В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Рассмотрим множество (х) всех вещественных чисел х таких, что правее* каждого из этих чисел либо вовсе пет элементов последовательности (х„), либо таких элементов лишь конечное число. Иными словами, вещественное число х принадлежит множеству (х), если правее х лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х ), и не принадлежит множеству (х), если правее этого числа х лежит бесконечно много элементов последовательности (х„). Заметим, что множество (х) заведомо не является пустым: ему принадлежит любое вещественное число х, удовлетворяющеенеравенству х~М (ибо правее такого х нет элементов последовательности (х„) ).

Кроме того, очевидно, что множество (х) ограничено снизу и в качестве его нижней грани может быть взято любое число, меньшее тп (правее такого числа лежат все элементы последовательности (х„), а нх бесконечно много). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества (х) сушествует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом х. Докажем, что это число х=1п((х) и является верхним пределом последовательности (х ). Достаточно доказать два утверждения: 1'. Число х является предельной точкой последовательности (х„) (т.

е. в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности (х )). 2'. Нн одно число х, большее х, уже не является предельной точкой последовательности (х„) (это и будет означать, что х является наибольшей предельной точкой, т. е. верхним пределом (х,)). Для доказательства утверждения 1' фиксируем произвольное положительное число е. По определению нижней грани любое число, меньшее х (и, в частности, число х — е), ве принадлежит введенному нами множеству (х), Значит, правее х — е лежит бесконечно много элементов последовательности (х ).

* Напомним, что термин «у лежит правее х» означает, что числа х и у связаяы неравенством у)х. $3. Произвольные последовательности 97 Далее, из того, что число х является точной нижней гранью (х), и из неравенства х<х+в вытекает, что найдется хотя бы один элемент х' множества (х), удовлетворяющий неравенствам х~х'< <х+в, т. е.

лежащий левее х+е (рнс, 3.2). В силу определения множества (х) правее этого числа х' лежит не более чем конечное числа элементов последовательности (х ). На рис. 3.2 условно указано, что правее числа х — з лежит бесконечно много элементов последовательности (х„), а правее числа х' лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности.

Бвсллллелле еослл ллелтееаФ лллеелле елслл делателей л'-е х х е=х-г Х хее Е Е Е и Рис. 3.3 Рис. ЗД Так как правее х — е лежит бесконечно много, а правее х'— лишь конечное число элементов последовательности (х„), то мы приходим к выводу, что на полусегменте (х — з, х') (а значит, н на интервале (х — и, х+е)) лежит бесконечно много элементов последовательности (х ). Итак, мы доказали, что для любого е>0 в з-окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности (х,). Это и означает, что х является предельной точкой последовательности (х ). Утверждение 1' доказано. Подчеркнем, что попутно мы доказали, что для любого в>0 правее числа х+в лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„).

Это последнее утверждение используем для доказательства утверждения 2' о том, что х является наибольшей предельной точкой. Пусть х — любое число, большее х. Обозначим через е голожитсльное число е= (х — х)/2. При таком выборе е интервалы (х — в, х+е) и (х — е, х+в), т, е, в-окрестности точек х и х, не будут иметь общих точек, а точнее, вся в-окрестность точки х будет лежать правее числа х+в, т. е. правой границы и-окрестности точки х (рис.

3.3). Выше мы установили, что для любого з>0 правее х+е лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Значит, в рассматриваемой нами в-окрестности точки х лежит ие более чем конечное число элементов последовательности (х ), а это и означает, что х не является предельной точкой последовательности (х„).

Утверждение 2' доказано. 4 зак. Ул 98 Гл. 3. Теория пределов Мы доказали существование у ограниченной последовательности (х„) верхнего предела (т. е. наибольшей предельной точки). Совершенно аналогично доказывается, что у такой последовательности существует нижний предел, являющийся точной верхней гранью того множества вещественных чисел (х), левее каждого из которых лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„).

