В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Требуется доказать, что это дополнение содержит и некоторую 6-окрестность точки х. Если бы это было не так, то любая 6-окрестность точки х. содержала бы точки множества (х), т. е. точка х являлась бы предельной точкой множества (х) и по условию ему принадлежала, а это противоречило бы тому, что х — точка дополнение множества (х). 2. О покрытиях множества системой открытыхс множеств. 3 7. Поиитие компактности множества Определение). Будем говорить, что система (Х„) открытых множеств В образует покрытие множества (х), если любая точка х множества (х) принадлежит хотя бы одному из множеств системы (Х„).
Докажем две замечательные леммы о покрытиях множества системой открытых множеств. Лемма Гейне — Бор ела для сегмента. Из любой системы (Х„) открытых множеств Х„, образующей покрытие сегмента (а, Ь), можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие этого сегмента. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть бесконечная система (Хи) открытых множеств Х образует покрытие сегмента [а, Ь~1а. Допустим, что сегмент 1=(а, Ь) нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы (Е ). Тогда, разделив этот сегмент 1 пополам, мы получим, что хотя бы одну из половин сегмента 1 нельзя покрыть конечным набором открытых множеств из системы (Х ).
Обозначим эту половину. через 1ь Поделив 11 пополам, мы получим, гто хотя бы одну из половин 1~ (обозначим ее через 1т) нельзя покрыть конечным набором множеств из системы (Х„). Продолжая далее эти рассуждения, мы получим систему вложенных сегментов (1а), каждый из которых нельзя покрыть конечным набором множеств из системы (Х ). Длина и-го сегмента 1, составляет )12» часть длины основного сегмента 1=(а, Ь) и стремится к нулю при п- оо. В силу следствия из теоремы3.15 (см. п. 2 $2 гл. 3) существует единственная точка с, принадлежащая всем сегмен. там (1а).
Так как эта точка с принадлежит основному сегменту 1=(а, Ь), то в системе (Х ) найдется открытое множество Х„, которому принадлежит точка с. В силу того, что множество Х„ является открытым, найдется Ь>0 такое, что б-окрестность точки с, т. е. интервал (с — б, с+б) также принадлежит множеству Х„. В силу того, что все сегменты 1„содержат точку с и длины этих интервалов стремятся к нулю при и- оо, можно утверждать, что найдется номер по такой, что при и:ипз все сегменты 1, содержатся в интервале (с — б, с+Ь).
Но это означает, что все сегменты 1, при пъпо могут быть покрыты одним множеством Х„системы (Х„). Тем самым мы получили противоречие с утверждением о том, что ни один сегмент 1„нельзя покрыть конечным набором множеств из системы (Х ). Полученное противоречие завершает доказательство лемМы. Докажем теперь более общее утверждение. " Если бы система (Еа), образующая покрытие сегмента (а, Ь), не являлась бесконечной, то лемма была бы доказана. Гл. 4. Непрерывность функции 186 Лемма Гейне — Бореля для замкнутого огр аничен ного множеств а. Из любой системы (Х„) открытых множеств Х«, образующей покрытие замкнутого ограниченного множества (х), можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие множества (х).
Доказательство. Пусть (х) — замкнутое ограниченное множество, (Х„) — система открытых множеств, образующая покрытие множества (х). Так как множество (х) ограничено, то найдется сегмент (а, Ь), содержащий это множество. Обозначим через Б, открытое множество, являющееся дополнением к замкнутому множеству (х) и заметим, что объединение системы (Х„) с открытым множеством Х, образует покрытие сегмента (а, Ь). В силу леммы Гейне — Бореля для сегмента из этого покрытия можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие ссгмента (а, Ь). Если множество Ха входит в эту конечную подсистему, то, удалив его из нее, мы получим конечную подсистему системы (Х ), образующую покрытие множества (х)а.
Если же множество Еа не входит в конечную подсистему, образующую покрытие сегмента [а, Ь), то эта конечная подсистема состоит исключительно из множеств Х системы (Х,) и образует покрытие множества (х), содержащегося в сегменте (а, Ь). Лемма доказана. 3. Понятие компактности множества. Пусть (х) — произвольное множество вещественных чисел. Определение 1. Множество (х) называется ком па к тним множеством (или ком пактом), если из любой системы (Х„) открытых множеств, образующей покрытие множества (х) можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие множества (х). В замечании 4 в конце п. 3 $ 6 было дано другое определение компактного множества. Напомним его формулировку.
Определение 1». Множество (х) называется компакт~ным, если оно является замкнутым и ограниченным*". Докажем, что для произвольных числовых множеств определения 1 и 1* эквивалентны. 1) Пусть сначала множество (х) является замкнутым и ограниченным. Тогда тот факт, что из любой системы открытых множеств (Х„), образующей покрытие (х), можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие (х), сразу вытекает из леммы Гейне — Бореля (см. п. 2).
