В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда так как а" <аз', то а" — а"=а" (а' " — 1)(аа (а'- — 1). Неравенство ак — а" <е будет доказано, если мы установим воз- можность выбора в неравенствах (4.4) таких рациональных а и б, к что аа —" — 1 < — ° оз, В гл. 2 было доказано, что для любого натурального п можно выбрать рациональные числа а и р, удовлетворяющие неравенст- вам (4.4), так, что разность р — а будет меньше 1/и.
Таким обра- зом, достаточао доказать, что существует такое натуральное и, что аыи 1< в $ 3. Простейнэие элементарные функции 143 Пусть апл=1+б,. Так как ап">1, то б„положительно. Используя первые два члена бинома Ньютона, мы получим, что а= (ап")"= (1+б„) ">1+и б„, а — ! 1л Отсюда а — 1>п б„т.
е, О( б,( —. Значит ап" — 1( —. л л Выберем теперь натуральное п удовлетворяющим неравенству а — 1 е (а — 1) ав' а — 1 е — ( — или и > . Тогда ап" — 1( — ( —,„ азэ е л азэ и доказательство однозначной определенности числа у, удовлетво- ряющего неравенствам (4.5), завершено. Утверждение 2 дока- зано.
Заметим, что если х — рациональное число и а" — значение в точке х показательной функции, первоначально определенной лишь на множестве рациональных чисел, то а' и является тем единственным числом у, которое удовлетворяет неравенствам (4.5) . Утверждение 3. Показательная функция у=ан при а>1 возрастает на всей бесконечной прямой. Доказательство. Пусть х~ и хе — любые два веществен- ных числа такие, что х!<хь Всегда существуют рациональные числа а и р такие, что х!<а<р<хе (см.
лемму 2 $3 гл. 2). Так как х!<а и р<хь то по определению показательной функции вы- полнены неравенства а" <а", аз<аис С другой стороны, так как а<р, то из возрастания показательной функции на множестве рациональных чисел вытекает а" <а'. Сопоставляя неравенства а' <а", а" (аз и аз<а" и используя свойство транзитивнос- ти знаков ) и =, получим, что а" ( акч а зто и доказывает воз- растание функции а'. Утверждение доказано. У т в е р ж д е н и е 4.
Показательная функция у = а' при а>! яв- ляется непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х — произвольное вещественное число, а (х„) — любая сходящаяся к х последовательность. В силу определения непрерывности по Гейне достаточно доказать, что для любого е)0 существует такой номер Л1, что 1а'н — а" 1( е при всех и .3У. Фиксируем произвольное н>0 и по нему рацио- нальные числа а и р такие, что а<х<р и а' — а"<е. Возможность фиксировать по любому е>0 такие рациональные числа а и была установлена в утверждении 2. Поскольку последователь- ность (х„) сходится к и и а<х<р, то существует такой номер Л!, что при всех п)й! справедливы неравенства а<х,<р.
Так как по- казательная функция монотонно возрастает, то а ( а" ( аР, а" ( ( а"" ( аз при всех п)!и. Таким образом, оба числа а"н и а" при п))у' заключены меж- ду двумя числами а" и а", разность между которыми а' — а" мень- ше е. Отсюда следует, что при п)У справедливо неравенство 144 Гл. 4. Непрерывность фуннннн )а" — ак! < е, которое и доказывает непрерывность показательной функции в произвольной точке х. Утверждение 4 доказано. Получим теперь некоторые следствия нз доказанных свойств показательной функции. Прежде всего заметим, что если 0<а<1, 1 то а= —, где Ь)1.
Поэтому функцию у=ак при 0<а<1 можно Ь определить как функцию у=-Ь " при Ь= — ) 1. и Следствие 1. Показательная функция у=а" при а>1 положительна (при всех значениях х). Если х — произвольная точка числовой оси, а т — рациональное число такое, что г<х, то по определению показательной функции на множестве рациональных чисел а'>О, а по утверждению 3 а >а' при а>1. Следовательно, а >О. Сл ед от в и е 2. Показательная функция у=а" при а>1 удовлетворяет условиямг Ита =О, !ппа'= + оо. к а к -«о В самом деле, так как а>1, то а==1+6, где 6>0 и а"= = (1+6) ">п6. Следовательно, Игла" = — + оо.
В силу монотонности функции у=а" получаем, что и !пп а*= +со. Так как к + а "=- —, то 1ппа — "=О, и поэтому Игла"=О. 1 пн к к к Следствие 3. Значения функции у=а' при а)1 заполняют всю положительную полупрялгую у)0. Действительно, по следствию 1 функция у=а" принимает только положительные значения, а по следствию 2 она принимает как сколь угодно малые, так и сколь угодно большие положитель. ные значения. Из непрерывности и строгой монотонности ак и из теоремы 4.4 вытекает, что любое положительное число является значением функции у=а'.
