В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Это позволяет рассматривать множество всех вещественных чисел как подмножество комплексных чисел. Два комплексных числа г1 = (хь у|) и ге= (хм уз) называются равным и, если х1 — — ха, У1=уз. Говорят, что комплексное число г=('х, у) равно нулю, если х=О и У=О. Определим операции сложения н умножения комплексных чисел. Поскольку вещественные числа являются подмножеством комплексных чисел, эти операции должны быть, определены так, чтобы в применении к двум вещественным числам они приводили к уже известным нам из Ч 4 гл. 2 определениям суммы и произведения вещественных чисел. Суммой двух комплексных чисел г~ —— (хь у~) и ге=(хь уа) назовем комплексное число г вида г=(к~+ха, у,+у,).
(8. 13) Произведен нем двух комплексных чисел г~= (хь У1) и гг= (хь уз) назовем комплексное число г вида г= (хгхз — У~уз х1уз+хзу~) . (8. 14) Легко проверить, что сумма и произведение комплексных чисел обладают теми же самыми свойствами, что и сумма и произведение вещественных чисел. Именно справедливы следующие свойства; 1'. г1+г,=гз+г| (переместительное свойство суммы). (г~+га)+гз=г|+ (ге+ге) (сочетательное свойство суммы). 3'.
и+(О, 0) =г (особая роль ч ела (О, 0)). 4'. Для каждого числа г= (х, у) существует противоположное ему число г'= ( — х, — у) такое, что г+г'= (О, 0). 5'. г|.ге=ге г, (переместительное свойство произведения). 6', (г, г,) гз=г,.
(гз г,) (сочетательное свойство произведения). 7'. г (1, 0) =г (особая роль числа (1, 0)). З 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях ЗОВ 8'. Для любого комплексного числа г= (х, у), не равного ну- У лю', существует обратное ему число г = ( та+ уз / кое, что г.г'= (1, 0). 9'. (гг+гг) гз — — гыгз+гз гз (распределительное свойство произведения относительно суммы). Свойства 1' — 9' позволяют утверждать, что для комплексных чисел полностью сохраняются все правила элементарной алгебры„ относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств. Кроме того, эти свойства полностью решают вопрос о вычитании комплексньзх чисел как о действии, обратном сложению, и о делении комплексньгх чисел как о действии, обратном умножению. Р а з но с т ь ю двух комплексных чисел г~= (хь у~) и =(хь уз) называегсл такое комплексное число г, которое в сумме с г, дает гь С помощью свойств 1' — 4' элементарно устанавливается существование и единственность разности двух любых комплексных чисел *.
Легко проверить, что разностью двух комплексных чисел г, = (хь у~) и гз= (хз, уз) является комплексное число г вида г- (х~ — хз, у~ — уз). (8.15) Частя ым двух комплексных чисел г1=(хь у1) и ге= (хз,уз), второе из которых не равно нулю, называется такое комплексное. число г, которое при умнозкении на гт дает гь С помощью свойств 5' — 8' легко установить, что единственным частным двух указанных комплексных чисел является комплексное число г: вида хгхз + УгУз хзУз хтУз ) г= =( з ' з 2 4+Уз ' ",+,У, В операциях с комплексными числами особую роль играет число, представимое парой (О, 1) и обозначаемое буквой г.
Умножая эту пару самое на себя (т. е. возводя ее в квадрат), получим в силу определения произведения комплексных чисел (О, 1) (О, 1) =' ( — 1,0) = — 1, т. е. 1т= — 1. Заметив это, мы можем любое комплексное число г= (х, у) представить в виде г= (х, У) = (х,О) + (О, у) = (х, 0) + (у, 0) (О, 1) =х+ гу. В дальнейшем мы будем широко использовать для комплекс- ного числа г=(х, у) представление г=х+гу. Это представление: ' Для этого следует дословно повторить рассуждения, проведенные в гл.2'. для случая разности двух вещественных чисел (см.
и. ! $5 гл. 2). зоб Гл. 3 Пераообразная функция и неопределенный интеграл и рассмотрение Г в качестве множителя, квадрат которого равен — 1, позволяет производить операции с комплексными числами так же, как они производятся с алгебраическими многочленами. Комплексное число г=(х, — у) =х — Гу принято называть сопр яж е н н ы м по отношению к комплексному числу г= (х, у) = =х+су.
Очевидно, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное ему число', Для геометрического изображения комплексных чисел удобно пользоваться декартовой прямоугольной системой координат. Прн этом комплексное число г= (х, у) изображается или точкой М с координатами (х, у), нли вектором ОМ, идущим из начала координат в точку М.
При таком способе изображения сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению н вычитанию соответствующих нм векторов (это понятно из формул (8.13) н (8.15)). Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает следующее ут в е р ж де н не: произведение двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один из сомножителей. В самом деле, если хотя бы одно из чисел гГ=(х1, у1) и .ге=(хго ут) равно (0,0), то из (8.14) очевидно„что г=г~га= = (О, 0). Если, наоборот, г=гГга равно (О, 0), то из (8,14) следует, что Г хтха — у,у,==О, ( у,х, + х,у, == О, (8.14') (г,г,) = г,г,.