' Мы учитываем, что множество ьа, являясь дополнением к множеству «л), не содержит ни одной точки множества «л). "' Относительно термина «компактность» см. п. 2 $3 гл. !2,'- 5 7. Понятие компактности множества 187 2) Пусть множество (х) таково, что из любой системы открытых множеств (Х ), образующей покрытие (х), можно выделить конечную подсистему, также образующую покрытие (х). Докажем, что множество (х) является замкнутым н ограниченным. Сначала докажем замкнутость множества (х). Достаточно доказать, что дополнение Р множества (х) является открытым множеством.
Фиксируем произвольную точку у дополнения Р. Требуется доказать, что существует некоторая 6-окрестность точки у, также принадлежащая дополнению Р. Пусть х — любая точка множества (х). Так как х~у, то число 6 (х) = 1х — у1 является положительным, причем 2 6(х) — окрестности точек х и у Х,= (х — 6(х), х+6(х)), Ч";= (у — 6(х), у+6(х)) не пересекаются. Поскольку система открытых множеств (Х,), отвечающих всевозможным точкам х множества (х) образует покрытие множества (х), то из этой системы можно выделить конечную подсистему Х,, Х,...,Х;„, также образующую покрытие множества (х). Обозначим через Ч'„„Ч' „...,Ч'„соответствующую конечную подсистему 6-окрестностей точки у.
Н а им е ныл а я из этих 6-окрестностей будет содержаться во всех множествах Ч'„,, Ч',„...,Ч',„и потому не будет иметь общих точек ни с одним из множеств Хам Х„„...,Х„„. Но тогда, поскольку подсистема Х,о Х~,..., Х, образует покрытие множества (х), указанная наименьшая 6-окрестность точки у не будет содержать точек множества (х), т. е. будет целиком принадлежать дополнению Р множества (х). Тем самым доказано, что множество Р является открытым и потому множество (х) является замкнутым. Докажем теперь, что множество (х) является ограниченным, Если бы это было не так, то нашлась бы последовательность (х„) не совпадающих друг с другом точек множества (х), удовлетворяющая условию 1х„)>и (в=1, 2, ...).
Так как эта последовательность не имеет конечных предельных точек, то каждая точка х„ имеет 6-окрестность Х,„, свободную от других точек последовательности (х ). Очевидно, что из бесконечной системы открытых множеств (Х, ), образующих покрытие множества точек (т„), нельзя Гл.
4. Непрерывность функции выбрать конечной подсистемы, образующей покрытие всех точек (хл). Так как множество (х„) является подмножеством (х), то тем более нельзя из всякой системы открытых множеств, образующих покрытие (х), выделить конечную подсистему, такж~ образующую покрытие (х). Но это противоречит нашему предположению о множестве (х). Т)олученное противоречие доказывает ограниченность множества (х). Заметим в заключение, что все введенные в этом параграфе понятия в более общей ситуации изучаются в дополнении 2 к гл. 12. Глава б ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В настоящей главе будут введены фундаментальные понятия производной и дифференциала функции. Мы установим основные правила дифференцирования и вычислим производные всех простейших элементарных функций, уже приведенные нами 'в гл.
1 н известные из школьного курса. В конце главы будут рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков и вопрос о дифференцировании функции, заданной параметрически. б Ь ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1. Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности. Рассмотрим функцию у=)(х), заданную на интервале (а, Ь)е. Пусть х — любая фиксированная точка интервала (а, Ь), а Лх — произвольное число, настолько малое, что значение х+Лх также находится на интервале (а, Ь). Это число Лх обычно называют приращением аргумента. П р и р а и( е н и ем ф у н к ц и и у=)(х) в точке х, отве«ающизе приращению аргумента Лх, будем называть число Лу = ) (х+ Лх) — ((х) . (5.1) Так, для функции у=з(пх приращение в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, имеет внд Лу=яп(х+ Лх) — з(пх=2соз (х + — ) з(п —.
(5 2) Дх ~ . Дх 2 ) 2 Справедливо следующее у т в е р ж д е и и е: Для того чтобы функция у=)"(х) являлась непрерывной в точке х, необходимо и достаточно, чтобы приращение Лу этой функции в точке х, отвечающее приращению аргумента Лх, являлось бесконечно мальгм при Лх- О. В самом деле, по определению функция у=)(х) непрерывна в точке х, если существует предел 1нп ~(х+ Лх) =((х). (5 3) ал- о В силу п. 4 $ 4 гл. 3 существование предельного значения (5.3) ь В качестве множества задания функции вместо интервала (а, Ь) можно взять любое плотное в себе множество (л) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