Следствие 4. Для любых вещественных чисел х, и ха справедливы соотношения (ак~)кк ак~ к, ак,.Ькю=(а.Ь)к, ак,.акк ак+к, В самом деле, эти соотношения уже были установлены нами для рациональных показателей. Отсюда вытекает справедливость их и для произвольных вещественных показателей. Убедимся, например, в справедливости первого соотношения. Пусть (г'„) и (г„") — последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к х~ и хь Тогда (а")"=а" ". Переходя к пределу при и-«оо и используя непрерывность показательной функции, получим (а"*)"*=а" " .
Аналогично устанавливаются и остальные равенства. Заметим теперь, что мы фактически изучили и свойства показательной функции у=а" при 0<а<1. Действительно, ее непре- 14$ 5 3. Простейшие элементарные функции рывность следует из самого определения. Из определения следует также, что эта функция монотонно убывает на бесконечной прямой. Следствия 1, 3, 4 верны и для функции у=а" при 0<а<1, а следствие 2, очевидно, будет выглядеть так: 1ппа'= + оо, 1ппа" =О. л ~ — з х-~+ О На рис. 4.1 и 4.2 изображены графики показательной функции у=а" для случаев а>1 и 0<а<1. Рис. 4.2 Рнс.
43 Замечание. Показательную функцию можно было бы определить как решение некоторого функционального уравнения, удовлетворяющее определенным условиям. Можно доказать, что сушествует, и притом единственная, функция 1(х), определенная на. всей бесконечной прямой н удовлетворяющая трем требованиям: 1) для любых вещественных х~ и хя выполнено соотношение 1 (Х!+Хт) =) (Х1) '1 (Хт) 1 2) ) (0) =1', 1(1) =а при а>1; 3) функция )(х) непрерывна при х=О. Такой функцией и является построенная выше функция 1(х) =ах при а>1.
2. Логарифмическая функция. Логарифмическую функцию мы определим как обратную к показательной. Пусть 1с, д] — произвольный сегмент бесконечной прямой. На этом сегменте функция у=а" при а>1 возрастает и непрерывна. Поэтому в силу теоремы 4.5 функция у=1(х) =а" имеет на сегменте (а', ал) возрастающую и непрерывную обратную функцию х=) '(у), которая и называется логарифмической и обозначается так: х=1 '(у) =1оц,у. Заменяя обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, запишем ее в более привычном нам виде: у=1оп,х. * Можно доказать, это требование ЦО) = 1 является следствием остальных требований (и потому может быть опущено). Гл. 4.
Неирерывиость функции Случай 0<а<1 рассматривается аналогично. Отметим следу.ющие свойства логарифмической функции, вытекающие из ее определения: 1) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений х. В самом деле, аргумент логарифмической функции представляет собой значения показательной функции, которые„ как мы знаем, только положительны и заполняют всю полупрямую х>0. 2) . Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на .всей полупрямой х>0 при а>1 и непрерывна и убывает на всей полупрямой х>0 при 0<а<1„причем 11щ1од,х= — оо, 11щ!од,х= +во при а >1, к о+о л-ь+ ь 1ип1оя,х= +оо, 1пп 1ой,х= — оо при 0 < а < 1.
к-~о+о к ь+Ф 'Справедливость этих свойств вытекает из свойств показательной функции. 3) Для любых положительных х| и хо !ока (х1 ' хе) = 1оив х1+ 1ояв хо Это свойство также вытекает из свойств показательной функции. 3 а м е ч а н и е. Следует особо выделить логарифмическую и функцию у=!од,х, где е=11т 11 ' — 1 . Для этой функции используется обозначение у=1пх. Логарифмы по основанию е на.зываются натуральными. Рис.
4.4 Рис. 4.3 На рис. 4.3 и 4.4 изображены графики логарифмической функ. ции у=1ои,х для случаев а>1 и 0<а<1. 3. Степенная функция. Определим теперь степенвую функцию с любым вещественным показателем а через суперпозицию логарифмической функции и показательной. Пусть х>0т Тогда общая степенная функция определяется так: 147 4 3. Простейшие элементарные функпнн Хо !а1окок)а аа 1онох где а — любое фиксированное число, ради определенности ббльшее единицы: Из этого определения и из того, что при а>1 логарифмическая функция возрастает на всей полупрямой х>0, а показательная функция возрастает нв всей бесконечной прямой, вытекает, что степенная функция у=х"= ам 1 но возрастает при а>0 и убывает при а<0 на полупрямой х>0.
Справедливы следующие свойства: 1) Для степенной функции выполнены соотношения: 1ппх"=0 при 55 > О, 1ппх"= +оо при а(0. Х-Н1+О о+о В самом деле, пусть !х„) — любая сходящаяся к нулю справа последовательность значений аргумента х„.
Так как 1пп !он,х„= =- — оо, то из свойств показательной функции вытекает, что 11п1ао'1он 'о=О прн а>0 и 1нпа""«о" = +оо при а<0. По н-х о определению положим 0'=0 при а>0 и будет считать это выражение неопределенным при а~О. 2) Степенная функция у.†.-х"=а"' а " непрерывна в каждой точке х открытой полупрямой х>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
