В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 57
Текст из файла (страница 57)
274 Гл. 7. Исследование графика функции Докажем следующие две леммы. Л ем и а 1. Пусть функция у=)(х) имеет производную 7"'[х) всюду в 6-окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с. Тогда, если график функции у=)(х) имеет на инуервале (с, с+6) выпуклость, направленную вниз [вверх], то всюду в пределах интервала (с, с+6) этот график лежит не ниже [не .вьиие] касательной к графику, проведенной в точке М(с, [(с)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим последовательность (х„) точек интервала (с, с+6), сходящуюся к точке с.
Через каждую точку М„(х, 7(х )) графика функции у=)(х) проведем касательную к этому графику, т. е. прямую ' У„= [(х„) +(' (х„) (х — - х„) . 'Так как по условию график функции у=)(х) имеет на интервале (с, с+6) выпуклость, направленную вниз [вверх], то для любого номера и и любой фиксированной точки х интервала (с, с+6) 7(х) — У„=[(х) — 7(х„) — Г'(х ) (х — х„) )О [(0] (е) Из условия непрерывности 7'(х) (и тем более 7'(х)) в точке с и из определения непрерывности по Гейне вытекает, что сущест.вует предел 1цп (7'(х) — Ул) =- 11гп (7'(х) — Г (х„) — 7" (х„)(х — х,)) = = [ (х) — Г (с) — Т' (с) (х — с) .
Из существования последнего предела в силу неравенства (е) и теоремы 3.13 из $ 1 гл. 3 мы получим, что )(х) — )(с) — Г'[с) (х — с):. 0 [~0]. Если обозначить через У текущую ординату касательной (7.5), проходящей через точку М (с, 1(с) ), то последнее неравенство можно переписать в виде [(х) — У)0 [~(0]. Итак, переходя в (ч) к пределу при и- оо и используя теорему 3.13, мы получим, что Г(х) — У~О [(0] для любой фиксированной точки х из интервала (с, с+6), причем У обозначает текущую ординату касательной, проведенной через точку М(с, Г(с)). .Лемма доказана.
3 а м с ч а н и е. Аналогично формулируется и доказывается лемма 1 и для случая, когда график функции имеет определенное направление выпуклости не на интервале (с, с+6), а на интерва.ле (с — 6, с). ' Мы используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х„, 1(х )) и имеющей угловой коэффициент, равный У(х„). Текущую ординату втой прямой обозначаем через у„. $3.
Точки перегиба Лемм а 2. Пусть функция у=>(х) имеет производную ~'(х) в некоторой окрестности точки с, причем эта производная непре- рывна в точке с. Тогда, если график функции у=7(х) имеет пере- гиб в точке М (с, 7(с)), то в пределах достаточно малой б-окрест ности точки с этот график слева и справа от с лежит по разно>е стороны ог касательной, проведенной через точку М (с, 1(с)). Для д о к а з а т е л ьс т в а этой леммы следует выбрать б>0 настолько малым, чтобы на каждом из интервалов (с — 6, с) и (с, с+б) график функции у=7(х) имел определенное направле- ние выпуклости (это направление будет различным на интерва- лах (с — 6, с) и (с, с+б).
После этого для доказательства лем- мы 2 остается применить лемму 1 к функции у=7(х) по каждому из интервалов (с — б, с) и (с, с+6). Лемма 2 позволяет нам установить необходимое условие пере- гиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции у=((х). Теорема 77 (необходнмое условие перегиба графика дважды дифференцируемой функции). Если функция у=((х) имеет в томке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке М(с, > (с) ), то.
(а>(с) = О. Доказательство. Пусть, как выше, У вЂ” текущая ордина- та касательной У=1(с)+7'(с) (х — с), проходящей через точку графика М(с, 1(с)). Рассмотрим функцию Г(х) =)(х) — У=Цх) — 7(с) — 1'(с) (х — с), равную разности 7(х) и линейной функции Цс)+7'(с) (х — с). Эта функция Р(х), как и функция 1(х), имеет в точке с вто- рую производную (а потому имеет первую производную в некото- рой окрестности с, причем эта первая производная непрерывна в. точке с).
В силу леммы 2 в малой окрестности точки с график .функции у=1(х) лежит слева и справа от с по разные стороньг от касательной, проходящей через точку М(с, 1(с)), а потому функция Е(х) в малой окрестности точки с имеет слева и справа. от с разно>е знаки. Значит, функция г(х) не может иметь в точке с локального экстремума. Предположим теперь, что )>з>(с)ФО. Тогда, поскольку Е'(х) = = 1'(х) — 1'(с), Е(з> (х) = 7"> (х), выполняются условия Г'(с) = О;, Е< >(с)МО и функция Е(х) в силу теоремы 7.2 имеет в точке с ло- кальный экстремум.
