В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 46
Текст из файла (страница 46)
учитывая, что у'=соилу, — (соз" у)=леон" — 'у( — з!пу), мы поар лучнм, что у(а+П = Л ! Севе+4 у ~ — З(П у З(П ~ Л (у + — ) ~ + СОЗ у СОЗ ~и ~у + — ) Д = = л! сои+' у соз ~ (и + 1) у + л — 1 = и ! сов+' у з(п ~ (и + 1) ( у + — ) 1. 2 ] 2 / Мы получаем для у("+и формулу вида (5,464), взятую для номера л+1. Тем самым индукцня завершена и формула (5.46) доказана. 6'.
В заключение вычислим п-ю производную так называемой ах+ Ь дробно-линейной функции у= , где а, Ь; с и 4!— ох+а некоторые постоянные. Последовательно дифференцируя зту функцию, будем иметь а(ох+ Н) — с (ах+ Ь) (сх+ а)' уа> = (ас( — Ьс) ( — 2) (сх+ 4() — ес, уа>= (а4( — Ьс) ( — 2) ( — 3) (ах+4!) — 4сл Легко усмотреть и общий закон ! У(м = ( ах + ь ) ( ) = ( 1 — Ь ) ( — 1) -3 и! ( х+ с()-( +и 4 (сх+а / который доказывается по методу индукции. 3.
Формула Лейбница для и-й производной произведения двух функций. В то время как установленное выше правило вычисления 4 6. Провзводвые в двфферендввлы высших порядков 217 первой производной от суммы или разности двух функций (и-еп)'=и'-> и' легко переносится (например, по методу индукции) на случай л-й производной (ис-в)!">=и!">+.о<л>, возникают затруднения при вычислении и-й производной от произведения двух функций и о.
Соответствующее правило носит название формулы Лейбница и имеет следующий вид: (ио)(л> и!л>п ( С>и>л-пп' ! Сеи!л — х>о!д> ! С~и>л — з>пн> .(, + ип>о> (5.47) Легко подметить закон, по которому построена правая часть формулы Лейбница (5.47): она совпадает с формулой разложения бинома (и+о)о, лишь вместо степеней и н о стоят производные соответствующих порядков. Это сходство становится еще более полным, если вместо самих функций и н о писать соответственно и<о> н о<о> (т. е. если рассматривать саму функцию как производную нулевого порядка).
Докажем формулу Лейбница по методу индукции. Прн л=1 эта формула принимает внд (ио)'=и'п+ип', что совпадает с установленным выше (в $ 4) правилом дифференцирования произведения двух функций. Поэтому достаточно, предположив сира. ведливость формулы (5.47) для некоторого номера л, доказать ее справедливость для следующего номера л+1. Итак, пусть для некоторого номера л формула (5.47) верна. Продиффсренцируем эту формулу и объединим слагаемые, стоящие в правой части, так, как это указано ниже: (ио)!"+'> = и!"+пи+ ]Сли!">п'+ Спи!л>п'] + [Сли!" нп>в> + Сли!и пп>я>]+ + ]Спи!л — х>о>в> ! Сли!л — я>п>з>] ! ио>о+и (5 45) (При этом мы воспользовались тем, что 1=С„о.) Легко проверить, что для любого номера л, не превосходящего л, справедлива формула С."+ С'„-' = С„'+,.
(5А9) Для того чтобы убедиться в справедливости формулы (5.49), достаточно заметить, что д л (л — 1) ... (л — л -)- 1) в †! л (л — 1) ...(л — л + 2) ы , С„ (л — 1)! Се (л+ 1) л ... (л — л+ 2) С„+6= л! Из написанных соотношений вытекает, что Се Св > л(л — 1) ...
(л — д+ 1) л(л — 1) ... (л — »+2) л! л+ о (» — !)! 21В Гл. 5. Диффеиенннааьнее исчисление л (п — 1) ... (й — й + 2) (п — й + 1)'+ п (и — 1) ... (л — и + 2) й И л (п — 1) ... (л — й + 2) [(и — й+ Ц + й) И (л+ 1) л(л — 1) ... (л — и -1. 2) Са л+1 ° И Используя формулу (5.49), мы можем следующим образом переписать соотношение (5.48): (нп)1л+и и<л+11п+ Сл+1и1л1п~ + С 1п1л — па1а1+ Сзл+1п1л — а1о1а> 1 1 ио1лэп Тем самым мы убедились в справедливости формулы (5.47)' для номера и+1.
