В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Те о р е м а 7.4. Пусть функция 1(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная 7'(х) положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (гюложительна) справа от точки с, то функция 1(х) имеет в точке с локальньчй максимум (лиьни.иулс). Если же производная )" (х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. $1. Отыскание стапионарных точек Доказательство в точности совпадает с доказатель«1твом теоремы 7.1. Достаточно заметить, что условия теоремы 7.4 и на этот раз обеспечивают применимость к )(х) теоремы 6.4 Лагранжа по сегменту, ограниченному точками с и хо, где хо — любое число из достаточно малой окрестности точки с.

П р н м е р ы. 1) Найти точки экстрелтума функции 1(х) = ~х~. Эта функция дифференцируема всюду на бесконечной прямой, кроме точки х=О, и непрерывна в точке х=О, причем производная !'(х) равна 1 при х)0 и равна — 1 при х<0. Теорема 7.! к этой функции неприменима, а согласно теореме 7.4 она имеет минимум при х=О (рис. 7.4). Рис. 7.5 Рис. 7.4 2) Найти точни экстремума функции у=хт7а. Эта функция не.

прерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема всюду иа этой прямой, за исключением точки х=О. Производная при хФО равна 2 1 у з В предыдущем примере производная имела в точке х=О конечный скачок*, на этот раз производная имеет в точке х=О разрыв 2-го рода («бесконечный скачок»). Из выражения для производной заключаем, что эта производная отрицательна слева от точки х= 0 и положительна справа от этой точки. Значит, теорема 7.4 позволяет утверждать, что рассматриваемая функция имеет минимум в точке х=О (график рассматриваемой функции изображен на рис.

7.5). ' В том смысле, что эта производная хотя и не существовала в точке х=-с, ио имела в этой точке правое и левое предельные вначения, не совпадающие между собой. 'гл. 7. Исслелоаанне графика функции 3) Найти точки экстремума функции х при хчеО, 1+е О при х=О. У=1(х) =- Легко видеть, что функция непрерывна на всей бесконечной пря. мой, В самом деле, единственной «сомнительной» точкой явх ляется точка х=О, ио и в этой точке функция непрерывна, ибо 1)гпи=1ппу=О. х с+В х- о-о Далее, очевидно, что рассматриваемая функция дифференцируема на всей'бесконечной прямой, кроме точки х=О. Всюду, кроме этой точки, производная определяется формулой 1 1 .т 1+е + — е х у 1 (1+ е )' Легко видеть, что предел 1пп 1(х) — 1(0) 1 = 1(гп, не сушех о х х-ю 1+с ствует, так что функция у=)(х) недифференцируема в точке х=б.

Поскольку производная у' положительна и слева„и справа от точки х=О, рассматриваемая функция согласно теореме 7А- не имеет экстремума в точке х=О, а значит, и вообще не имеет экстремумов. (График рассматриваемой функции изображен на рис. 7.6.) Рис. 7.6 Рис. 7.7 7. Общая схема отыскания экстремумов.

Переходим к общей схеме отыскания точек локального экстремума. Предположим, что функция 1'(х) непрерывна на интервале е (а, Ь) и ее производная " Вместо интернала (а, Ь) можно рассматривать бесконечную прямую нлв открытую полупрямую. 27| $2. Выпуклость графика функции 7 (х) существует и непрерывна на этом интервале всюду, кроме кОнечного числа точек. Кроме того, предположим, что производная 7'(х) обращается в (зуль на интервале (а, Ь) не более чем в конечном числе точек. Ийыми словами, мы предполагаем, что на интервале (а, Ь) имеется лишь конечное число точек, в которых производная ~'(х) не существует или обращается в нуль.

Обозначим эти точки символами х|, хь ..., х„(а<х| <ха« ... х„<Ь), В силу сделанных предположений производная 7'(х) сохраняет постоянный знак на каждом из интервалов (а, х|), (х|, ха),..., (х„, Ь), Значит, вопрос о наличии экстремума в каждой из точек х|, хз, ...,х„может быть решен (в утвердительном или отрицательном смысле) при помощи теоремы 7.4. й 2. выпуклость ГРАФикА Функции Предположим, что функции 7(х) днфференцируема в любой точке интервала (а, Ь).

Тогда„как установлено в п. 3 5 1 гл. 5, существует касательная к графику функции у=Цх), проходящая через любую точку М(х, 7(х)) этого графика (а<х<Ь), причем эта касательная не параллельна * оси Оу. Определение. Будем говорить, что график функции у= =7(х) имеет на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже |не выше) любой своей касательной. 3 а м е ч а н и е 1. Термин «график лежит не ниже (или не выше) своей касательной» имеет смысл, ибо касательная не параллельна оси Оу.

