В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. функция /(х) интегри.руема. Докажем следующую теорему, имеющую важное значение в теории интеграла Римана. Основная теорема. Для того чтобы ограниченная на .сегменте [а, 6] функция /(х) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 на ~лось такое разбиение (ха) сегмента [а, 6], для которого 5 — з<е. Доказательство. Необходимость. Пусть функция /(х) интегрируема на сегменте [а, 6]. При доказательстве необходимости 341 $ 3.
Классы интегрируемых функций вспомогательной теоремы установлено, что для любого е>0 существует такое 6>0, что для любого разбиения сегмента [а, Ь] с диаметром с[, меньшим 6, справедливо неравенство 5 — в<в. Необходимость доказана. Достаточность. Дано, что для любого е>0 существует такое разбнние (хе) сегмента [а, Ь], что для соответствующих верхней и нижней сумм выполнено соотношение 5 — э<в. Тогда поскольку в~(/. (/*(5, то /* — /.<е. Из этого неравенства и из произвольности е заключаем, что /.=/", а по вспомогательной теореме получаем, что функция /(х) интегрируема. Теорема доказана.
2. Классы интегрируемых фуннций. Выше в $1 настоящей главы мы видели, что функция /(х), постоянная на сегменте [а, Ь], интегрируема по Риману на этом сегменте, а также что интегрируемые на данном ссгменте функции обязаны быть ограниченными на этом сегменте. Естественно, возникает вопрос об описании классов функций, интегрируемых по Риману на сегменте [а, Ь). Среди этих классов важную роль играеткласс непрерывныхнасегменте [а, Ь) функций.
Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 9.1. Непрерывные на сегменте [а, Ь) функции интегрируемы на этом сегменте по Риману. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть /(х) непрерывна на сегменте (о, Ь). Выберем произвольное число е>0. Поскольку функция /(х), будучи непрерывной на сегменте, является равномерно непрерывной' на нем, то для любого данного е>0 существует такое число 6>0, что если $' и йм — любые две точки сегмента [а, Ь], для которых [й' — Ел[<6, то [/(й') — /(йм) [<г/(Ь вЂ” а).
Отсюда следует, что разность между точными верхней и нижней гранями /(х) на любом сегменте, имеющем длину, меньшую 6, будет меньше числа е/(Ь вЂ” а). Выберем теперь разбиение (хл) сегмента [а, Ь] с диаметром [1, меньшим указанного числа 6: [1<6. Пусть Ма= зпр/(х), те=1п1 /(х1. ли[хе х. ха[ хи[хе и хе[ По определению верхней и нижней сумм и 5 — э = е~(М,— т,) Лхе. А-! Используя в этом соотношении установленное для выбранного нами разбиения неравенство Ма — та<э/(Ь вЂ” а), утверждающее, енто разность между точными гранями на любом частичном сегменте меньше е/(Ь вЂ” а), мы получим, что для выбранного раз'биения Гл.
9. Определенный интеграл Римана 3 42 л в 3 — з < — ~ 6»ха=в. ь — а А=1 По основной теореме заключаем, что функция /(х) интегрируема на [а, Ь). Теорема доказана. Следующая теорема дает достаточное условие интегрируемости некоторого класса разрывных функций. Условимся говорить, что точка х покрьста интервалом, если она содержится в указанном интервале.
Докажем следующую теорему. Теорема 9.2. Пусть функция //х) определена и ограничена на сегменте [а, Ь), Если для любого числа е>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих оби(ую сумму длин, меньшую в, то функция /(х) интггрируема по Риману на сегменте [а, Ь) . Доказательство. Пусть М н т — точные верхняя н нижняя грани функции /(х) на сегменте [а, Ь). Заметим, что если М=т, т.
е. функция /(х) постоянна„то, как мы уже доказали в $1, она интегрируема. Поэтому будем считать, что М>т. Пусть в>0 — произвольное число. Покроем точки разрыва функции /(х) конечным числом интервалов, сумма длин которых не превосходит числа в»=е/2. (М вЂ” гп).
Точки сегмента [а, Ь), не принадлежащие указанным интервалам, очевидно, образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся сегментов. Назовем эти сегменты дополнительными. На каждом из таких сегментов функция непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна. Значит, существуют такие числа 6»>0, что если ) $' — чл) < <бь то )/(9') — /(йм) ) <в/(2(Ь вЂ” а)) для всех $' и Ч", принадлежащих 1-му дополнительному сегменту. Пусть 6 =ппп 6,. Тогда если взять разбиения дополнительных сегментов на частичные сегменты так, чтобы диаметр каждого нз частичных сегментов не превосходил 6, то разность между точными верхней гранью Ма н нижней гранью та функции /(х) на й-м частичном сегменте будет не больше в/(2(Ь вЂ” а)). Объединяя все разбиения дополнительных сегментов и указанные выше интервалы с присоединенными к ним концами, мы получим разбиение (ха) всего сегмента [а, Ь].
