В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 36
Текст из файла (страница 36)
замечание к указанной выше лемме). В силу леммы 2 гл. 2, каковы бы ни были два вещественных числа, не равных друг другу, всегда найдется рациональное число, заключенное между ними. Так как в каждой точке разрыва х справедливо неравенство «(х+О) >[(х — О), то каждой точке разрыва х можно поставить в соответствие некоторое рациональное число т(х), удовлетворяющее неравенствам «(х+О) >т(х) >[(х — О). Заметим, что при этом разным точкам разрыва будут поставлены в соответствие разные рациональные числа.
В самом деле, если х, и хе — две точки разрыва такие, что к~ <хи то из не- * Т. е. либо неубывающей, либо невозрастеющей. 6 6. Локальные и глобальные саойства непрерывных функций 167 убывания функции следует, что ((х1+О) ([(ха — О), а поэтому г (х1) С Г (ха) . Таким образом, множество всех точек разрыва функции 1(х), расположенных внутри сегмента [а, Ь| эквивалентно подмножеству множества рациональных чисел, которое, как доказано в 5 7 гл. 2, является не более чем счетным. Теорема доказана. $6.
ЛОКАЛЪНЪ|Е И ГЛОБАЛЪНЫЕ СВОИСТВА НЕНРЕРЪ|ВНЫХ ФУНК|аИИ К локальным свойствам относятся те свойства функции, которые справедливы в сколь угодно малой окрестности фиксированной точки области определения функции. Эти свойства характеризуют поведение функции при стремлении аргумента к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области ее определения является локальным свойством этой функции. Глобальные свойства — это свойства, связанные со всей областью определения функции. Например, монотонность функции на сегменте [а, Ь] является ее глобальным свойством. 1.
Локальные свойства непрерывных Функций. Введем новые понятия. Предположим, что функция )(х) задана на множестве (х). Определение 1. Функция Ях) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве (х), если существует такое вещественное число М (вещественное число т), что для всех значений аргумента х из множества (х) справедливо неравенство )(х)~М О(х) ът). При этом число М (число т) называется верхней (нижней) гранью функции ((х) на множестве (х). Определение 2. Функция Я(х) называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной) на множестве (х), если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу, т. е. если найдутся такие вещественные числа т и М, что для всех значений аргумента х из множества (х) справедливы неравенства т~((х) (М. Таким образом, ограниченность функции 1(х) на множестве (х) фактически означает ограниченность множества всех значений этой функции (отвечаю|них значениям аргумента из множества (х)).
Примеры. 1) Функция 1(х)=1пх, рассматриваемая на интервале (О, и 1, ограничена на этом интервале снизу (в ка- 2 / честве нижней грани можно взять число т~0), а сверху не ограничена. Гл. 4. Непрерывность функции 2) Функция Дирихле 0(х), равная нулю в иррациональных точках и единице в рациональных точках, ограничена (с обеих сторон) на любом множестве (х). Справедлива следующая теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечное предельное значение. Теорема 4.10 (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел).
Т(усть функция )'(х) задана на множестве (х) и имеет конечное предельное значение в точке а. Тогда существует такое положительное число 6, что функция ('(х) ограничена на множестве В,, представляющем собой пересечение множества (х) с интервалом (а — 6, а+6), т.
е. с 6-окрестностью точки а. 3 а м е ч а н и е 1. Если множество задания функции 1(х) с п л о ш ь п о к р ы в а е т некоторую 6-окрестность точки а, то в качестве В, можно взять сам интервал (а — 6, а+6). До к аз а тельство. Пусть предел 1(х) в точке а равен Ь. В силу определения предела по Каши для некоторого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х из проколотой б-окрестности точки а* справедливо неравенство 17(х) — Ь(<е или Ь вЂ” е <1(х) < Ь+ е. (4.26) Если множество (х) задания функции не содержит точку а, то теорема доказана, ибо в этом случае неравенства (4.26) означают, что для всех точек множества В,=(х)П(а — 6, а+6) значения функции 7(х) заключены между числами пз=Ь вЂ” а и М=Ь+е.
Если же множество (х) задания функции 7(х) содержит точку а и этой точке отвечает некоторое значение функции 7(а), то, обозначив через и наименьшее из двух чисел Ь вЂ” е и 1(а), а через М наибольшее из двух чисел Ь+е и 1(а), мы получим, что для всех точек множества В,=(х)П(а — 6, а+6) будут справедливы неравенства"" пт-<Цх) ~М, (4.27) которые и означают ограниченность 1(х) на множестве В,.
