В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Эллиптические интегралы так что уз г.).)) ), г — ) Гт — г — „— ) 2) С)+ 1 са 1+ рг1 — 2х — ха= а Ге+2)) 21+1 4)г21 г(х = — - с(г. се+1 ' (ге+1)а Таким образом, У= — 4 Р'2 ( ) (П+ 1)(И+ 2т) 2+ 1) Получаем интеграл от рациональной дроби, вычисление которого предоставляем читателю. $4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ К интегралам от квадратичных иррациональностей естественно примыкают следующие интегралы: 1 )г) (х, У ахл+ Ьхл+ сх+ с( ) с(х, ) )с(х, 1/ах'+Ьхз+сха+г(х+е )г(х, (8.69) подынтегральные функции которых содержат корень квадратнын из многочленов третьей или четвертой степени (с вещественными коэффициентами).
Эти интегралы весьма часто встречаются в приложениях. Отметим сразу же, что интегралы (8.68) и (8.69), вообще гороря, не являются элементарными функциями. Оба эти интеграла принято называть э л л и п т и ч е с к н м н в тех случаях, когда они ие выражаются через элементарные функции, и псе вдоэллиптическими в тех случаях, когда они выражаются через элементарные функции *. Ввиду важности для приложений интегралов (8.68) и (8.69) возникла необходимость составления таблиц и графиков функций, определяемых этими интегралами, При произвольных коэффициентах а, Ь, с, с( и е такие таблицы и графики составить очень трудно. Поэтому возникла задача о сведении всех интегралов вида (8.68) и (8.69) к нескольким типам интегралов, содержащих по возможности меньше произвольных коэффициентов (или, как говорят, о приведении интегралов (8.68) и (8.69) к канонической форме).
Прежде всего заметим, что интеграл (8.68) сводится к интегралу (8.69). В самом деле, кубичный трехчлен заведомо име- (8.68) * Эти названия происходят оттого, что впервые с этими интегралами встретилнсь при решении задачи о спрямлении эллипса (см, пример 4' п. б э 1 гл. 10). 828 Гл.
8. Первообразиая функция н неопределенный интеграл ет хотя бы один вещественный корень хз, а поэтому его можно представить в виде ахз+Ьхт+сх+г(=а(х — хо) (хз+рх+с)). Сделав подстановку х — хо=~уз, мы, как легко видеть, преобразуем интеграл (8.68) в (8.69). Таким образом, нам достаточно рассмотреть лишь интеграл (8.69) . В силу п. 3 $ 3 многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами ах!+ Ь ха+ схз+ с(х+ е = а (хт+ рх+ д) (х'+ р'х+ Ч') . Всегда найдется некоторая линейная или дробно-линейная подстановка, уничтожающая у обоих квадратных трехчленов линейные члены. Сделав такую подстановку, мы с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, преобразуем интеграл (8.69) к виду )т (Р) вт Р А (1+лаз)(1 + ттз) где )т' — некоторая рациональная функция.
Далее можно показать, что при любых комбинациях абсолютных значений и знаков постоянных А, т и и' может быть найдена замена, сводящая интеграл (8.70) к так называемому каноническому ин- тегралу (8.70) (8.71) в котором через к обозначена постоянная, удовлетворяющая условию 0<й<1. Любой канонический интеграл (8.71) с точностью до слагаемого, представляющего собой элементарную функцию, может быть приведен к следующим трем стандартным интегралам: с(з (' ззог )г(1 — зз)(1 — йззз) ' ) )/(! — зз)(! — йззз) (8.72) ' Жозеф Лиувилль — французский математик (1809 — 1882).
О +М) 'О~)~— (0<й< Ц. Интегралы (8.72) принято называть эллиптическими интеграла а м и соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода. Каждый из этих интегралов, как показано Лиувиллем ', представляет собой иеэлементарную функцию. Эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода содержат только один параметр, принимающий вещественные значения из интервала 0<8<1, а эллиптический инте- $ 4. Эллиптические интегралы 329 (8.74) * Андриан Мари Лежандр — французский математик (1752 — 1888). грал 3-го рода, кроме того, содержит параметр Ь, который может принимать и комплексные значения.
Лежандр * подверг интегралы (8.72) дальнейшему упрощению, сделав замену а=вйтф(0~~ф~( — ) С помощью этой 2 / замены первый из интегралов (8.72) преобразуется к виду 1 — ка а!пз т (8.73) При этой же замене второй из интегралов (8.73) с точностью до постоянного множителя равен разности интеграла (8.73) и следующего интеграла: ~ У1 — й'анзаур тйр.
Третий из интегралов (8.72) преобразуется к виду (1+ йа(п' ~р) )'1 — йаа(па <р (8.75) Интегралы (8.73), (8.74) и (8.75). принято называть эл л иптическими интеграл а ми соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра. Особенно важную роль и приложениях играют интегралы (8.73) и (8.74). Если считать, что оба этн интеграла обращаются в нуль при гр=0, то получатся две вполне определенные функции, которые обычно обозначают символами Р(й, ф) и Е(й, ф). Для этих функций составлены обширные таблицы и графики. Лежандром и другими математиками изучены свойства этих функций, для ннх установлен ряд формул. Наряду с элементарными функциями функции Е и Р прочно вошли в семейство функций, часто используемых в анализе.