Теорема 3.16 доказана. С лед с та не 1 из теоремы 3.16. Если (х„) — ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, и — любое положительное число, то на интервале (х — в, х+в) лежат все элементы этой последовательности; начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, ог в). Достаточно доказать, что для любого е>0 вне интервала (х — е, х+е) лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Тем более достаточно доказать, что правее е е х+ — и левее х — — лежит не более чем конечное число элемен- 2 — 2 тов последовательности (х„). Тот факт, что для любого в>0 правее ге х+ — лежит не более чем конечное число элементов (х ), уже 2 установлен в процессе доказательства теоремы 3.16.

Совершенно е аналогично доказывается, что для любого в>0 левее х — — лежит — 2 не более чем конечное число элементов последовательности (х ), След с т в не 2 из теорем ы 316. Луста (х„) — ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, (а, Ь) — интервал, вне которого лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Тогда интервал (х, х) содержится в интервале (а, Ь) и, в частности, х — х«Ь — а. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать два неравенства х«Ь и а«х. Первое из этих неравенств вытекает из того, что точка Ь, правее которой лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„), принадлежит множеству (х), рассмотренному при доказательстве теоремы 3.16, а х является точной нижней гранью этого множества.

Второе неравенство а«х устанавливается аналогично. Следствие 3 из теоремы 3.16 (теорема Больцан о — В е й е р ш т р а се а *). Из всякой ограниченной' последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательносгь. Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 3.16 и определения 2 предельной точки. Теорема 3.16 проливает свет на то, как устроено множество всех предельных точек любой ограниченной последовательности. ' Бернгард Болнцано — чешский философ и математик (178! — 1848), Карл Бейерш грасс — немецкий математик (18!5 — 1897).

$3. Произвольные последовательности Если, как и выше, обозначить через х и х нижний и верхний пределы этой последовательности, то можно утверждать, что все ее предельные точки лежат на сегменте (х, х), причем если указанная последовательность не является сходящейся, то она имеет по крайней мере две предельные точки х и х. Рассмотренная нами 1 1 1 1 1 выше последовательность —,1 — —, —, 1 — —, ..., —,1— 2 2 ' 3 3 и — — представляет собой пример последовательности, имею- 1 и щей только две предельные точки х=О и х=1. Другая рассмотренная выше последовательность (х ), содержащая все рациональные числа из сегмента (О, 1), представляет собой пример последовательности, предельные точки которой покрывают весь сегмент 1х, х), у которого х=О, х= 1.

Легко построить пример последовательности, предельными точками которой служат; 1) наперед заданное конечное множество точек аь аз,..., ал; 2) наперед взятая бесконечная последовательность точек а,, аа,..., а„,... * (во втором случае каждая предельная точка последовательности предельных точек (а„) будет являться предельной точкой исходной последовательности (х )). 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. Аналогом теоремы Вольцано — Вейерштрасса для неогранвченной последовательности является следующее утверждение. Л е м м а 2.

Оз всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательносгь (и, в частности, бесконечно большую подпоследовательносгь, все элементы которой имеют определенный знак). Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что если у неограниченной последовательности отбросить любое конечное число первых ее элементов, то после такого отбрасывания получится снова неограниченная последовательность "'*. Пусть (х„) — произвольная неограниченная последовательность.

Тогда найдется элемент ха, этой последовательности, удовлетворяющий неравенству !ха,~ ) 1, Учитывая, что последовательность (х„), рассматриваемая с номера й~+1, также является неограниченной, мы получим, что найдется элемент этой последовательности ха„ удовлетворяющий неравенству ~хи ~ ) 2 при яа>йь Продолжая эти рассуждения далее, мы получим, что для любого номера и найдется элемент ха„, удовлетворяюший неравенству 1ха ~ ) п при й„>й„ь * Таковой является последовательность а„ах, о„о,, о„аа, .... " Ибо предположение о том, что это не так, приводит к противоречию с требованием неограниченности исходной последовательности. Гл.

Характеристики

Список файлов книги