В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это сразу же вытекает из теоремы 4.2 непрерывности сложной функции с учетом того, что функция и='а !он,х непрерывна в любой точке х>0, а функция у=а" непрерывна в любой точке и бесконечной прямой. Замечание. Если показатель а степенной функции представляет собой рациональное число т/и, где п — нечетное целое число, то степенную функцию у=х" можно определить па всей числовой оси, полагая прн х<0: у=!х!'", если а= — и т четное, у= — ~!х!о, если а= — и т нечетное.
На рис. 4.5 — 4.7 изображены графики степенной функции у=х ' для различных значений а. 4. Тригонометрические функции. Мы уже имеем представление о тригонометрических функциях у=з!пх и у=созх и функциях, 51П Х Снэ Х которые через ннх выражаются, у=-1дх= —, у=с!ух=в СО5 Х 51П Х 1 1 у=нес х= —, у=созесх=— СО5 Х 51П Х Во введении к этому параграфу мы уже говорили о логических пробелах, возникающих при определении функций у=з!пх н Гл. 4. Непрерывяость фуикции 48 сг= — гогя1 и ' 2~+1 Р 4.Е Рис.
4.б уюх гх тй Рпс. 4.7 у = сои х с помощью наглядных геометрических соображений. Логически безупречно эти функции можно определить как решение некоторой системы функциональных уравнений. Точнее, можно доказать следующее утверждение: существует и притом единственная пара функций 1(х) и д(х), определенных для всех вещественных значений аргумента х и удовлетворяющих условиялы 1) )(хг+хз) г (хг) вг(ха) +1 (хз) Д (х!) у(хг+хз) =й(хг) д(хз) — ~(хг) у(хз), ~з(х)+уз(х)=1; (2) )(0)=0, д(0)=1 У( — ) =1.
у~ — ) =0: 3) еслиОк,хк. —, то Ос.((х) <х( —. и 1(х)' 2 а(х) 1(х) и * Справедливость неравенства х( — для 0(х( — следует из осу (х) 2 тальиых сформулированных здесь условий (см. по атому поводу указываемое ниже дополнение к книге В. А. Ильина и Э. Г. Позняка). 149 й 3. Простейшие элементарные функции Первую из этих функций назовем синусом и обозначим символом 1(х)=япх, вторую назовем косинусом и обозначим символом д(х) =сов х.
Доказательство приведенного утверждения можно найтн в дополнении к гл. 4 книги В. А. Ильина н Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 1 (М., Наука, 1982). Нетрудно доказать, что из свойств 1), 2) и 3) можно извлечь в виде следствий все другие свойства функций у=яи х у у=созх, известные читателю из школьных учебников н устанавливаемые в средней школе нз наглядных геометрических соображений. Впрочем, этот факт сразу вытекает из того, что свойства 1), 2) и 3) определяют ед и нот ве ни у ю пару функций 1(х) н у(х) и что введенные в средней школе из наглядных геометрических соображений функции ((х) =яи х и у(х) =-соз х этими тремя свойствами обладают. В качестве примера установим с помощью свойств 1), 2), 3) некоторые свойства функций у=яих и у=соя'х, которые понадобятся нам прн доказательстве непрерывности этих функций и для отыскания участков их монотонности.
а) Из третьего соотношения 1), имеющего вид Б!пах+совах=1, сразу же вытекает, что Б!Пах~! и соззх~1, т. е. (Б(их~~1, !Созх( к1. (4.7) б) Далее, с помощью первых двух соотношений 1) и первых двух равенств 2) мы получим, что Б!и О=з!П(х+ ( — х)1=япх.соз( — х)+созх яи( — х) =О, сои О=сов!х+ ( — х)!=сок х соз( — х) — япх Б!П( — х)'=1. Полученные два равенства представляют собой систему двух уравнений относительно двух неизвестных соз( — х) и яп( — х).
Решая эту систему и учитывая, что Б!и х+соззх=1, мы получим, что соз( — х) =созх, з!П( — х) = — япх, (4.8)' т. е. созх представляет собой четную функцию, а япх — нечетную функцию з. в) Из соотношений 1), в свою очередь, вытекают равенства Б1п(х1 хз) =5!п!х!+ ( — хз) 1 =Б1п х! соз( — хз) + + соз х1 ' Б!п ( хз) — Б1п х! ' соз х2" соз х! ' Б!п хз, (4.9) соз(х! — хз) =СОБ(х!+ ( — хт)) =сок х! соз( — хз)— — Б(и х! Яп ( — хя) = сои х! Сок ха+ Яи х! Яи хз. ' Функция ф(х), определенная для всех вещественных значений х, иазынается четной, если <р( — х) =ф(х) (для любого значения х), и нечетной, если <р( — х) = — ф(х) (также для любого значения х).
