В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Гл. 3. Теория пределов щественное число а называется пределом последовательности (х„) *. Если последовательность (х„) является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывают так: 1пп х„= а или х„-т-а при п-~-оо. Используя определение бесконечно малой последовательности, мы приходим к другому определению сходящейся последовательности, эквивалентному определению 1. Определение 2. Последовательность (х„) назьсвается сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа е найдется номер У такой*е, что при всех п~М элементы х.

этой последовательности удовлетворяют неравенству ~х — а) (е. (3.15) При этом число а называется пределом последовательности (х„). Неравенство (3.15) можно записать в эквивалентной форме — е(х„— а(+з нлн, что то же самое, а — е(х,(а+е. (3.15') На геометрическом языке неравенства (3.15') означают, что элементы х„при п~й1 лежат в интервале (а — з, а+з), который мы договорились называть е-окрестностью точки а. Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящейся последовательности, эквивалентное определениям 1 и 2.

Определение 3. Последовательность (х ) называется сход я щ е й с я, если существует такое число а, что в любой с-окрестности точки а находятся все элементы последовательности (хн), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от е). Установим специальное представление для элементов любой сходящейся последовательности (х„). В силу определения 1 разность х„— а=а„является элементом бесконечно малой последовательности. Следовательно, элемент х, сходящейся последователь'ности, имеющей своим пределом вещественное число а, может быть представлен в следующем специальном виде: х„=а+а„ (3.16)' где а„— элемент некоторой бесконечно малой последовательности (а ). * В соответствии с этим опраделением всякая бесконечно малая последовательность является скодягдейся я имеет своим пределом число о=п.

'* Так кек этот номер Н, вообгде говоря, ээвнсит от е, то иногда пиштгг дг=у(е). $ 1. Последовательность и ее предел Замечание 1. Из определения сходящейся последовательности и ее предела сразу же вьгтекает, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину ее предела.

Замечание 2. Последовательности, не являющиеся сходящимися, принято называть ра сходя щ им и с я. Замечание 3. Иногда формально договариваются трактовать бесконечно большие последовательности как последовательности, сходящиеся к пределу оо. Такая формализация позволяет использовать для бесконечно большой последовательности (х„) следующую символику 1пп х„= оо. аиФ Если при этом элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный (отрицательный) знак, то используют следующую символику'.

1пп х„= + оо (1 пи х„= — сои. а-а а а РФ В качестве примера докажем, что последовательность (х„) с влементами О,аа., 9 "Р сходится к пределу а=1/3. Фиксируем произнольное положительное число е и докажем возможность выбора по этому г такого но- 1 мера /т', что ~х„— — ~ е при всех и» й/. Так как число 1/3 представимо бесконечной десятичной дробью 0,333..., то из правила упорядочения вещественных чисел вытекают следующие нера. венства: 0,33 ...

3 ~< — ч~ 0,33 ... 3 +— — з а раа а раа справедливые для любого номера и. а ° р .„,ю...,г,а „...„-ааа ..: а следующее соотношение: ~х„— — ! ׄ— ! ! Так как — ь, — для всех пъУ, то для нахождения по дан- 10" 10 1 ному в>0 номера 1т' такого, что ~х„— — ~(.е при всех п»М, 1 достаточно выбрать этот номер У из условия — ( е.

1он " Иными словами, 1нпх„=+ос(= — сс), если для любого А>0 найдетсн а аа отвечаюпгнй атому А номер У такой, что х„)А(х„~ — А) длн всех х)тт'. 78 Гл. 3. Теория пределов Напомним, что в п. 2 мы установили возможность выбора номера М из условия 1д)н<е для любого ~о~ <1. Там доказано, что такой номер 1т' можно взять равным В нашем случае ~д) =-О, 1, так что Перейдем к установлению свойств произвольных сходящихся последовательностей. Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и Ь являются пределами сходящейся последовательности (хв). Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последовательности (3.16) мы получим, что х„=а+а„и х =Ь+рв, где (а ) и (р ) — некоторые бесконечно малые последовательности. Из последних двух равенств получим, что а — 6 =Ь вЂ” а. В силу теоремы 3.2 последовательность (а — р ) является бесконечно малой, а в силу равенства аь — р„=Ь вЂ” а все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же ве1цественному числу Ь вЂ” а.

На основании теоремы 3.5 это число Ь вЂ” а равно нулю, т. е. Ь=а. Теорема доказана. Т е о р е м а 3.8. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (х„) — сходящаяся последовательность и а — ее предел. Фиксируем некоторое положительное число и и по нему номер 1ч' такой, что ~х„— а~ <епрнп~йили,что то же самое, а — е<х„<а+е при п)Ф. Обозначим через А наибольшее из следующих (ЬГ+1) чисел: )а — е), 1а+е), ~х,), (х,~, ..., !хн-1 ~. Тогда, очевидно, 1х„~ ~А для всех номеров п, а это и доказывает ограниченность последовательности (х ). Теорема доказана. Замечание 4.

Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, последовательность О, 1, О, 1, ..., О, 1, ... является ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим и-й член этой последовательности символом хв н предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу а.

Но тогда каждая из последовательностей (хвы — а) и (х„— а) являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей (х +,— хв), а этого быть не может в силу того, что ~х.+1 — х„~ = =1 для всех номеров и. $1. Последовательность н ее предел Следующие четыре теоремы показывают, что четыре арифме- тические операции над элементами сходящихся последовательно- стей приводят к аналогичным операциям над их пределами.

