В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Убедимся в том, что ГЯ) =О. Если бы это было не так, то по теореме 4.11 нашлась бы 6-окрестность К вЂ” 6<к<5+6 точки ~, в пределах которой функция [(х) имела бы определенный знак. Но это невозможно, так как по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значение х из полусегмента $ — 6<х~$ такое, что 1(х) <О, а для любого значения х из интервала й<х<$+б справедливо неравенство 1(х)) О. Полученное противоречие доказывает, что 1($) =О. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 4.12 может служить рис. 4.24. Теорема 4.13 (прохождение непрер1ывной функции через любое промежуточное значение).

$ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций !71 Рис. 4.24 Рнс. 4.25 Пусть функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь], причем )(а) =а, 1(Ь) =Р. Пусть, далее, у — любое число, заключенное между а и р. Тогда на сегменте [а, Ь] найдется точка $ татя, что 1($) =у. Доказательство. В доказательстве нуждается, очевидно, лишь случай акр (в противном случае у=а=р и можно взять 5=а).

По этой же причине отпадает случай, когда у совпадает с одним из чисел а или р. Не ограничивая общности, будем считать, что а<у, а<у<р. Рассмотрим функцию ф(х) =1(х) — у. Эта функция непрерывна на сегменте [а, Ь] (как разность непрерывных функций) и принимает на концах этого сегмента значения разных знаков: ф(а) =1(а) — у=а — у<0, ф(Ь) =1(Ь) — у=[1 — у>0. По теореме 4.12 внутри сегмента [а, Ь] найдется точка й такая, что ф(й) =[(й) — у=0, т. е.

1(й) =у. Теорема доказана. Используя только что доказанную теорему, мы убедимся в справедливости замечания 2, высказанного в п. 2 $ 2. Пусть функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь] и существует функция, обратная для 1(х), рассматриваемой на этом сегменте. Тогда Ях) строго монотонна на указанном сегменте [а, Ь].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из существования обратной функции для 7(х) следует, что 1(а)~[[Ь). Пусть 11'а) <11Ь) [7(а)>7(Ь)]. Покажем, что 1(х) строго монотонно возрастает [убывает] на сегменте [а, Ь]. Рассмотрим случай 7(а)<[(Ь). (Если )(а) >1(Ь), то рассуждения аналогичны.) Предварительно установим справедливость неравенства 11'х)<1[Ь) для всех х из (а, Ь). Действительно, пусть существует такое х~(а, Ь), что )(х1) >)(Ь). (Равенство 1(х1) =[(Ь) невозможно ввиду. существования обратной функции для функции 1(х).) Применяя теорему 4.13 для сегментов [а, х~] н [хь Ь] и используя вытекающие из )(а) <[(Ь) <)(х1) неравенства 1(а) < 1("'+1(') <1( ) 2 Гл. 4.

Непрерывность функции 172 ) ~ 7(х ) + 7(Ь) ~ г (Ь) 2 убедимся в существовании двух таких чисел $,~(а, х~) и ьхе= (хь Ь), что ( (ьт) = ( (ьз) = 7 (х,) +1(Ь) 2 Итак, $1чь$х, но ((в1) =1($з), что противоречит существованию обратной функции для функции 1'(х) на сегменте [а, Ь]. Установим теперь строго монотонное возрастание Г(х) на сегменте [а, Ь]. Пусть существуют два числа х1<хз, принадлежащие полУсегментУ [а, Ь), такие, что 1(х,))[(хз). Покажем, что это предположение приводит нас к противоречию. Применяя теорему 4.13 для сегментов [хь хз] н [хь Ь] н используя вытекающие из [(х,) ~[(хз), [(х~) <)(Ь) неравенства р ( ) ~ Пхе) + Р (х,) ~ [ ( Г(х,) < ~(х')+Р( ) Р(Ь), убедимся в существовании двух таких чисел йети=(хь хт) и $,е=(хз, Ь), что [(йз)=[($з)= "'+ " .