(8.14") Г к=о, Г к=о, * Ибо система ~ акаиаалентна системе [ ~ р = о [ — у=о. н сслн гГФ(0,0), т. е. хт+утчьО, то (8.14') представляет собой однородную систему двух уравнений относительно двух неизвестных ха и уа с определителем х',+ у'„отличным от нуля. Такая система имеет только тривиальное решение, т, е.
ге= (ха, уа) = = (О, 0). Непосредственно из определения (8.14) произведения двух комплексных чисел вытекает и еще одно у тв е р ж де н не: комплексное число, сопряженное к произведению двух (а значит, и нескольких) комплексных чисел, равно произведению комплексньГх чисел, являющихся сопряженными к каждому из сомножителей, т.
е. Ь 3. Классы функций, интегрируемых и элементернмх фунициих 307 С помощью правила перемножения комплексных чисел (8.14)' легко проверяется, что как правая, так и левая часть (8.14") равна одному и тому же комплексному числу (х~хх — у1у „ вЂ хаус †). 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов. 1'.
Ал геб р а и чески м многочленом и й степени называется выражение вида 1(г) =с,г"+с,г"-'+...+с„1г+с„, (8.16). где г= (х, у) =х+(у — переменное комплексное число, а се, сь...,с„— некоторые постоянные комплексные числа, первое из которых отлично от нуля. Как известно, любой алгебраический многочлен степени и можно поделить «столбиком» на другой алгебраический многочлен степени не выше чем и. Таким путем мы приходим к следующему утверждению: каковы бы ни были два многочлена 1(2) и ф(2) такие, что степень ф(2) не выше, чем степень 1(2), справедливо равенство 1(г) =ф (2) и (2) +«(2), в котором д~г) и «(2) — некоторые многочленьс, причем степень д(г) равна разности степеней многочлгнов 1(2) и фГ2), а степень.
«(г) ниже степени ф(г). По отношению к фигурирующим в равенстве (8.17) много- членам 1(г), ф(2), в(г) и «(г) обычно применяют вполне понятные термины «делимое», «делитель», «частное» и «остаток». Говорят, что многочлен 1(г) делится на многочлен ф(г), если в полученной посредством деления столбиком формуле (8.17) остаток «(г) =О. Договоримся называть м н о го членом нулевой степени любую комплексную постоянную. Тогда совершенно ясно, что любой многочлен делится на отличный от нуля многочлен нулевой степени.
Изучим вопрос о делимости многочлена 1(2) на многочлен первой степени. Определение. Назовем комплексное число Ь корнем многочл гна 112), если 1(Ь) равно нулю. Теорема 8.2. Многочлен ненулевой степени 1(2) делится на двучлен (2 — Ь) тогда и только тогда, когда Ь является корнем многочлена. До к аз а тел ьство. Запишем для многочленов 1(г)' и ф(г) =(г — Ь) формулу (8.17). Поскольку степень остатка «(2) в этой формуле обязана быть ниже степени делителя ф(2) =г — Ь, то «(2) — многочлен нулевой степени, т.
е. «(г) =с=сопз1. Таким образом, формула (8.17) принимает вид 1(г) = (г — Ь) в (2) + с. Полагая в формуле (8.18) г=Ь,. найдем, что с=1(Ь). По определению ) (2) делится на (г — Ь) тогда и только тогда, когда ос-- Зоа Гл, 8, Первообразная функция и неопределенный интеграл таток в формуле (8.18) с=)(Ь) равен нулю, т. е. тогда и только тогда, когда Ь является корнем )(г).
Теорема доказана. 2'. Естественно, возникает вопрос, всякий ли алгебраический многочлен имеет корни? Ответ на этот вопрос дает ос нов н а я т е о р е м а а л г е б р ы е: всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень. Опираясь на эту теорему, докажем, что алгебраический мноеочлен и-й степени имеет точно и корней"*, В самом деле, пусть )(г) — многочлен п-й степени. Согласно основной теореме алгебры ((г) имеет хотя бы один корень Ьь т. е. для 1(г) справедливо представление (8.19') Р(г) = (г — Ь|) 11(г), в котором через ), (г) обозначен некоторый многочлен степени (и — 1).
Если пФ1, то, согласно основной теореме алгебры, )1(г) ямеет хотя бы один корень Ь,, т. е. для Й(г) справедливо представление (8.19з) 6(г) = (г — Ьт)6(г), в котором через Гз(г) обозначен некоторый многочлен степени (н — 2). Повторяя указанные рассуждения далее, мы получим представления Ыг) = (г — Ь.) 6(г), (8.19з) (е 1(я) = (г — Ь„)1„(г) . (8 19п) В последнем из этих представлений через 1„(г) обозначен некоторый многочлен нулевой степени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