Т е о р е м а 3.9. Сумма сходящихся последовательностей (х4 и (у„) представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей (х„) и (у4. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательности (х4 и (у„) сходятся к пределам а и Ь соответственно. Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последователь- ности (3.16) будут справедливы соотношения х„=а+а, у =Ь+()„, (3,17) в которых аа и р представляют собой элементы некоторых беско- нечно малых последовательностей (а4 и (р4. Из соотношений (3.17) вытекает, что (х„+ у„) — (а+ Ь) = а, + (1 .

(3.18) Так как сумма (а,+р4 двух бесконечно малых последовательно- стей (а4 и (р4 представляет собой бесконечно малую последова- тельность (теорема 3.1), то из соотношения (3.18) вытекает в силу определения 1, что последовательность (х,+у4 сходится н веще- ственное число а+Ь является ее пределом. Теорема доказана. Т е о р е м а 3.10. Разность сходящихся последовательностей (х4 и (у4 представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей (х4 и (у„). Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.9, только вместо соотношения (3.18) мы получим соот. ношение (х„— у4 — (а — Ь) =а — р .

Теорем а 3.11. Произведение сходящихся последовательно- стей (х ) и (у,) представляет собой сходящуюся последователь- ность, предел которой равен произведению пределов последовательностей (х4 и (у4 Доказательство. Предположим, что последовательности (х4 и (у4 сходятся к пределам а и Ь соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы специальные пРедставления (3.17), перемножая которые, мы получим х, у„=а Ь+а р„+Ь.аа+а .р„ нлн, что то же самое, х„у„— а Ь=а(1„+Ьа„+ао.(1 . (3.19) Для доказательства теоремы в силу определения 1 остается убедиться н том, что в правой части (3.!9) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу же вытекает из теоремы Гл. 3.

Теория пределов 1у„— Ь~ < —, !Ь1 (3.20) Итак, для всех номеров и, начиная с номера Ф, выполняется неравенство (3.20). Убедимся в том, что из неравенства (3.20) вытекает следующее неравенство: 2 1ь1 (3.21) которое тем самым оказывается. справедливым также для всех номеров и, начиная с номера )ч'. В самом деле, так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел, то, исходя из тождества Ь= — (Ь вЂ” у )+у и используя неравенство (3.20), мы получим 1 Ь 1 < 1 Ь у ! + ! у ! ( ! + ( у ! Из последнего неравенства сразу же вытекает неравенство (3.21), справедливость которого, начиная с номера У, установлена.

Неравенство (3.21) позволяет утверждать, что при п~)ч' элементы у, не обращаются в нуль и, начиная с номера Л!, можно г 1 рассматривать частное ~ — 1. Уп ! Из (3.21), в свою очередь, вытекает, что для всех п)У справедливо неравенство 3.3 (согласно этой теореме последовательности (а 0„) и (Ь ав) являются бесконечно малыми), из следствия из теорем 3.3 н 3.4 (согласно этому следствию последовательность (а,.й„) является бесконечно малой) и из теоремы 3.1 (согласно этой теореме сумма трех бесконечно малых последовательностей (а р„), (Ь а ) н (а,.й„) является бесконечно малой последовательностью).

Теорема доказана. Теореме о частном двух сходящихся последовательностей пред- пошлем следующую лемму. Л емма 1. Если последовательность (у ) сходится к отличному от нуля пределу Ь, то, начиная с некоторого номера, определено частное ~ — ~ последовательностей (1) и (у„), которое пред! ! У» ставляет собой ограниченную последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что Ь~=О, обозначим через е !Ь| положительное число е = —, Для этого е найдется номер 1ч' 2 такой, что при п>Л' справедливо, неравенство ~у — Ь~ <е или, что то же самое, ф 1. Последовательность н ее предел хл а хл Ь вЂ” ула ь у.ь (3.22)~ Так как для элементов х„и у„справедливы специальные представления (3.17), то х„Ь вЂ” у„а= (а+а„) .Ь вЂ” (Ь+ р„) .а =алЬ вЂ” ()л.а.

(3 23) Подставляя (3.23) в (3.22), получим хла11а — — = — ~" — ') (3.24) Ул Ь Ул Ь Остается доказать, что в правой части (3.24) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из теоремы 3.3 и из того, что последовательность ( — ~ (в силу 11 Ул леммы 1) является ограниченной, а последовательность ( — т ° а ал — — ()„~ (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью.

Теорема доказана. Убедимся теперь в том, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, приводят к аналогичным неравенствам для пределов этих последовательностей. Т е о р е м а 3.13. Если все элементы сходящейся последовательности (х„), по крайней мере начиная с некоторого нонера, удовлетворяют неравенству х„лЬ[х ~Ь), то и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству х~Ь (хк:Ь). Это последнее неравенство и доказывает, что последователь- 1'1 ность 1 — 1, если ее рассматривать, начиная с номера Л', явля- 1 Ул1 ется ограниченной.

Лемма доказана. Т е о р е м а 3.12. Частное двух сходящихся последовательностей (х ) и (у ), предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пред* лов последовательностей (х ) и (у„). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательности (х„) и (у„) сходятся к пределам а и Ь~О соответственно. В силу леммы 1 найдется номер л1 такой, что при пъМ элементы у„не 1 1 обращаются в' нуль, определена последовательность к — 1 и эта Ул! последовательность является ограниченной.

Характеристики

Список файлов книги