Гл. 4. Непрерывность функции г) Из первого соотношения 1) и первого соотношения (4.9» мы получим, что 2 2 =з!п "+"' соз '+з!п — '".соз "*+"' 2 2 2 2 з!и х,= з)п ( 2 2 хе+ хт хе — х, хв — хт х,+хе = з!и соз — в!и соа —. 2 2 2 2 Складывая н вычитая полученные два равенства, мы придем к соотношениям з!пх + вшх =2з1п ' ' соз (4.1О» з1пх — з!пх =2соз '+ ' з1О д) Далее, из первого соотношения (4.9) и из последних двух равенств 2) получим, что 1 л 1 я и 3!и ~ — — х~ = 3!п — соз х — соз — з!п х = сов х, ~ 2 ) 2 2 т. е СОВ Х = З!П вЂ” — Х) ° (4.11» ~, 2 е) Убедимся, наконец, в периодичности функций Г(х) =япх н д(х) =созх с периодом 2л. Из первых двух соотношений 1) при х=-х,=хт получим, что яп2х=2япх созх, соз2х=созтх — з)пвх.
(4.12» Учитывая, что в силу равенств 2) з1п — =1, соз — '= — О, мы.по- 2 2 лучим из соотношений (4.12) при х=- —, что яптт=О, созп= 2 = — 1, а нз последних двух равенств и из соотношений (4.12) при х=п получим, что яп2п=О, сов 2п=1. Используя последние два равенства, мы получим из первых двух соотношений 1), что яп(х+2я) =япх соз2я+яп 2п сов х=з!пх, соз(х+2я) =сов х.соз 2тт — яп х. яп 2п= сок х, 1о1 $ 3.
Простейшие элементарные функции а это и означает периодичность функций з(их и сок х с периодом 2не. ж) В заключение несколько усилим неравенства, содержащиеся в свойстве 3). Мы установим, что для всех вещественных х справедливо следующее несколько общее неравенство: )з)их! «)х~. При 0 ( х ( — соотношение (4.13) следует из неравенств, 2 содержащихся в свойстве 3). При — — ( х( О, в силу соотношения зйп( — х) = — з1п х, 2 перавенство (4.13) следует из следующих неравенств: .
О ( зйп ( — х) < — х при — —" ( х < О, 2 а эти последние неравенства справедливы вследствие того, что ( — х) лежит в интервале (О, — ) При х=О з(пх=х. 2 / При — ()х~ имеем ~в)их~<1< — (1х), т. е. )з(пх1< 2 2 <)х). Перейдем к установлению двух основных свойств функция )(х) = з(п х и й(х) =сов х. 1'. Функции з(их и сои х непрерывны в каждой точке х беско.
нечной прямой. До к аз а тельство. Достаточно установить непрерывность в каждой точке х только функции ((х) =з)их, ибо непрерывность в каждой точке х функции и(х) =сок х будет при этом вытекать нз соотношения (4.11) и теоремы 4.2. Сначала докажем, что функция зйп х непрерывна в точке х=О. Так как в силу первого равенства 2) з|п 0=0, то в силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любой бесконечно малой последовательности (х„) последовательность значений функции (з|п х„) также является бесконечно малой.
Из неравенства (4.13) и из условия ~з(их~~О вытекает, что для всех х (4.13') 0 < ) з)п х ! <1х!. Следовательно, 0<)з)пх ) < )х (. Последние неравенства в силу принципа двустороннего ограничения (см, теорему 3.14 гл. 3) означают, что последовательность * Функция ш(х), определенная для всех вешественнык х, нааывается периодической с периодом т, если Ф(х+т) = р(х) для всех х.
Гл. 4. Непрерывность функции 162 хе + хт хе хт и хе+ хт хг — х, з1п 2 2 з(их,— з1п х, =2спа (4.15) ((з(пх„~), а значит, и последовательность (з(их„) является бесконечно малой. Непрерывность функции з(их в точке х=О доказана. Докажем теперь, что функция з(их непрерывна в любой точке х бесконечной прямой. Пусть (х ) — произвольная последовательность, сходящаяся к х. Достаточно доказать, что соответствующая последовательность (з(пх„) сходится к з(их. Воспользуемся вторым соотношением (4.10), положив в нем хе=хе, к~=х. Получим в1пх„— зрп х=2соа " ° в1п "" (4.14 р 2 2 Достаточно доказать, что в правой части (4.14) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из хл — х 1 того, что последовательность ~з1п — ~.
в силу уже доказан- 2 иой непрерывности синуса в нуле, является бесконечно малой, а хх+х 1 последовательность ~2соз " ~, в силу второго неравенства 2 (4.7) является ограниченной. 2'. Функцил з1пх возрастает на каждом из сегментов ~2йл— — —, 2йл+ — 1 и убывает на каждом из сегментов ~(2й+1) л— 2 2 1 — —, (2й+1)л+ — 1; функция сов х убывает на каждом из 2 2 1 сегментов [2)ел, 2йл+л) и возрастает на каждом из сегментов 12нл — л, 2йл1 (здесь всюду й — любое целое число, т. е.
й=О, +1, +2,...). Доказательство. Все рассуждения достаточно провести для функции з(их, ибо после нахождения всех участков монотонности функции з(пх участки монотонности функции сов х могут быть получены, исходя из равенства (4.11). Далее, поскольку з(их — периодическая функция с периодом 2л, то достаточно найти участки ее монотонности, лежащие в пределах одного периода, т. е., например, для значений аргумента из сегмента ~ — —, 2л — — 1. 2 2 ) Докажем сначала, что функция з(их возрастает на сегменте ~, "1. О, — "1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