Итак, $зч"$ь но 2 [(чз) =1(вз), что также противоречит существованию обратной функции для функции )(х) на сегменте [а, Ь]. Замечая, что условие )(х~) =1(хх) для х1<хз также невозможно, мы приходим к выводу, что ((х1)<[(хт) для любых х~<хз из сегмента [а, Ь]. Замечание доказано. Теорема 414 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция Я(х) непрерывка на сегменте [а, Ь], то она ограничена на этом сегменте. До к а за тел ьств о. Докажем, что функция ((х) ограничена на сегменте [а, Ь] сверху (ограниченность снизу доказывается аналогично).

Доказательство проведем от противного, т. е. предположим, что Г(х) не является ограниченной сверху на сегменте [а, Ь]. Тогда для любого натурального и (п=1, 2, ...) найдется хотя бы одна точка х, из [а, Ь] такая, что )(х ) )и. (В противном случае 7"(х) была бы ограничена сверху на сегменте [а, Ь].) Таким образом, мы указали последовательность значений (х„) из сегмента [а, Ь] такую, что соответствующая последовательность значений функции ([(х,)) является бесконечно большой.

В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса (см. следствие 3 из теоремы 3.16 п. 1 $3 гл. 3) из последовательности (х„) можно выделить подпоследовательность (хз„), и = 1, 2, ..., сходящуюся к некоторой точке $. Так как все элементы подпослрдовательности (хз ) лежат на сегменте [а, Ь], то и точка $ принадлежит сег- з В. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 173 менту (а, Ь1 (в силу следствия 2 из теоремы 3.13).

В силу непрерывности функции )(х) в точке $ соответствующая подпоследовательность значений функции (! (ха„)) обязана сходиться к Я). Но это противоречит тому, что подпоследовательность (7(хь„)), будучи выделена из бесконечно большой последовательности (7(х,)), сама является бесконечно большой. Полученное противоречие доказывает теорему. 3 а меч а н ие 1. Для интервала (или полусегмента) утверждение, высказанное в теореме 4.14, уже несправедливо, т. е. нз непрерывности функции на интервале (или полусегменте) не вытекает ее ограниченность на этом множестве.

Рассмотрим, например, функцию ) (х)= — на интервале (О, 1) (или на полу! х сегменте (О, Ц). Эта функция непрерывна на указанном множестве, но неограниченна на нем. В самом деле, последовательность 1 х„= — (и = 2, 3, ...) принадлежит указанному множеству, а л последовательность значений функции (!'(х„))=(п) является бесконечно большой.

Рассмотрим функцию )(х), ограниченную на данном множестве (х) сверху (снизу). Определение. Число М (число гп) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции 7(х) на множестве (х), если выполнены два требования: 1) для каждого значения х из множества (х) справедливо неравенство ((х) «М ()(х) )пт); 2) для любого числа в)О существует такое значение х из множества (х), что для соответствующего значения функции 7(х) справедливо неравенство 1(х))М вЂ” е (г(х) <тп+е).

Заметим, что в данном определении условие !) означает, чго число М (число и) является одной из верхних (нижних) граней функции 7(х) на множестве (х), а условие 2) означает, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может. Точная верхняя грань М функции ) (х) на множестве (х) обычно обозначается символом М=зпр()(х)) = зпр((х). (л) (л) Аналогично точная нижняя грань и функции !(х) на множестве (х) обозначается символом «т = !п((1(х)) = !п(1(х).