Теорема доказана. Иллюстрацией к доказанной теореме может служить рис. 4.22. Следствие из теорем ы 4.10. Если функция Я(х) непрерывна в точке а, то эта функция ограничена на множестве всех значений ее аргумента, принадлежащих некоторой 6-окрестности точки а. * Напомним, что проколотой б.окрестностью точки а называется интервал (а — б, пэб) без точки а. ** В самом деле, для всех точек множества Вз=(х)0(а — б, пэб), за исключением точки а, будут справедливы неравенства (4.26), а потому и неравенства (4,27). Для точки х=о неравенства (4.27) справедливы вследствие выбора чисел лт и М, й 6.
Локальные и глобальные свойства непрерывных функций 1бв Достаточно заметить, что непрерывная в точке а функция имеет в этой точке конечное предельное значение. Т ео р е м а 4.11 (о б у с т о й ч и в о с т и з н а к а н е и р е р ы аной в то ч ке функции). Пусть функция 1'(х) задана на множестве (х), непрерывна в точке а этого множества и ее значение 1" (а) положительно (отрицательно~1.
Тогда существует такое положительное число б, что функция 1'(х) является положительной (отрицательной) всюду на множестве В,, представляющем собой пересечение множества (х) с б-окрестностью точки а, Рис. 4.22 Рис. 4.23 3 а м е ч а н и е 2. Если множество задания функции 1(х) с п л о ш ь п о к р ы в а е т некоторую б-окрестность точки а, то в качестве В, можно взять саму б-окрестность точки а. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения непрерывности по Коши для любого положительного числа и найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для всех значений аргумента х из б-окрестности точки а справедливо неравенство ~((х) — 1(а) ! <е, или 1(а) — в<1(х) <7(а)+е.
(4.28)' ~1(аИ Если взять в качестве е положительное число, то оба 2 числа 1'(а) — е и 1(а)+в будут положительны при 1(а) >О и отрицательны при 1(а) <О. Поэтому неравенства (4.28) будут означать, что для всех значений аргумента из б-окрестности точки а функция 1(х) является положительной при 1(а))0 и отрицательной при )'(а) <О. Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 4.11 может служить рис.
4.23. Теорему 4.11 легко переформулировать на случай, когда функция 1(х) непрерывна в точке а только сп р а в а или только слева. 170 Гл. 4. Непрерывность функции Договоримся называть полусегмент [а, а+ 6) ар а во й б-полу- окрестностью точки а, а полусегмент (а — б, а] — левой 6-полу- окрестностью точки а. Теорема 4.11*. Пусть функция [(х) задана на множестве (х), непрерывна в точке а этого множества справа [слева] и ее значение т(а) не равно нулю. Тогда найдется такое положительное число 6, что функция [(х) не обращается в нуль и имеет тот же знак, что и в точке а, для всех значений х из множества (х), принадлежащих правой [левой] Ь-полуокрестности точки а. Для доказательства этой теоремы следует дословно повторить доказательство теоремы 4.11 с заменой термина «6-окрестность точки а» термином «правая [левая] б-полуокрестность точки а».
3 а м е ч а н и е 3. К числу локальных свойств непрерывных в данной точке функций следует отнести доказанные выше теоремы 4.1 и 4.2 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных в данной точке функций и о непрерывности сложной функции. 2. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема 4.12 (прохождение непрерывной функции через нуль и р и смене знаков). Пусть функция 7(х) непрерывна на сегменте [а, Ь), и пусть значения этой функ- $ ии на концах сегмента 1(а) и 1(Ь) суть числа разнгях знаков.
'огда внутри сегмента [а, Ь] найдется такая точка $, значение функции в которой равно нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, можно считать, что [(а) <О, 1(Ь) >О. Пусть (х) — множество всех значений х нз сегмента [а, Ь], для которых 1(х) <О.
Это множество непусто (ему, например, принадлежит точка х=а) н ограничено сверху (например, числом Ь). Согласно теореме 2.1 у множества (х) существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через $. Заметим, что точка $ — в н у т р е н н я я точка сегмента [а, Ь], так как из непрерывности функции 1(х) на [а, Ь] и из условий 1(а) <О, [(Ь) >О, в силу теоремы 4.11", вытекает, что найдется правая 6-полуокрестность точки а, в пределах которой [(х) <О, и левая б-полуокрестность точки Ь, в пределах которой 1(х) >О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
