В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорему 4.15 можно переформулировать в виде: непрерывная на сеглгенте (а, Ь] функция 1(х) имеет на этом сегменте максимальное и минимальное значения. Максимальное значение функции )(х) на сегменте (а, Ь] обозначается одним из следующих символов: птах ~(х) =. шах (~(х)) = [пах 1(х) = шах (! (х)). а<«сь а<«~а «е[азл «е[а,а! [тв Гл. 4.
Неирерывность функции Аналогичные символы для минимального значения [(х) на сегменте [а, 6) имеют вид ппп Г'(х) =- ппп (Г(х)) = ппп Т(х) = пйп ([(х)). а«х«Ь а«х«Ь хв[агй хи[а,ь[ 3 а м е ч а н и е 3. Заметим, что и функции, не являющиеся непрерывными на данном сегменте, могут достигать на этом сегменте своих точной верхней и точной нижней граней. Примером может служить функция Дирихле )х(х), равная нулю для всех иррациональных х и равная единице для всех рациональных х.
Эта функция разрывна в каждой точке сегмента [О, 1), но, очевидно, достигает на этом сегменте своей точной верхней грани, равной единице, и своей точной нижней грани, равной нулю. 3 а меча н ив 4. Утверждение теоремы 4.15 окажется неверным, если в ее формулировке термин «сегмент» заменить термином «интервал» или «полусегмеит». Так, функция )(х) =х является непрерывной на интервале (О, 1) или на полусегменте [О, 1), однако точная верхняя грань этой функции иа указанном интервале или полусегменте И=1 хотя и существует, но не достигается. К этому следует добавить, что у функции, являющейся непрерывной на интервале нли полусегменте, точные грани могут даже не существовать, ибо такая функция может не являться ограниченной иа указанном интервале или полусегменте (см, замечание 1).
3. Понятие равномерной непрерывности функции. Предположим, что функция у=[(х) задана на таком множестве (х), каждая точка которого является предельной точкой этого множества. Примером такого множества могут служить сегмент, интервал, полусегмент, полупрямая, бесконечная прямая, множество всех рациональных точек, принадлежащих любому из перечисленных множеств.
Оп редел ение. Функция у=Я(х) наз[явается равномерно непрергявной на множестве (х), если для любого положительного числа и найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для любых двух точек х' и ха множества (х), удовлетворяющих условию [х' — х" ~ <б, справедливо неравенство 1[(л') — [(ха) ) <в.
(4.29) 3 а меча н и е 1. Сразу же подчеркнем, что если функция [(х) равномерно непрерывна на множестве (х), то она непрерывна в каждой точке х множества (х). В самом деле, взяв в сформулированном определении в качестве х" данную фиксированную точку х„множества (х), а в качестве х' — любую точку этого множества, мы придем к определению непрерывности функции [(х) в точке ха по Коши.
3 а меч ание 2. Основным в сформулированном определении равномерной непрерывности является требоваиие, гаранти- й б. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 177 рующее существование по любому е>0 такого универсального 6>0, которое обеспечивает справедливость неравенства (4.29) сразу для всех точек х' и х" множества (х), удовлетворяющих условию (х' — х") <6.
Если потребовать непрерывности функции 7(х) в каждой точке хо множества (х), то для любого е>0 и любой точки х, множества (х) можно гарантировать существование «своего» положительного числа 6=6(в, хо), зависящего не только от в, но и отхо и обеспечивающего справедливость неравенства. 11(х) — 1 (хо) ~ < <е для всех х из множества (х), удовлетворяющих условию 1х — хо~ <6(з, хе). При этом, вообще говоря, может не существовать по л о ж и т е л ь но й точной нижней грани указанных 6(в, х,) по всем точкам хо множества (х), т. е.
равномерная непрерывность функции на множестве (х) не вытекает, вообще говоря, из непрерывности этой функции в каждой точке хо множества (х). Замечание 3. Из данного нами определения равномерной непрерывности непосредственно вытекает, что если функция )(х) равномерно непрерывна на множестве (х), то эта функция равномерно непрерывна и на любом подмножестве множества (х). Рассмотрим примеры функций, как обладающих, так и не обладающих на данном множестве (х) свойством равномерной непрерывности. ! 1. Убедимся в том, что функция 1(х) = — равномерно нех прерывна на полупрямой х) 1.
В самом деле, для любых двух точек х' и х" из указанной полупрямой справедливо неравенство д(х') — ) (х") ) — ~ ~ ! ~ — < )х» — х'~. Поэтому, взяв для любого в>0 положительное число 6 равным в, мы получим, что для любых двух точек х' и х" полупрямой (1, +со), удовлетворяющих условию )х» — х') <6, справедливо неравенство 11(х') — )(х") ~ <б=е.
1 2, Функция 1(х)=з)п — не является равномерно непрерывх ной на интервале (О, 1)". Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что для некоторого е>0 и для любого как угодно малого 6>0 найдется хотя бы одна пара точек х' и. х" интервала (О, 1) таких, что 1х х 1<6 но 11(х ) 1(х ) !)з. ' Хотя вта функпия и является непрерывной в каждой точке интервала (о, 1).