Полученное противоречие доказывает, что предположение г'>(с)ФО является неверным, т. е. 7а>(с) =О. Тео- рема доказана. Тот факт, что обращение в нуль второй производной является лишь необходимым условием перегиба графика дважды днффе- ренцируемой функции, вытекает, например, из рассмотрения 276 Гл.
7. Исследование графика функции графика функции у=х". Для этой функции вторая производная у"=!2х' обращается в нуль в точке х=О, но ее график не имеет перегиба в точке М(0, 0). В силу теоремы 7.7 для отыскания всех точек перегиба графика дважды дифференцируемой функции у=)(х) нужно рассмотреть все корни уравнения Га>(х) =О.
Поскольку равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба, то нужно дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой точке, для которой Га'(х) = О. Для проведения такого исследования следует установить достаточные условия перегиба, к чему мы и переходим. 2. Первое достаточное условие перегиба. Т е о р е м а 7.8.
Пусть функция у=((х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и Г"а'(с) =О, Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная Рт) (х) имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке М (с, 1(с) ) . До к а з а тел ь ство.
Заметим, во-первых, что график функции у=((х) имеет касательную в точке М(с, 1(с)), ибо из условий теоремы вытекает существование конечной производной 1'(с). Далее, из того, что Р"(х) слева и справа от с имеет разные знаки, и из теоремы 7.5 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным. Теорема доказана.
П р и м е р. Найти точки перегиба графика функции 1" (х) = =х' — Зх' — 4. Эту функцию мы неоднократно рассматривали выше (график ее изображен на рис. 7.1). Поскольку Тз~(х) = =бх — 6=6(х — 1), то единственное значение аргумента, для ко. .торого возможен 'перегиб, есть х= 1. Этому значению аргумента соответствует точка графика М (1, — 6). Так как Гт'(х) имеет разные знаки при х)1 и при х<1, то точка М(1, — 6) является точкой перегиба графика рассматриваемой функции. 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия пере- тиба. Прежде всего заметим, что в условиях теоремы 7.8 можно отказаться от требования двукратной дифференцируелости функ,ции у=((х) в самой точке с, сохраняя это требование лишь для точек, лежащих в некоторой окрестности слева и справа от с.
При этом следует дополнительно предположить существование конечной производной' Г'(с). Доказательство теоремы 7.8 с указанными изменениями дословно совпадает с доказательством, приведенным выше. Далее можно договориться при определении точки перегиба не исключать случая, когда касательная к графику в рассматриваемой точке параллельна оси Оу*, При такой договоренности в теореме 7.8 можно отказаться даже от требования однократной * В этом случае первая производная р(к) в точке с принимает бесконечное значение. $3.
Точки перегиба 277 дифференцируемости функции )(х) в самой точке с и сформулировать эту теорему следующим образом: Пусть функция у=Их) имеет конечную вторую пооизводную всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть мозкет, самой точки с. Пусть, далее, функция у= — 1(х) непрерывна в точке с и график этой функции имеет касательную* в точка М(с, 7(с)). Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная (!а!(х) имеет разные знаки слева и справа от точки с, то график функции у=)(х) имеет «у перегиб в точке М(с, 1(с)).
Доказательство сформулированного утверждения полностью аналогично доказательству о теоремы 7.8. П р н м е р. Найти точки перегиба графика функции у=хна. Эта функция имеет вторую производную всюду на бесконечной прямой, за исключением точки х=О. В точ- Рис. 7.11 ке х=О рассматриваемая функция непрерывна, ио уже первая производная обращается в бесконечность. Однако график функции у=хи' имеет в точке (О, 0) касательную, параллельную оси Оу'* (рис.
7.11). 2 1 Так как вторая производная уол = — —, имеет слева и 9 хагв справа от точки х=О разные знаки, то график функции у=хна имеет перегиб в точке (О, 0). 4. Второе достаточное условие перегиба. На случай, когда нежелательно исследование знака второй производной в окрестности точки с, мы сформулируем второе достаточное условие перегиба, предполагающее существование у функции у=1(х) в точке с конечной третьей производной. Теорем а 7.9.
Если функция у=Цх) имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям Я(с) =О, )га!(с)чьО, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, 7(с)). Доказательство. Из условия )га!(с)~0 и нз теоремы 6.1 вытекает, что функция (оо(х) либо возрастает, либо убывает в точке с.
Так как 7!х!(с) =О, то и в том, и в другом случае найдется такая окрестность точки с, в пределах которой )а>(х) имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции у=7(х) имеет перегиб в точке М(с, ) (с)). ' Быть может, параллельную осн Оу. Эте вытекает, например, иа того, что график обратной функции хб уа имеет в атой точке касательную х=о. Гл. 7. Исследование графика фувкквв 3 а м еч а н не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