Рис. 7.8 Рис. 7.9 На рис. 7.7 изображен график функции, имеющий на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз, а на рис. 7.8 изображен график функции, имеющий выпуклость, направленную вверх. ' Иео угловой козффиниеит ее, равный производной р(х), конечен. 272 Гл. 7. Исследование графмка функции Теорем а 7.5.

Если функция у=1(х) имеет на интерваг)е '(а, Ь) конечную вторую производную и если эта производная нротрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, ~о график функции у=1(х) имеет на интервале (а, Ь) вьгпуклос ь, напрцвленную вниз (вверх). Доказательство.

Ради определенности рассмотрим случай, когда вторая производная 1(з>(х))0 всюду на (а, Ь). Обоэначим через с любую точку интервала (а, Ь) (рис. 7.9). Требустся доказать, что график функции у=1(х) в пределах интервала (а, Ь) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М(с, 1(с)). Запишем уравнение указанной касательной, обозначая ее текущую ординату через У. Поскольку угловой коэффициент указанной касательной равен 1'(с), то ее уравнение имеет вид У вЂ” 1(с) =1'(с) (х — с) (7.5) Разложим функцию 1(х) в окрестности точки с по формуле Тейлора, беря в этой формуле п=). Получим у = 1(х) = 1(с) + (х — с) + (х — с)', (7.6) 1' (с), 1св(с) и 2! где остаточный член взят в форме Лагранжа, й заключено между с и х.

(Поскольку по условию 1(х) имеет вторую производную на интервале (а, Ь), формула (7.6) справедлива для любого х из интервала (а, Ь); см. Я 7 и 8 гл. 6.) Сопоставляя (7.6) и (7.5), будем иметь у — )'= 1"'(с) (х — с)'. (7.7) 2 Поскольку вторая производная по условию )О всюду на (а, Ь), то правая часть (7.7) неотрицательна, т. е. для всех х из (а, Ь) справедливо у — У>0, или у> У. Последнее неравенство доказывает, что график функции у= =)(х) всюду в пределах интервала (а, Ь) лежит не ниже касательной (7.5) . Аналогично доказывается теорема для случая 1ьи(х) ='О. 3 а м е ч а н и е 2.

Если Газ(х) =0 всюду на интервале (а, Ь), то, как легко убедиться, у=1(х) — линейная функция, т. е. график ее есть прямая линия. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным. Теорема 7.6. Пусть вторая производная функции у=)(х) ,непрерывна и положительна (отрицательна) в точке с. Тогда существует такая окрестность *" точки с, в пределах которой график ." Уравнение прямой, проходящей через точку М(п, Ь) и имеющей угловой коэффициент Ь, имеет внд у — Ь=й(х — и) (см. курс аналитической геометрии). ** Напомним, что окрестностью точки с называется интервал, содержащий точку с. й 3.

Точки перегиба функции у=((х) имеет выпуклость, направленную вниз (вверх). Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме об устойчивости знака непрбрывной функции найдется такая окрестность точки с, в пределам которой вторая производная (а>(х) положительна (отрицательна). По предыдущей теореме график функции у=)(х) имеет в пределах этой окрестности выпуклость, направленную вниз (вве х). 7)' аким образом, направление выпуклости графика функции полностью 'характеризуется знаком второй производной этой функции. П р и м е р. Исследовать направление выпуклости графика функции у=хи — Зх' — 4. Из вида второй производной 1а>(х) = =6(х — 1) вытекает, что эта производная отрицательна при х<1 и положительна при х>1.

Таким образом, выпуклость графика функции у=х' — Зх' — 4 направлена вверх на участке ( — оо, 1р и вниз на участке (1, оо) (см. рис. 7.1). % 3. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА 1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба Пусть а, Ь и с — некоторые три числа,-связанные неравенствам>г а<с<Ь. Предположим, что функция у=((х) дифференцируемж на интервале (а, Ь), т.

е. существует касательная к графику этой функции во всех точках, абсциссы которых принадлежат интервалу (а, Ь). Г1редположим, кроме того, что график функции у= =1(х) имеет определенное направление выпуклости на каждом из интервалов (а, с) и (с, Ь). О п р е де л е н и е. Точка М(с, 1(с) ) графика функи ии у=((х) называется т о ч к о й п е р е г и б а этого графика, если существует такая окрестность гочки с оси абсцисс, в пределах которой график функции у=(Гх) слева и справа от с имеет разные на- ми правления выпуклости. На рис. 7.10 изображен график функции, имеющий перегиб в точке М(с, 1(с)).

Иногда при определении точ- й аи с х ки перегиба графика функции у=((х) дополнительно требуют, Рис, ТЗО чтобы указанньи1 график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал по разные стороны от касательной к этому графику в точке М(с„ 1(с)). Ниже мы докажем, что это свойство будет вытекать из данного нами определения в предположении, что производная Т'(х), является непрерывной в с.

Характеристики

Список файлов книги