Здесь еще раз стоит отметить условность понятия элементарной функции. Вместе с тем следует подчеркнуть, что задачи интегрального исчисления вовсе не ограничиваются изучением функций, интегрируемых в элементарных функциях. Глава 9 ОНРЕДЕЛЕННЪ|И ИНТЕГРАЛ РИМАНА Во вводной главе было показано, что к понятию определенного интеграла приводят такие важные задачи естествознания, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции и задача об определении пути, пройденного материальной точкой, двигающейся со скоростью 1(х) за промежуток времени от х=а до х=Ь. Целью данной главы является построение строгой теории определенного интеграла Римана. 5 Ь ОНРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ Рассмотрим функцию [(х), определенную в каждой точке сегмента [а, Ь).
Введем понятия разбиения сегмента [а, Ь), измельч е н и я этого разбиения и объединения двух разбиений. Определение '|. Будем говорить, что задано разбиение сегмента [а, Ь), если заданы точки хь, хь ..., х„такие, что а= =хь<х1« ...х„|<х =Ь. Разбиение сегмента [а, Ь) будем в даль нейшем обозначать символом (х»). О п редел е н не 2. Разбиение (х»') сегмента [а, Ь] называется из»1 ель чением разбиения (х») того же сегмента, если каждая ~очка х» разбиения (х») совладает с одной из точек х«' разбиения (х» ). Определение 3. Разбиение (х») сегмента [а, Ь) называется объ ед и не и и ем разбиений (х»') и (х»") того же сег»1ента, если все точки разбиений (х»') и (х»") являются точками разбиения (х») и других точек разбиение (х») не содержит. Заметим, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из ннх, Рассмотрим на сегменте [а, Ь) функцию 1(х), принимающую в каждой точке сегмента конечные значения.
По данному разбиению (х») построим число, так называемую «и н т е г р а л ь н у ю с у м м у», с'(хы ьч»)='5' ~(я»)(х» — х»»), где $» — некоторая точка сегмента ° ° »са [х, ь х»). Подчеркнем, что интегральная сумма о(хм $») зависит как от разбиения (х»), так и от выбора точек ч» на сегментах 1х» ь х»). Если обозначить через Ах» разность х» — х, ь то инте- й 1.
Определение интеграла. Интегрируемость гральную сумму, в дальнейшем часто обозначаемую просто через а, можно записать и так: » а=~(К») сгх», Цен 1х»», х»]. »-1 Сегменты (х» ь х») иногда называют частичными сегментаа м и, а точки $» — промежуточными точка м и. Число й = гпах 1»х * договоримся называть д и а м е т р о м р а з; ~ч»к» б и е н и я (х»). Введем фундаментальные понятия предела интегральных сумм и ннтегрируемости функции по Риману. Определение 4, Число 1 называется пределом интеграла л ь н ых сумм а(хм ч») при стремлении диаметра й разбиений (х») к нулю, если для всякого е>О существует такое число б=б(е) >О, что из условия й<е при любом выборе промежуточньис точек К» следует неравенство 11 — а~ <е. Легко убедиться в том, что может существовать только один предел интегральных сумм о при й- О. Для обозначения предела интегральных сумм употребляют символ 1=11пг о(х», $»).
л- о Определение 5. Функция 1(х) называется интегрируем ой по Р им а н у на сегменте (а, Ь), если для этой функции на указанном сегменте существует предел 1 ее интегральных сумм о при стремлении диаметра й разбиений (х») к нулю. Число! называется определенным интегралом Рим а н а от функции 1(х) в пределах от а до Ь и обозначается симь волом ~ 1(х) йх. ь Таким образом, по определению ) г(х) йх=!1ша(х», $»). Отмел-»е » тим, что число а называют н и ж н и м п р е де л о м интегрирования, а число Ь вЂ” в е р х н и м п р е д е л о м интегрирования. Переменную х под знаком определенного интеграла можно заменить на любую другую переменную, т. е.
справедливы равенства ь в ь ) 1(х) йх= )11(у) йу = ~1(1) й1 и т. д. » а а Выясним геометрический смысл интегральной суммы. Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную графи- " Т, е. длину наибольшего частичною сегмента. Гл. 9. Определенный интеграл Римана ком непрерывной неотрицательной функции у=[(х), заданной на сегменте [а, Ь], двумя прямыми х=а и х=Ь, перпендикулярными к оси абсцисс, и сегментом [а, Ь] оси абсцисс (рис.
9.1). Очевидно, интегральная сумма о(ха, $а), отвечающая у =т)х1 выбранному разбиению (хе) и данному обозначенному на рисунке выбору точек $ь, представляет собой площадь стуле.) ~% пенчатой фигуры, заштрихованной на этом 'рисунке. д хо41%4ха Ьлха б, х, х В следующей главе будет сформулировано понятие площади произвольной плоской фигуры и установлено, что предел при с(-ь-О площади указанной сту, пенчатой фигуры равен площади криволинейной трапеции. Приведем простейший пример интегрируемой по Риману функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
