В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. если значение функции [(х) на левом конце строго меньше, чем на правом. Так как функция [(х) имеет на сегменте [а, Ь] единственную точку минимума с, то указанная точка минимума с принадлежит одному из четырех частичных сегментов [х.
ь х;]. Тот частичный сегмент [х; ь х;], которому принадлежит точка минимума с, можем являться либо сегментом возрастания, либо сегментом убывания, либо, наконец, сегментом, на концах которого функция [(х) имеет равные значения. " Определение и свойства стягивающейся системы сегментон см. н п. 2 $2 гл. 3. 289 Дополнение Кроме того, нз того, что по условию функция [(х) убывает слева от точки минимума с и возрастает справа от этой точки, вытекает, что если данный частичный сегмент содержит точку л|инимума с, го любой частичный сегмент, лежащий налево ог данного, является сегментом убывания, а любой частичный сегмент, лежащий направо от данного, является сегментом возрастанияя.
Но тогда можно утверждать, что тот частичный сегмент, кя. торый содержит точку минимума с, является либо самым правым сегментом убывания, либо самым левым сегментом возрастания, либо, наконец, частичным сегментом, на концах которого )(х) имеет равные значения. Сформулированное утверждение позволяет указать алгоритм построения первого сегмента [а|, Ь,) стягивающейся системы сегментов [аго Ь„], каждый из которых содержит точку минимума с. Рассмотрим четыре возможных случая.
1) Среди частичных сегментов [х| |, х;) есть сегмент, на концах которого 1(х) имеет равные значения. В этом случае этот сегмент содержит точку минимума с*, н мы примем его за первый сегмент [аь Ь|) стягивающейся системы. 2) Все частичные сегменты [х; |, х;) (|=1, 2, 3, 4) являются сегментами убывания. В этом случае точка минимума с лежит на самом пРавом из частичных сегментов, т. е.
на сегмецте [хз, х[], н мы примем этот сегмент за [аь Ьз]. 3) Все частичные сегменты [х| |, х|) (1=1, 2, 3, 4) являются сегментами возрастания. В этом случае точка минимума лежит на самом левом из частичных сегментов, т. е. на сегменте [хо, х|], н мы примем этот сегмент за [а|, Ь|]. 4) Среди частичных сегментов имеются как сегменты убывания, так и лежащие правее их сегменты возрастания.
В этом случае можно утверждать, что точка минимума с лежит на объединении самого правого сегмента убывания и самого левого сегмента возрастания. Указанное объединение двух частичных сегментов мы и примем за [а|, ЬД. Тем самым мы указали однозначный алгоритм построения первого сегмента [аь Ь~) нз стягивающейся системы сегментов ([ан, Ь,]). Второй сегмент этой системы [аз, Ьз) строится, отправляясь от [аь Ь|), точно так же, как сегмент [а|, Ь|] строился, отправляясь от [а, Ь].
По такому же принципу, отправляясь от и-го сегмента [а„Ь„), строится (и+1)-й сегмент стягивающейся системы. ' Точка минимума с не может лежать налево от частичного сегмента [х, ь л,:], на концах которого [(х) имеет равные значения, ибо при этом указанный сегмент является сегментом возрастания, Аналогично предположение о том, что с лежит направо от частичного сегмента, на концах которого [(х) имеет равные значения, привело бы к тому, что этот частичный сегмент является сегментом убывания. 290 Гл.
7. Исследование графика фуикции Ясно, что построенная система сегментов [[а„, Ь„)) является стягивающейся и, поскольку все эти сегменты содержат точку минимума с, обе последовательности правых концов [Ь„) этих сегментов и левых их концов [аа) сходятся к точке минимума с. Аналогично строится алгоритм отыскания точки максимума функции [(к), имеющей на сегменте [а, Ь1 единственную точку максимума с при условии, что эта функция возрастает слева от с прн с)а и убывает справа от с прн с<Ь. Глава 8 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В этой главе мы изучим операцию, обратную по отношению к операции дифференцирования, т.
е, займемся вопросом о восстановлении функции по известной производной этой функции. Изучение этого вопроса естественно приведет нас к понятиям первообразной и неопределенного интеграла (уже упоминавшимся в гл. 1). Откладывая до гл. 9 вопрос о существовании первообразнор( и неопределенного интеграла, мы изучим в настояшей главе важнейшие методы интегрирования и выделим классы функций, неопределенные интегралы от которых выражаются через элементарные функции. й П ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОИ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1.
Понятие первообразной функции. К числу важных задач механики относятся задача об определении закона движения материальной точки по заданной ее скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному ее ускорению ". Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции. Переходим к рассмотрению этой проблемы. Определение. Функция Р(х) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции )'(х) на интервале (а, Ь), если в любой точке х интервала (а, Ь) функция Р(х) дифференцируема и имеет производную Р',(х), равную )(х).
3 а м е ч а н и е. Аналогично определяется первообразная для функции [(х) на бесконечной прямой и на полупрямой**. * Вместо ускорения материальной точки можно задать дейстаующую на зту точку силу (ибо согласно второму закону Ньютона сила определяет ускорение этой точки). 'ч Ьбожио ввести первообразную для функции Пх) и на сегменте [и, Ь), понимая под такой перзообразной функцию Р(х), имеющую производную Ьб(х) н любой внутренней точке сегмента [а, Ь), равную [(х), и, кроме того, имеющую правую производную Р'(о+О), равную ((а+О), и левую произаодиую Р'(Ь вЂ” О), равную ((Ь вЂ” О).
