В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Начиная с указанного номера Ф,мы и будем рассматривать частное 1 — л 1. В силу опреУл деления 1 достаточно доказать, что последовательность. ( хл а — — — является бесконечно малой. Будем исходить из тожу, ь дества Гл. 3. Теория пределов Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что все элементы х„по крайней мере начиная с некоторого номера Л/*, удовлетворяют неравенству хл» Ь.

Докажем, что и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству х» Ь. Допустим, что это не так, т. е. справедливо неравенство х<Ь. Тогда по определению сходящейся последовательности для положительного числа в=Ь вЂ” х найдется такой номер Ф (этот номер мы возьмем еще и таким, чтобы он превосходил Ул), что при и» 1е' будет справедливо неравенство 1х — х! <е или 1х„— х) <Ь вЂ” х. Последнее неравенство эквивалентно неравенствам — (Ь вЂ” х) < <х„— х<Ь вЂ” х, правое из которых означает, что х <Ь при всех и» Л1, а это противоречит условию теоремы.

Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что х(Ь, неверно, т. е. х»Ь. Случай х„<Ь рассматривается аналогично. Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 5. Если всг элементы сходящейся последовательности (х,) удовлетворяют строгому неравенству х >Ь, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что и предел х этой последовательности удовлетворяет строгому неравенству х>Ь. (Можно лишь утверждать, что х»Ь.) 1 Например, если х„= —, то для всех номеров х„>0, однако и 1 шредел 1пп — =- х = 0 не удовлетворяет неравенству х>0.

л С ледств не 1. Если всг элементьь двух сходящихся последовательностей (х„) и (у„), по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам х <у„, то и пргдглье этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству 1пп х„<11ш ул. (3.25) л Р лаа В самом деле, начиная с указанного номера, все элементы последовательности (у — х„) неотрицательны. В силу теоремы 3.13 и предел указанной последовательности !1ш (у„ — х„) неотрицател Ф лен.

В силу теоремы 3.10 !пп (ул — х„) = 11гп у,— 1!т хл и мы пол а л- л а .лучим, что 1пп ул — 1пп х„> О. Из последнего неравенства вытелаа л а кает (3.25). Сл едет в ие 2. Если всг элементы сходящейся последова;тельности (х„) находятся на сегменте (а, Ь), то и предел х этой последовательности лежит на сегменте (а, Ь). В самом деле, так как а~х„<Ь для всех номеров и, то (в силу теоремы 3.13) а~х<Ь.

1лоследнюю теорему, к доказательству которой мы сейчас переходим, можно назвать п р ин цип ом двустороннего о гр а~и и ч е н и я. 5 2. Монотонные носледовательностн Теорем а 3.14. Пусть (х,) и (у„) — две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, всв элементы третьей последовательности (гв), по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам Хн <гв <ув. (3.26) Тогда последовательность (г„) сходится к тому же самому пределу а.

Дока з а тель ство. Предположим, что неравенства (3.2Ц справедливы, начиная с номера У*. Тогда, начиная с того же самого номера тт'*, справедливы и неравенства х — а <г„— а <у„— а. (3.27). Из неравенств (3.27) вытекает, что для каждого номера и, превосходящего Ж", ]г„— а] <щах(]хв — а], ]у — а]). (3.28) (Эта запись означает, что ]г„— а] не превосходит наибольшего иж двух чисел ]х„— а] и ]у„— а].) Фиксируем произвольное положительное число е. Тогда в силу. сходимости последовательностей (х„) и (у,) к пределу а найдутсв номера У, и Уа такие, что ! ]х„— а]< е при п)Жы (3.29) ] у„— а] <, е при и )~ тт'а.

Если мы теперь обозначим через Тт" наибольший из трех номеров )т", Ж, и Жа, то при п)М будут справедливы 'оба неравенства в (3.29) н мы получим в силу (3.28), что при и) Л' справедливо неравенство ]г„— а] <н. Зто и доказывает сходимость последовательности (г ) к пределу а. Теорема доказана. 5 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Понятие монотонной последовательности.

