В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если отображение ): Х- У биективно, то, как мы отмечали в и. 3, множества Х и У называются эквивалентнымн (или равномощными). В случае биекции 7:Х-+У можно определить обратное отображение 7 ': У-т.Х по правилу: если при отображении 7 элементу х~Х соответствует элемент уеиУ, то 7-'(у) полагается равным элементу х. Для любого уенУ в силу сюръективности отображения 7 элемент )-'(у) всегда существует, а ввиду инъективности отображения 7' этот элемент )-'(у) единственен. Глава 3 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в курсе анализа в различных формах.
В настоящей главе изучаются простейшие формы операции предельного перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, короче, предела) функции. В конце главы дается общее определение предела функции по базе.
$ Ь ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Понятие числовой последовательности известно из курса средней школы. Примерами числовых последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элементов арифметической или геометрической прогрессии; 2) последовательность периметров правильных п-угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность рациональных чисел х1=0,3, хе=0,33, ха=0,333, ..., приближающих число 1/3. Если каждому значению и из натурального ряда чисел 1, 2, ... ..., и, ...
ставится в соответствие по определенному закону некоторое веи(ественное число х„, то множество занумерованных веи(ественных чисел хь хь - ха (3.1) мы и будем называть числовой по след ова тел ьно сть ю или и роста п о с л е д о в а т е л ь и о с т ь ю, Отдельные числа х„мы будем называть элементами или членами последовательности (3.1).
Для сокращенной записи последовательности (3.1) будем использовать символ (х,). 1'! Так, например, символ 1 — ! обозначает последовательность гР 1, 1/2з, 1/Зз, ..., 1/и', ..., а символ (1+( — 1)") обозначает последовательность О, 2, О, 2, .... ф 1. Последовательность и ее предел Рассмотрим наряду с последовательностью (3.1) еще одну последовательность уьух -,у» (3.2) Назовем последовательность х(+у(, хх+ух, ..., х»+у„...
с у и м о й последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность х! — Уь хх — уь ..., х» — у», ...— разнос ть ю последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность х! у(, хх.уз, ..., х у, - — произведением последовательностей (3.1) и (3.2) и, наконец, последовательность —, —, ...,—, ... — частным последохт хз л» Уз Уз У» вательностей (3.1) и (3.2).
Конечно, прн определении частного последовательностей (3.1) н (3.2) необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (3.2) были отличны от нуля. Заметим, однако, что если у последовательности (у„) обращается в нуль лишь конечное число (х»1 элементов, то частное ~ — ! можно определить с того номера, У» начиная с которого все элементы у отличны от нуля. 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые н бесконечно большие последовательности.
Совокупность всех элементов пронзвдльной последовательности (х ) образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного сверху, снизу нлн с обеих сторон множества, мы приходим к следующим определениям. Определение 1. Последовательность (х ) называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число т) такое, что каждый элемент этой последовательности х, удовлетворяет неравенству х»~М (х >т).
Прн этом число М (чнсло т) называется верхней гранью (ннжней гранью) последовательности (х„), а неравенство х„<М (х„~т) называется у ел о в н е м о г р а н н ч е н н о с т н этой последовательности сверху (сннзу). Отметим, что любая ограниченная сверху последовательность имеет бесконечное множество верхних граней » н что в условии ограниченности последовательности сверху х„ (М в качестве М может браться любая нз верхних граней. Аналогичное замечание относится н к нижним граням ограниченной снизу последовательности.
О яре делен не 2. Последовательность (х ) называется ог раничеыноо й с обеих сто р он (или просто ограни ч е иной), если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют два * В самом деле, если число М вЂ” одна нз верхних граней, то в силу свойства транзитивности знаков )и = и лгобое..ласло М', большее М, является верхней гранью.
70 Гл. 3. Теория пределов веи!ественньсх числа М и т такие, что каждый элемент этой последовательности х удовлетворяет неравенствам т <х„<М. (3.3) При этом числа т и М называются соответственно нижней и верхней гранями последовательности (хь), а неравенства (3.3) называются у с л о в и е м о г р а н и ч е н н о с т и последовательности (хв) . Подчеркнем, что в условии ограниченности (3.3) могут фигурировать любая нижняя и любая верхняя грани последовательности. Определение ограниченности последовательности требует существования хотя бы одной пары вещественных чисел т и М таких, что для любого элемента последовательности х„справедливы неравенства (З.З). Заметим, что условие ограниченности последовательности можно записать не только в форме удовлетворения неравенствам (З.З), но и в другой эквивалентной форме: последовательность (х„) является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число А такое, что каждый элемент последовательности х„ удовлетворяет неравенству !х !<А.
(3.4) В самом деле, если каждый элемент х„удовлетворяет неравенству (3.4), то, положив т= — А, М=+А, мы получим, что х, удовлетворяет неравенствам (3.3). Если, наоборот, каждый элемент х„удовлетворяет неравенствам (3.3), то, обозначив через А наибольшее из двух чисел !т~ и !М~, мы можем утверждать, что х, удовлетворяет неравенству (3.4).
В соответствии с определением 2 ограниченной последовательности и условием ограниченности, взятым в форме (3.4), мы можем определить понятие неограниченной последовательности. Последовательность (х ) называется неог рани чен ной, если для любого положительного вещественного числа А* найдется хотя бьс один элемент последовательности х„, удовлетворяющий неравенству ! хв ~ ) А ° (3.5) С точки зрения этого определения всякая последовательность, которая ограничена только сверху или только снизу, является неограниченной. Так, например, последовательность 1, 2, !, 4, ..., 1, 2п, ограничена только снизу и является неограниченной; какое бы положи- стельное вещественное число А мы ни взяли, найдется элементзтой последовательности с четным номером, удовлетворяющий нера- и у [з.бь е Сколь бы болылиы ыы ни взяли это число.
ф 1. Последовательность и ее предел Последовательность ~ — ~, очевидно, является ограниченной: ( 1 ~ п каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам (3.3) при любых т(0 и М~1. Введем теперь понятия бесконечно большой н бесконечно малой последовательностей. Определен ие 3. Последовательность (х ) называется беско н е ч но бал ь ш ой, если для любого положительного вещественного числа А* найдется номер )т' такой "е, что три всех и> )т' элементы х„этой последовательности удовлетворяют неравенству (3.5).
Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, ибо определение бесконечно большой последовательности требует, чтобы для любого А>0 неравенству (3.5) удовлетворяли все элементы последовательности, начиная с некоторого номера Ф, а определение неограниченной последовательности требует, чтобы для любого А>0 неравенству (3.5) удовлетворял хотя бы один элемент последовательности. Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
Так, например, рассмотренная выше последовательность 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2п, ..., будучи неограниченной, не является бесконечно большой, ибо для любого А> 1 неравенство (3.5) не имеет места для элементов х„со сколь угодно большими нечетными номерами п. Определение 4. Последовательность (а„) *** наэьгвается бес кон е ч н о м а л о й, если для любого положительного вещественного числа е 'еее найдется номер л( такой*"***, что при всех гг~гт' элементы а„этой последовательности удовлетворяют неравенству (а„(<е. (3.6)' Докажем, что последовательность д, г)Я, ..., д", ... является б е сконечно большой при )д)>1 и бесконечно малой нри )у! <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