Гл. 4. Непрерывность фуннпнн 178 Рассмотрим две последовательности точек, интервалу (О, 1), (х' ) и (х" ) с элементами х„'= — и х"„= 1 1 , л=1,2, лл " в — + 2пл 2 принадлежащих Обе эти последовательности, а значит, и их разность являются бесконечно малыми. Поэтому для любого как угодно малого 4>0 найдется номер а такой, что 1х„' — х„"~ < б. Вместе с тем для любого номера а ~~(х„') — ~ (х„") ~ = ~ з)п пп — з(п ( —" + 2пл) ~ = 1.
~~(х') — 1(хл) ~ = ! ( ') — (хл)н! = (4.30)' = / х'+ х" ! ° 1х' — х" ! > х' 1х' — х" /. Убедимся теперь в том, что не только для н е к о т о р о г о в>0, а даже для л ю ба го в>0 и для любого как угодно малого б>0 найдется пара точек х' и х" из' полупрямой х>.1 таких, что )х' — х" ~ <б, но ~~(х') — 1(хл) ) ъз. (Это и будет означать отсутствие свойства равномерной непрерывности у функции )'(х) =хе на рассматриваемой полупрямой.) Фиксирован произвольные е>0 и б>0, возьмем в качестве х' 2в произвольиоечисло, превосходящее единицу и такое,что х'> —, и положим х"=х'+ —. Для таких х' и х" будет справедливо 2 Поэтому для з= — > 0 и для как угодно малого б>0 най- 2 дется пара точек х' и хл нз интервала (О, 1) таких, что )х '— — х„"~ <б, в то время как ~1(х,') — 1(х,л) ~>е, это и означает, что ,рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (О, 1).
Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию 7(х) =з!п — не на интервале (О, 1), а на интервале (у, 1), где 1 х у — любое число из интервала 0<у<1, то приведенные выше рассуждения уже не имели бы места. Этот факт не является случайным, ибо ниже мы покажем, что указанная функция является равномерно непрерывной на интервале (у, 1) при 0<у<1. 3.
Докажем, что функция 1(х)=хе не является равномерно непрерывной на полупрямой х)1. Заметим, что для любых двух точек х' и х" полупрямой хъ.1 справедливо неравенство й 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 179 неравенство ) х — х" ~ = — ( б. С другой стороны, в силу В (4.30) для этих же х' и х" будет справедливо неравенство В 2а 11(х') — 1(х") ~ > †. — = в. 2 В Заметим, что если бы мы рассмотрели ту же самую функцию 1(х) =ха не иа полупрямой хп.1, а на любом сегменте [1, Ь1, где Ь вЂ” любое число, то проведенные нами рассуждения уже не имели бы места. Этот факт становится понятным в силу следующей фундаментальной теоремы.
Основная теорем а 4.16. Если функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь1, то она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство. Предположим, что функция 1(х) непрерывна на сегменте [а, Ь), но не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда для некоторого в>0 и для любого как угодно малого б>0 найдутся две точки х' и х" сегмента [а, Ь1 такие, что !х' — х" /(б, ио !((х') — 1(хп) ~~в. Выберем бесконечно малую последовательность положительных чисел б„= — (п=1,2,...). Можно утверждать, что для ука- 1 и ванного е>0 и для любого номера и найдутся две точки х,' и хкн сегмента [а, Ь) такие, что ~х„' — х„"! г. —, но )~(х„') — ~(х„")( > е. Так как последовательность (х„') состоит нз точек сегмента [а, Ь1, то 'она ограничена и по теореме Больцано — Вейерштрасса (см.
следствие 3 из теоремы 3.16 гл. 3) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х' ), и= 1, 2,.... Предел "е й указанной подпоследовательности (в силу следствия 2 из теоремы 3.13 гл. 3) будет также принадлежать сегменту [а, Ь1. В силу левого неравенства (4.31) соответствующая подпоследовательность (х" ) будет сходиться к той же самой точке й. Поскольку функция )(х) непрерывна в каждой точке сегмента [а, Ь), она непрерывна н в точке йе. Но тогда, в силу определения непрерывности по Гейне, обе подпоследовательности соответствующих значений функции (Г(ха' )) и (Г(хь О обязаны схоо а диться к )(5), т.
е. разность указанных подпоследовательностей * В случае, если й совпадает с одним ив концов сегмента (и, Ь), под непрерывностью следует ооннмать одностороннюю непрерывность, Гл. 4. Непрерывность функции 41(хь ) — 1(х1 )) обязана быть бесконечно малой.
Это противоречит правому неравенству (4.31), справедливому для всех номеров п и потому для всех номеров Й,. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение о том, что непрерывная на сегменте [а, Ь) функция не является равномерно непрерывной на этом сегменте, является неверным. Теорема доказана. Возвратимся теперь к рассмотренному выше примеру 2 и покажем, что функция ~(х) = яп — является равномерно непре- 1 х рывной на интервале (у, 1) при любом у из интервала 0<у<1. В самом деле, при любом таком у функция ) (х)=з!и — непре- 1 х рывна на сегменте [у, 11. Значит, по теореме 4.16 функция !" (х)= 1 =и!и равномерно непрерыви на сегменте [у, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