(л) (х) В частности, точная верхняя грань функции )(х) иа сегменте (а, Ь] может обозначаться любым нз следующих четырех символов; 174 Гл. 4. Непрерывность функции зпр [(х)= знр ([(х))= зпр [(х)= знр (1(х)). вк чь ак«чь «е[«,ь[ «а[а,ь[ Аналогичные четыре символа для точной нижней грани имеют вид [п( 1(х) = [пЦ Д (х)) = [п1 1(х) = [пЦ((х)). пк*~ь ч <ь «е [а,ь[ «а [е,ь[ Справедливы следующие утверждения: 1) если функция [(х) ограничена на множестве (х) сверху [снизу], то у нее существует на этом множестве точная верхняя грань [точная нижняя грань]; 2) если функция [(х) ограничена на множестве (х) (с обеих 'сторон), то у нее существуют на эхом множестве как точная верхняя, так и точная нижняя грани.

Эти утверждения являются прямым следствием теоремы 2.1' гл, 2, ибо ограниченность функции [(х) на множестве (х) сверху [снизу] означает, что множество всех значений втой функции ограничено сверху [снизу]. Возникает вопрос о том, является ли точная верхняя [точная нижняя) грань ограниченной иа множестве (х) функции 7(х) достижимой, т. е. существует ли среди точек множества (х) такаЯ точка х„значение фУнкции в котоРой 1(хо) Равно точной верхней [соответственно точной нижней] грани )(х) на множестве (х). Следующий пример показывает, что точные грани ограниченной на данном множестве функции, вообще говоря, не являются достижимыми, Рассмотрим на сегменте [О, 1] функцию 7(х) следующего вида (рнс. 4,25): х ' при О< х< 1, 1/2 при х = 0 и х = 1. Эта функция ограничена на сегменте [О, 1] и имеет на нем точную верхнюю грань М=1 и точную нижнюю грань и=О.

Однако зти грани недостижимы: среди точек сегмента [О, 1] не существует точек, значения функции в которых были бы равны нулю или единице. Заметим, что рассматриваемая функция )(х) не является непрерывной на сегменте [О, 1] (она имеет разрывы в точках х=О н х= 1), Оказывается, зто обстоятельство не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение. Теорема 4.15 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция [(х) непрерывна на сегменте [а, Ь], то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и низсней граней, т.

е. среди точек сегмента [а, Ь] найдутся такие точки х[ и хь что значение 1(х1) равно точной верхней грани [(х) на сегменте $ Б. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций [75 [а, Ь], а значение 1(хе) Равно точной нижней гРани ((х) на сегменте (а, Ь]. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу первой теоремы Вейерштрасса 4.14 функция )(х) ограничена на сегменте (а, Ь], а поэтому у нее существует нв этом сегменте точная верхняя грань М и точная нижняя грань лт. Остановимсн на доказательстве достижимостн точной верхней грани М, ибо достижимость точной нижней грани и доказывается аналогично.

Предположим, что точная верхняя грань М не является достижимой, т. е. предположим, что во всех точках сегмента (а, Ь] функция )(х) принимает значения, строго меньшие М. Тогда мы можем рассмотреть функцию Р(х) = ! М вЂ” ! («) Знаменатель М вЂ” ((х) представляет собой функцию, непрерывную и строго положительную на сегменте (а, Ь]. Поэтому по теореме 4.1 (для случая частногО) функция Г(х) будет являться непрерывной на сегменте (а, Ь]. Значит, по первой теореме Вейерштрасса 4.14 функция Е(х) ограничена на сегменте (а, Ь], т. е.

найдется положительное число А такое, что Р(х) = ( ! М вЂ” ! («) <А для всех х из сегмента (а, Ь]. Так как функция М вЂ” 1(х) строго положительна на (а, Ь], то последнее неравенство экви! валентно неравенству ((х) (М вЂ” — для всех х из сегмента А (а, Ь], а это противоречит тому, что число М является точной верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних граней функции ~(х) на сегменте [а, Ь]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о недостижимости точной верхней грани является неверным. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 2. После того как доказана достижимость непрерывной на сегменте (а, Ь] функцией своих точных верхней и нижней граней, мы можем назвать точную верхнюю грань М максимальным значением, а точную нижнюю грань т минни а л ьным значением функции ((х) на сегменте (а, Ь].

Характеристики

Список файлов книги