Индукция проведена, и вывод формулы Лейбница (5.47) завершен. Пример. Вычислим п-ю производную функции у=х'е*. Полагая в формуле Лейбница (5.47) и=е", о=ха и учитывая, что и<а1=е" (для любого номера й), о'=2х, о1а1=2, п<а1=п("1=...=0, мы получим, что (х е )1л1 =а'х'+ С е" 2х+Са е" 2=а" (х'+ 2ах+а(п — 1)). Подчеркнем, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемиожаемых функций имеет л иш ь конечное число отличных от нуля производных и не представляет затруднения вычисление всех производных другой из перемножаемых функций.
4. Дифференцйалы высших порядков. Выше для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции мы использовали символы с(х н соответственно оу. В рассуждениях настоящего пункта нам придется использовать для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему дифференциала функции н другие символы. В частности, мы будем обозначать дифференциал аргумента и соответствующий ему дифференциал функции символами бх и бу соответственно. В этих обозначениях инвариантное по форме выражение для первого дифференциала функции у=)(х) будет иметь вид бу= =1'(х) бх.
Рассмотрим выражение для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке х функции у=("(х); с(у=~'(х) с(х. (5.50) Предположим, что величина, стоящая в правой части (5.50), представляет собой функцию аргумента х, дифференцируемую в данной точке х. Для этого достаточно потребовать, чтобы функция у=((х) была два раза дифференцируема в данной точке х, а аргумент либо являлся независимой переменной, либо представ- б б. Производаые и дифференциалы высшнх порядков 2!9 лял собой дважды дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной Х. При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал 6(ду) =6[['(х)дх] от величины (5.50). Определение 1, Значение 6(йу) дифференциала от первого дифференциала (5.50), взятое при Ьх=дх, называется ' вторым 'дифференциалом функции у=Х(х) (в данной точке х) и обозначается символом дзу.
Итак, по определению* д'у=Ь(с(у)]бх> дх (6[Х (х)г(х])[бх. вх Дифференциал д'у любого порядка и вводится по индукции. Предположим, что уже введен дифференциал д" 'у порядка и — 1 и что функция у=Х(х) и раз днфференцнруема в данной точке х, а ее аргумент х либо является независимой переменной, либо представляет собой п раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной Х.
Определение 2. Значение 6(д" 'у) дифференциала от (и — 1)-го дифференциала сХ -'у, взятое при Ьх=дх, называется и-м д и ф фе р е н ц и а л о м функции у=](х) (в данной' точке х) и обозначается символом с(чу. Итак, по определению д"у= 6(д" 'у) >б > и .
При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) случай, когда аргумент х является независимой переменной; 2) случай, когда аргу. мент х представляет собой соответствующее число раз дифференцирусмую функцию некоторой независимой переменной Х. В первом случае, когда х является независимой переменной, мы имеем право считать, что дх н е з а в и с и т о т х и равен одному и тому же приращению аргумента Лх (для всех точек х). При этом мы получим, что 6(г(х) = (дх)'Ьх=0. Последнее соотношение и второе соотношение (5.28) позволяют нам записать следующую цепочку равенств: сХ у = 6 (дй ! бх> их==-(6 [>' (х) дх])! бх> их= =(6[Х'(х)]гХХ+ Х'(х) 6(дх)))бхддх=(6[Х'(Х)]дх)]бх> дх= = (Х>з> (х) ЬиХх) ) б =ах = [>з> (х) (гХх)з.
(5.51) Итак, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для второго дифференциала функции у=1(х) справедливо представление сРу = Рз> (х) (дх) з. (5.52) ' Символ (...1>з,.=х, означает, что а выражении, заключенном в фигурные скобки, следует положите бх=их 220 Гл. З. Дифференниальное исчисление Совершенно аналогично, по индукции легко убедиться в том, что в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для п-го дифференциала л раз дифференцируемой функции д= =1(х) справедливо представление с(лд — ~(п) (х) (Дх) и Таким образом, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, производная порядка и функции д=Г(х) равна отношению и-го дифференциала этой функции с(ад к и-й степени дифференциала аргумента дх. Совсем другой вид имеют представления для второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент х является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной Е Установим выражение для второго дифференциала, считая, что функция д=)(х) два раза дифференцнруема в данной точке х, а ее аргумент х является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной й Повторяя рассуждения из цепочки (5.51), мы на этот раз получим с(ад=5(с(д) 1а,=л,=(6(Г'(х) дх))~е„=н,= =(6 [1'(х)) с(х+ 1' (х) 6(с(х)) ~е, ю,= =(~<а1 (х) бхс(х) ~ал=н + (7' (х) 6(дх))! д.
с . Заметим, что в силу определения второго дифференциала функции д=х 6 (с(х))е, н„ = с(ах. Учитывая это соотношение, мы приходим к следующему представлению: с(ад=Гпо(х) (с(х)а+)'(х)с(ах, (5.53 р Сравнивая полученное представление (5.53) с представлением (5.52), мы убедимся в том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы. й 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
