицию трех и большего конечного числа функций. Пусть функция х=ф(1) задана на множестве Я, и пусть (х)— множество ее значений. Допустим, что на множестве (х) задана функция у=с(х). Тогда говорят, что на множестве (1) задана сложная функция у=)[ср(1)] =г(1) или у=((х), где х=ср(1), Справедлива следующая теорема.

Теорема 42. Пусть функция х=цсЯ непрерывна в точке а. а функция у=с(х) непрерывна в точке Ь=нс(а). Тогда сложная функция у=) [ср(1)] =г (С) непрерывна в точке а. Доказательство. Пусть (гл) — произвольная последовательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х=ф(1) непрерывна в точке а, то (в силу определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции х =ср(1 ) сходится к числу Ь=ср(а). Далее, поскольку функция у=)(х) непрерывна в точке Ь=ср(а) и для нее указанная выше последовательность (х,), сходящаяся к Ь=ср(а), является последовательностью значений аргумента, то (в силу того же определения 1 непрерывности по Гейне) соответствующая последовательность значений функции ) (х„) = =) [ср(1„)] =Р(1„) сходится к числу [(Ь) =)[ср(а)] =Р(а).

Итак, для любой последовательности (1„) значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений самой сложнон функции (Р(гн))=1[ср(сн)] сходится к числу Р(а) =1[ср(а)]. В силу определения 1 непрерывности по Гейне сложная функция непрерывна в точке а. Теорема доказана. $2. СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ 1. Монотонные функции. Введем понятие монотонной функции. Определение 1. Функция [(х) назьсвается неубывающей [невозрастаюи(ей] на множестве (х), если для любых хс и хе из этого множества таких, что хс<хь справедливо неравенство 1(хс)~()(хн) [1(хс) .1(хе)].

Неубывающие и невозрастающне функции называют монот о н н ы м и функциями. Определение 2. Функция называется возрастаюсцей [убываю щ ей] на множестве (х), если для любых х, и хс из Э х. Свойства монотонных функций ~зз етого множества таких, что х1 <хь справедливо неравенство 1(х1) <1(хх) [1(х1) >] (хн) ]. Возрастающие и убывающие функции называются с т р о г о м о н о т о н н ы м и. Приведем примеры монотонных функций.

1. Функция 1(х) =ха — строго монотонна, а именно возрастает на всей числовой осн. 2. Функция р=хт — возрастает на полуоси х)0 и убывает ива полуоси х<0. 3. Функция у=эких — неубывающая на всей числовой оси. 1 4. Функция 1(х) = — — убывает на множествах х<0 и х)0. х 2. Понятие обратной функции. Пусть функция у=1(х) задана на сегменте [а, Ь], и пусть сегмент [а, р] является множеством значений этой функции. Пусть, кроме' того, каждому у из сегмента [а, р] соответствует только одно значение х из сегмента [а, Ь], для которого 1(х) =у.

Тогда на сегменте [а, р] определена функция, которая каждому у из [а, р] ставит в соответствие то значение х из [а, Ь], для которого 1(х) =р. Эта функция обозначается символом х=1-'(у) и называется о б р а т н о й для функции у=Ях). В проведенных выше рассуждениях вместо сегментов [а, Ь] и [а, р] можно было бы рассматривать интервалы (а, Ь) и (а, р) или, например, случай, когда один или оба из этих интервалов превращаются в бесконечную прямую или открытую полупрямую. Можно рассматривать и самый общий случай, когда задано отображение 1 одного множества (х] на другое множество (у), причем отображение ~ устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементамн этих множеств.

Тогда можно определить обратное отображение 1-' множества (у) на множество (х). В этом случае уравнение у=[(х) можно разрешить относительно х, т. е. можно однозначно определить х, зная элемент у, н мы имеем х=[ '(д). Отметим, что если х=1' — '(и) — обратная функция для у=1(х), то, очевидно, функция у=1(х) является обратной для функции х=( — '(у). Поэтому функции у=[(х) и х=~-'(у) называются взаимноо обратными.

Очевидно, что 1[[-'(у)] =у, 1 — '[1(х)] =х. Приведем примеры взаимно обратных функций. 1. Пусть на сегменте [а, Ь] задана функция у=2х. Множеством значений этой функции будет сегмент [2а, 2Ь]. Функция х=)' — х(у) = — определенная на [2а, 2Ь], будет обратной к за- Ц 2 данной функции у = 2х. 2. Рассмотрим на сегменте [О, 2] функцию у=ха. Множество значений этой функции есть сегмент [О, 4]. На этом сегменте определена обратная к заданной функции функция х=- У у .

134 Гл. 4. Непрерывность функции 3. Рассмотрим на сегменте [О, 1) функцию х, если х — рациональное число, у =. 1 — х, если х †иррациональн число. Нетрудно убедиться, что заданная на сегменте [О, 1) функция у, если у †рациональн число, х=- [ 1 — у, если у †иррациональн число, будет обратной к заданной функции. Докажем несколько утверждений о монотонных функциях.

Характеристики

Список файлов книги