(оч 292 Гл. 8. Первообразиаи функция и иеоцределеииый интеграл ) 1(х) дх. (8.1) П р и м е р ы. 1) Функция Е(х) =) Т вЂ” х' является перво- образной для функции у(х) = — на интервале ( †!, тх! — х' +1), ибо в любой точке х этого интервала ()Г1 — х') = тг 1 — х' 2) Функция Р(х) =з!их является первообразной для функции 1(х) =сов х на бесконечной прямой ( — оо, +оо), ибо в каждой точке х бесконечной прямой (з!и х)'=сов х. 3) Функция Е(х)=!пх является первообразной для функции 1 1'(х)=- — на открытой полупрямой х)О, ибо в каждой точке х х этой полупрямой (!п х)' = —.
в Если Р(х) является первообразной для функции 1(х) на интер- вале (а, Ь), то, очевидно, и функция Р(х)+С, где С вЂ” любая постоянная, является первообразной для функции 1(х) на интер- вале (а, Ь). Естественно, возникает вопрос, как связаны между собой раз- личные первообразные для одной и той же функции 1(х). Справедлива следующая основная теорема. Те о р е м а 8.1. Если Р,(х) и Рз(х) — любые первообразные для функции 1(х) на интервале (а, Ь), то всюду на этом интер- вале Г1 (х) — Рз(х) =С, где С вЂ” некоторая постоянная, Другими словами, две любые первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную. До к а з а т ел ьс т во. Положим Ф(х) =Р,(х) — Рв(х).
Так как каждая из функций Г,(х) и Рв(х) дифференцируема на ин- тервале (а, Ь), то в силу теоремы 5.5 и функция Ф(х) дифферен- цируема иа интервале (а, Ь), причем всюду на этом интервале Ф'(х) =Р1'(х) — Рв'(х) =1(х) — 1'(х) =О. В и. 1 й 4 гл. 6 была доказана теорема 6.5 следующего со- держания: если функция Ф(х) дифференцируема всюду на интер- вале (а, Ь) и если всюду на этом интервале Ф'(х) =О, то функ- ция Ф (х) является постоянной на интервале (а, Ь).
Из этой теоремы .получим, что Ф(х) =Е,(х) — Рв(х) =С=сонэ(, что и требовалось доказать. Следствие. Если Е(х) — одна из первообразнык функ- ций для функции 1(х) на интервале (а, Ь), то любая первообраз- ная Ф(х) для функции 1(х) на интервале (а, Ь) имеет вид Ф(х) =Е(х)+С, где С вЂ” некоторая постоянная, 2. Неопределенный интеграл. Определение. Совокупность всех первообразных функ- ций для данной функции 1(х) на интервале (а, Ь) называется неон редел е иным интегралом от функции 1(х) (на этом интервале) и обозначается символом Е 1. Понятие первообрааной и неопределенного интеграла 293 В этом обозначении знак ) называется з н а к о м и н т е г р а л а, выражение 1(х) йх — поды н т е г р а л ь н ы м в ы р а ж е н и е м а сама функция 1(х) — подынтегральной функцией.
Если г(х) — одна из первообразных функций для функции ,'(х) на интервале (а, Ь), то в силу следствия из теоремы 8.1 ) ~(х)йх=-г(х)+ С, (8.2) ' Равенство (8.2) следует понимать как равенство двух множеств. где С вЂ” любая постоянная *. Подчеркнем, что если первообразная (а значит, и неопределенный интеграл) для функции 1(х) на интервале (а, Ь) существует, то подынтегралоное выражение в формуле (8.1) представляет собой дифференциал любой из этих первообраэных.
В самом деле, пусть г (х) — любая из первообразных для функции )с(х) на интервале (а, Ь), т. е. для всех х из интервала (а, Ь) г'(х) =)(х), Тогда )(х)йх=Г(х)йх=с(Г. П р и м е р ы. 1) ~:" с!х=)/1 — х'+ С на интервале Г ! — ха — !<х<1, ибо функция г"(х)=~'! — х' является одной из первообразных для функции с (х) = " на указанном интер)с 1 — ха вале. 2) ) соа хс(х = е)их+ С на всей бесконечной прямой — оо<х<+со, ибо функция г(х) =е(их является одной из перво- образных для функции !(х) =сов х на бесконечной прямой. В этой главе мы не будем заниматься вопросом о существовании первообразных (или неопределенных интегралов) для широких классов функций. Здесь мы лишь отметим, что в $4 гл.
9 будет доказано, что для всякой функции 1(х), непрерывной на интервале (а, Ь), существует на этом интервале первообразная функция (и неопределенный интеграл). 3. Основные свойства неопределенного интеграла. Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекающие из определения неопределенного интеграла: 1". й ~)'(х)йх=)(х)асх. 2. ~с(р(х)=р(х)+С. Свойство 1' означает, что знаки с( и ) взаимно сокращаются в случае, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
