В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Гл. 4, Непрерываость функции !38 ванне, строгая монотонность н непрерывность на соответствующем сегменте обратной функции. Доказательство. Проведем все рассуждения для возрастающей функции, ибо для убывающей функции онн проводятся аналогично. Так как Г(х) возрастает н непрерывна на сегменте [а, Ь), то в силу необходимости теоремы 4.4 множеством всех значений этой функции является сегмент [а, [)). Но тогда теорема 4.3 обеспечивает существование на этом сегменте возрастающей обратной функции х ~-!(у). Остается доказать непрерывность указанной обратной функции на сегменте [а, р).
Для этого достаточно учесть, что множеством всех значений обратной функции х=~ !(у) служит сегмент [а, Ь], где а=! — '(а), Ь=[-'ф), и использовать для этой обратной функции достаточность теоремы 4.4. Доказательство теоремы 4.5 завершено. ! 3амечание 2. Можно показать, что из существования обратной функции для функции Г!х), непрерывной на сегменте [а, Ь), следует, что !!'х) строго монотонна на этом сегменте (см. п. 2 $ б настоящей главы).
й 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗЛЕЬ4ЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Простейшими элементарными функциями, как уже отмечалось, обычно называют следующие функции: у =х", у = а", у =! оя,х, у=з(пх, у=созх, д=1ях, у=с1ях, у=агсз(пх, д=агссозх, у= =агс1пх, у=агсс1ях. Нашей основной целью является изучение вопроса об определении и непрерывности простейших элементарных функций.
Следует заметить, что вопрос об определении простейших элемен. тарных функций далеко не прост. Так, например, показательная функция у=а~ легко может быть определена для рациональных значений аргумента х, вместе с тем эту функцию следует определить для произвольных вешественных значений х, т. е. следует определить возведение вещественного числа в любую вещественную степень х. Далее, определение тригонометрических функций з(их и сов х с помощью наглядных геометрических соображений имеет логический пробел. Возможность определить эти функции для всех вещественных значений аргумента х сводится к возможности установления взаимно однозначного соответствия между точками единичной окружности и всеми вещественными числами полусегмента [О, 2п).
Всеми этими вопросами мы и будем заниматься в настоящем параграфе. 1. Показательная функция. Начнем наше рассмотрение с определения рациональных степеней положительных чисел, Для того чтобы возвести любое вещественное число х в целую положительную степень и, следует умножить это число х само на себя и раз.
$3. Простейшие элементарные функции Следовательно, при целом и мы можем считать определенной степенную функцию у=ха для всех вещественных значений х. Установим некоторые простейшие свойства этой функции. Утверждение 1. Степенная функция у=х" при х>0 и целом положительном и возрастает и непрерывна.
Доказательство. Покажем, что функция у=х» возрастает. Пусть 0(х~(хэ. Тогда хэ" — х1"=(хэ — х~) (хэ" — '+хи" — ~ х1+... ...+х1" '). Оба сомножителя в праной части, в соответствии с выбором значений хэ и хь положительны. Поэтому положительна и левая часть равенства, т. е. хна>х1а, а это означает возрастание функции у=ха при х О. Непрерывность функции у=х" в любой' точке а бесконечной прямой ( — оо, +со) была установлена в примере 1 п. 1 $ 1 настоящей главы.
Утверждение 1 доказано. Рассмотрим степенную функцию у=х" иа сегменте [О, й!], где Л вЂ” любое положительное число. Так как эта функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то в силу теоремы 4.5 она имеет на сегменте [О, )т'"] возрастающую и непрерывную обратную функцию, которую мы обозначим через х=уиа. Поскольку Л' можно выбрать как угодно большим, то и Жа также можно сделать сколь угодно большим. Следовательно, функция х=уиа определена для всех неотрицательных значений у.
Меняя для этой функции обозначение аргумента у на х, а обозначение функции х на у, мы получим степенную функцию у=хин, определенную для всех вещественных х>0. Теперь мы в состоянии определить любую рациональную степень т положительного числа а, Определим, прежде всего, аьа лак вещественное число Ь, равное значению функции хьа в точке а. Далее, если и= —, где пь и и — целые положительные числа, и то мы положим а'=..
а" = (аыл)ш Кроме того, положим по определению Г а" = 1, а-' ==- ( — ~ прн и > О. Тем самым, мы определили любую рациональную степень положительного вещественного числа а. Выполняются следующие свойства рациональной степени положительных вещественных чисел: (а')'=а", а'Ь'=(а Ь)', а'.а'=а"''. (:) Докажем сначала справедливость первого свойства (е) Заметим, что при целом положительном р равенство (а )" = !40 Гл.
4. Непрерывность функции т р и =а, в котором под т и л понимаются любые целые поло- жительные числа, заведомо справедливо, ибо как левая, так и правая части этого равенства равны произведению числа амл самого на себя и| р раз. Полагая г= —, з»т — докажем равенство (а')'=ат» т| |лв л, лв в ситуации любых положительных рациональных г и з.