Определение 1. Последовательность (х„) называется н е у б ы— вающей (невозрастающей], если каждый элемент этой. последовательности, начиная со второго, не меньше 1не больше] предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров п (п=1,2, ...) справедливо неравенство Хе<Хаю (Хв)~го+1]. (3,3О),. О п р е д е л е н и е 2. Последовательность (х„) называется лтонотонной, если она является либо неубывающей, либо невоэрастающей.

Гл. 3. Теория пределов Если элементы неубывающей последовательности для всех номеров и удовлетворяют строгому неравенству х„<х„+ь то эту последовательность называют в о з р а с т а ю щ е й. Аналогично, если элементы невозрастающей последовательности для всех номеров и удовлетворяют строгому неравенству х >х +ь то эту последовательность называют у б ы в а ю ще й. Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (лнбо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента).

Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда опа ограничена сверху, а невозрастающая последовательность будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Рассмотрим примеры монотонных последовательностей. 1. Последовательность 1, 1, 2, 2, ...

является неубывающей. Она ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не ограничена. 2 3 4 и+! 2. Последовательность —, —, —, ..., —, ... является 1 2 3 убывающей. Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а снизу, например, числом 1. 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Справедливо следующее фундаментальное утверждение.

Основная теорем а 3.15, Если неубывающая (невозрастающая) последовательность (х„) ограничена сверху (снизу), то она сходится. Д о к а з а т е л ь с т во. Рассмотрим случай неубывающей и ограниченной сверху последовательности (х„). Множество всех элементов такой последовательности ограничено сверху, а потому по основной теореме2.1 гл.2 у этого множества существуетточная верхняя грань, которую мы обозначим символом х, Докажем, что это число х и является пределом последовательности (х„). Во-первых, заметим, что по определению верхней грани любой элемент х» последовательности (х,) удовлетворяет неравенству (3.31) х ~х.

Далее фиксируем произвольное положительное число е и заметим, что по определению точной верхней грани найдется хотя бы один элемент последовательности хн, удовлетворяющий неравенству (3.32) х — е <хи. 83 $ 2. Моиотоииые последоиательиости Учтем теперь, что последовательность (х„) является неубывающей и вследствие этого хи <я„для всех номеров и, удовлетворяющих неравенству и: Ф.

Сопоставляя неравенство хнах„с неравенством (3.32), мы получим, что для всех и'ъИ (3.33) х — е<х„. Объединяя неравенства (3.31) и (3.33), мы получим, что для всех и) Й справедливы неравенства х — е<х ~х. Следовательно, для всех п~й! справедливо неравенство ~ х„ — х~ <е, которое и доказывает, что последовательность (х ) сходится к пределу х=зпр(х„). Если последовательность (х ) является невозрастающей и ограничена снизу, то совершенно аналогично доказывается, что она сходится к пределу х=1п1(х ). Теорема доказана. 3 а м е ч а и н е 1.

Теорему 3.15 можно сформулировать в другом виде. Во-первых, заметим, что в силу сказанного в и. 1 последовательность (х„), удовлетворяющая условию теоремы 3.15, является ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной. Поэтому теорему 3.!5 можно переформулировать так: для того чтобы монотонная последовательность (х„) сходилась, достаточно, чтобы она была ограничена. Легко убедиться в том, что эта формулировка может быть заменена более «сильнойы для того чтобы монотонная последовательность (х ) сходилась, необходимо и достаточно, мтобы она была ограничена (необходимость вытекает из теоремы 3.8). 3 а м е ч а н и е 2. Конечно, не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

Например, заведомо сходящаяся 1 1 1 1 1 1 к нулю последовательность — — — , — , — — , ..., — , — — , ... 2 2 3 3 и ' и не является монотонной, так как знаки ее элементов чередуются. 3 ам еч а ние 3. Из приведенного выше доказательства теоремы 3.15 вытекает, что все элементы неубывающей, ограниченной сверху последовательности (х„) не больше ее предела х (х„~х). Аналогично легко убедиться в том, что все элементы невозрасгающей, ограниченной снизу последовательности не меньше ее предела х.

Характеристики

Список файлов книги