Для так построенного общего разбиения [а, Ь) Я вЂ” з = ~» (Ма — та) Лх„= Г(Ма — т ) Лх + Х" (̄— та) азха, а=! где в сумму с одним штрихом отнесены слагаемые, отвечающие частичным сегментам, образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму с двумя штрихами — все остальные. Рассмотрим первое слагаемое правой части записанного выше 5 3.
Классы интегрируемых функций равенства. Поскольку ̄— !п»<М вЂ” и для любого Ь, то Х' (М,— т») Ах»< (М вЂ” т) Х'Ах» < з)2. Далее, в силу сказанного выше, нз свойства равномерной нее!рерывностн функции )(х) на дополнительных сегментах получаем, что Е" (М» — т»)Лх( Е'Лх,( (Ь вЂ” а)=- —. 2 (Ь вЂ” а) 2(Ь вЂ” а) 2 Таким образом, нами указано разбиение (х»), для которого 5 — э<з. По основной теореме получаем, что функция [(х) ннтегрнруема. Теорема доказана. С л е д с т в н е.
Ограниченная на сегменте [а, Ь] функция у(х), имеюи(ая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема на этом сегменте. 8 частности, кусочно непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Действительно, в условии предыдущей теоремы достаточно выбрать интервалы, покрывающие точки разрыва, одинаковой длнны, меньшей чем з/(2р), где р — число точек разрыва функции )(х). Замечание.
Пусть функция )(х) ннтегрнруема на сегменте [а, Ь], а функция д(х) совпадает с функцией )(х) во всех точках сегмента [а, Ь], кроме, быть'может, конечного числа точек. Тогда функция у(х) ннтегрнруема на сегменте [а, Ь] н ] Г(х)дх= ]»т(х)с(х. У к а з а н н е. Использовать схему доказательства следствия. Теорема 9.3. Монотонная на сегменте [а, Ь] функция Я(х) интегрируема по Рилсану на этом сегменте. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Случай, когда функция ) (х) постоянна на сегменте [а, Ь], можно исключить. Рассмотрим, например, неубывающую на сегменте [а, Ь] функцию [(х). Пусть е)0 — произвольное число. Выберем разбиение (х») сегмента [а, Ь] с днаметром с(<з)(1(Ь) — )(а)). Заметим, что поскбльку )(х) не постои янна, то 1(Ь) >)(а). Оценим разность 8 — з= ) (М» — и») Лх», »=1 М» н пт» — верхняя н нижняя грани )(х) на [х» !, х»]. Получим 8 — з( е~ (М» — и»)!(1'(Ь) — ) (а)). Но для неубывающей »»! и ФуНКцИИ ~ (М» — т»)=1(Ь) — 1(а) е.
ПОЭтОМу 5 — Э<Е Н фуНКцИя »=! и Иоо Мх=!(х») =те+! прн»==1, 2, ..., и — 1, М„=)(Ь), т,=Да), $3. Классы интегрируемых функций Теорема 9.4'. Пусть ['(х) — интегрируемая по Риману на регменте [а, Ь] функция, М и т — ее точные верхняя и нижняя грани на [а,'Ь]. Пусть, далее, функция ф(х) непрервдвна на сегменте [гп, М]. Тогда сложная функция й(х) =др[[(х)] интегрируема по Ри- ману на сегменте [а, Ь]. Доказательство. Пусть С = шах [др(1)] н е — про- гл~[ЕМ нзвольное положнтельное число.
Положим ид — — е/(Ь вЂ” а+2С)„ Ввиду того, что др равномерно непрерывна на [т, М], сущест- вует такое 6>0, что [др(11) — др([д) [<ег, если [11 — [а[<6 н [ь [а~[т, М]. Выберем 6 ещс н таким, что 6<ад. В силу нн- тегрнруемостн функции ['(х) на [а, Ь] существуст такое разбн- ение (х») сегмента [а, Ь], для которого 5 — 'в<6'.
Положим М» — — апр [ (х), т» = дп[ [ (х), х Е ['»-"»] «Е[х» д,х»] М»= зцр й(х), и»=- !п1 й(х). «Е[к» дл»] «а[к» д.к»] Разобьем целые числа 1, ..., и на два множества А н В: число йевА, если М» — т»<6, число ренВ, если Ми — т„ъб. Если ин- декс йенА, то М» — т,<6, следовательно, в силу равномерной непрерывности функции ф(1) на сегменте [т, М] получим, что М»" — т»*<ед, Действительно, если рассматривается индекс ФенА, то мы получим, что М» — т» — — — авр Т(х) — [п1 [(х) < 6, [«1,, к,] [к,к ] т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