Полот, т, т~ т жим с,=(а"')"', се=а"'"*. Если бы с| было отлично от см то из возрастания степенной функции у=х" следовало бы, что и с,"* Фсе»*, а последнее соотношение, в силу уже доказанной т т» справедливости равенства (ал)»=а л при целом р, означало т~ т,т, бы, что (а"') *Фа "' . Полученное соотношение противоречит уже доказанному нами для целых положительных п|ь и| и тв »|| т|»ь равенству (а"') *=а ' . Тем самым с|=с,, и первое равенство (л) доказано для любых положительных рациональных г и з.
Распространение этого равенства на неположительные г н з не представляет труда в силу нашей договоренности о том, что ав=1, а = — при г>0. 1 ае Второе равенство (*) также достаточно доказать для п о л о- ж и т е л ь н о г о рационального г. Полагая это г равным и/л, где и| и и — целые положительные числа„заметим, что нам достаточно доказать равенство ап" Ь~г"= (а.Ь) и», ибо пе- ремножением и таких равенств будет доказано общее соотно- шение а' Ь' = (а. Ь) ".
Для доказательства равенства ап».Ьп"=(а Ь)п" заметим, что в силу свойств взаимно обратных функций у=хм" и х=у" мы можем утверждать, что (Ьп")"=Ь, (ан»)"=а, ((аЬ)п")"= =аЬ. ПоэтомУ, положив с|=ам» Ь~Г», св (аЬ) и" и пРедполагаЯ, что с|Фс|ь мы получили бы, что с|»~=се», что противоречит ра- венству а. Ь=аЬ. Докажем теперь последнее свойство (л), учитывая, что первые два уже доказаны. Пусть г= —, з=- — тогда г— |»| |»в л| лв т, лв тв.л| = —, з = —, н мы приходим к следующему равенству: л|.лв лв л| | | | е (»,.л,)т,.л, (»,.»,)т, л, (», ».
т, »,+т„», (Последнее равенство справедливо, так как ть пв и шв я|в целые числа.) 141 $3. Простейшие элементарные функции Таким образом, ш,н»+пг»н, т,+е, а'.а' = а "'"* =- а"' "' =- а'+* \ что и требовалось. При а> 1 и рациональном г>0 справедливо неравенство а'> 1. В самом деле, пусть г= — и а'=а ге<1. Перемножая по членно и указанных неравенств, получим а"«1.
Но зто неравенство противоречит неравенству а >1, полученному почленным перемножением гп неравенств вида а>1. Отметим также, что если рациональная дробь г= — имеет нечетный знаменатель и, то определение рациональной степени можно распространить и на отрицательные числа, полагая при а>0, что ( — а)'=а', если гп четное, ( — а)'= — а', если и нечетное, Убедимся в том, что функция у=а" при а>1, определенная нами на множестве рациональных чисел, монотонно возрастает на этом множестве.
Действительно, пусть г~ и гэ — два рациональных числа таких, что ге>гь Тогда (4. Э) ап — а' =а' (ап- — 1). Поскольку гэ — г~>0 и а>1, то (в силу установленного выше)' а' -") 1. Таким образом, правая часть равенства (4.3) положительна. Следовательно, ап — а"» ) О.
т. е. а»*) аг что и требовалось. Определим, наконец, функцию у=а" не только для рациональных значений х, но и для любых вещественных значем и й. Пусть х — произвольное вещественное число. Рассмотрим всевозможные рациональные числа а и (1, удовлетворяющие неравенствам и<х<р. (4 4) Определим а" при а>1 как вещественное число у, удовлетеоряюи(ее неравенствам а"(у(ай (4.5) при всевозможных рациональных а и р, удовлетворяющих неравенствам (4.4). Гл. 4.
Непрерывность функции 142 Оказывается, что такое число у существует и притом только одно. Следовательно, таким путем функция у=а" будет определе- на на множестве всех вещественных х. Мы покажем, что эта функция возрастает и непрерывна на всей вещественной прямой. Эти результаты содержатся в доказы- ваемых ниже утверждениях. Утверждение 2. Для любьсх фиясированнсчх вещественных чисел х и а>1 и всевозмоояньсх рациональных чисел а и р, удов- летворяющих неравенствам (4.4), существует и притом единствен- ное вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам (4.5).
Доказательство. Докажем сначала существование такого числа у. Фиксируем произвольное рациональное число б, удовлет- воряющее правому неравенству (4.4), и рассмотрим всевозможные рациональные числа а, удовлетворяющие левому неравенству (4.4). Так как а<р и показательная функция, определенная на множестве рациональных чисел, возрастает, то а"<а". Таким об- разом, множество (а") ограничено сверху, и число а' является одной из верхних граней этого множества. Из основной теоремы 2.1 следует, что множество (а") имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через у. Покажем, что у удовлетво- ряет неравенствам (4.5). Из определения верхней грани вытекает справедливость левого неравенства (4.5), а справедливость пра- вого неравенства (4.5) вытекает из того, что а' — одна из верх- них граней, а у — точная верхняя грань множества (а").
Докажем теперь, что такое число у только одно. Достаточно доказать, что для любого е>0 найдутся такие рациональные числа а и р, удовлетворяющие неравенствам (4.4), для которых а' — а"<е. Тогда любые два числа у~ и уь удовлетворяющие нера- венствам (4.5), обязаны совпасть, так как разность между ними по модулю меньше любого наперед заданного числа е>0. Фиксируем произвольное положительное число е н некоторое рациональное число ро, удовлетворяющее правому неравенству (4.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
