В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 71
Текст из файла (страница 71)
прв х, уен [хх 1, х»] разность [(х) — [(у) =[1 — [и по абсо. лютной величине не превосходит 6: [[1 — ге[<6, где [1=](х), [д=[(у). Следовательно, в силу равномерной непрерывности функции гр на всем сегменте [т, М] мы получим, что [чд(1 (х)) гр(1 (у)) ] [др(д!) [р(дд) ] <з1. Гак как последнее неравенство справедливо для любых х н у, прннадлежащнх сегменту [х»-1, х»], то н зпр 1р (Г (х)) — дп1 гр (Г (х)) < еы [х,х ] [к, к»] Далее, если йенВ, то, очевидно, что М** — т»*<2С.
Запишем теперь разность (5* н з — соответственно верхняя н ннжняя суммы функции й(х) для рассматриваемого разбиения (х»)) л В' — з" =-~," (М» — т»)Лх„=~ (М,— т») Лх»+ »=1 »ел + ~[ (М» — т») Лх»< е,(Ь вЂ” а) 4-2С ~ Лх». »ЕВ «ЕВ 346 Гл. 9. Определенный интеграл римана Осталось произвести оценку для величины ~ Лх». Имеем »ив Ь т) Лх» < ~" (М» — т») Лх»<~~~ (М» — т») Лх» »ав »ив »=! (здесь мы пользуемся тем, что все слагаемые (М» — т»)ддх» являются неотрицательными). Учитывая, что при выбранном разбиении ~ (М» — т»)ддх»=5 — з< Ь', получаем, что »=1 Ь ~' ддх»<~ (М» — т»)Лх»< Ь', т. е. ~' Лх»< Ь.
»ив ~! »ев Окончательно получим, что 5' — з'<е (Ь вЂ” а)+2С~~ Лх»< »ев < ед (Ь вЂ” а) + 2СЬ < ад (Ь вЂ” а+ 2С) = е. (Выше мы воспользовались тем, что 6(е!.) Таким образом, функция й(х) интегрируема, и теорема доказана. Сл едет в и е. Если функция /(х) интегрируема на сегменте (а, Ь), то для любого положительного числа а функция 1/(х) ~" интегрируема на этом же сегменте.
Действительно, достаточно рассмотреть непрерывную функцию !р(1) =1!)' и применить предыдущую теорему. Приведем несколько примеров, Примеры. 1) Пример интегрируемой функции, имеющей бес- конечное число точек разрыва. Пусть на сегменте (О, 2/и) задана Э функция /(х)=зина)п — (рис, 9.4).
Указанная функция имеет х разрывы 1-го рода во всех точках х» — — 1/пй, Ь=1, 2, 3, ..., а также разрыв 2-го рода в точке О. Фиксируем произвольное число е)0. Покроем точку х=О интервалом ( — е/4, и/4). Вне этого интервала находится лишь конечное число р точек разрыва функции. Число р зависит от заданного е. Покроем каждую нз этих точек интер- валом длины меньше е/2р.
Тогда все точки разрыва функции 1 1(х) =зяпз)п — будут покрыты конечным числом интервалов, х е е общая сумма длин которых не превосходит — + р — = е. По 2 2р теореме 9.2 функция /(х) ннтегрируема на сегменте (0,2/и]. * В точке х=о агу функцию доопределяем произвольно, например, полагаем /(О) =О. 4 4. Свойства определенного интеграла 2) Из интегрируемости функции 1((х) ! не следует, вообще говоря, интегрируемость Г(х). Действительно, рассмотрим функцию Р, (х), равную единице для х рациональных и минус единице для х иррациональных. Тогда '(Р,(х) (= — 1 интегрируема. Точно также, как и дляфункции Дирихле Р(х), показывается, что функция Р,(х) неинтегрируема (см.
пример из '5 1). й 4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ !. Свойства интеграла. Выясним основные свойства интеграла Римана. а) Пусть функции Г(х) и д(х) интегрируемы на сегменте (а, Ь). Тогда функции)(х)ь +-у(х) также интегрируемы на Рис. 9Л этом сегменте, причем ~ (!' (х) ~ д (х)) с(х = ~ Г (х) г(х - - ~ д (х) дх. Действительно, при любом разбиении сегмента [а, (!) и любом выборе промежуточных точек й» справедливы следующие равенства: л л л (га (э») -~ к (а»)) Лх» = ~ !' (е») Лх, ~ ~; к ($») Лх,. »=1 Ь=! »=! Поэтому, если существует предел правой части при стремлении диаметра разбиений к нулю, то существует предел и левой части. Из линейных свойств этого предела, которые устанавливаются точно так же, как и для предела последовательностей, вытекает доказываемое свойство.
Гл. 9. Определенный интеграл Римана б) Если функция 1'(х) интегриругма на сегменте [а, Ь], то функция с1('х), где с=соне(, также интегриругма на этом сегмен» тг, причем ь ь ] с)(х) йх= — с1 ~(х) дх. В самом деле, для любого разбиения сегмента [а, Ь] и любого выбора промежуточных точек $а выполнено соотношение с1 (Ц) Лхь = с'~' У'(~а) галю откуда, так же как и выше, получаем доказательство утверждения 6). л С л е д с т в и е. Дйнейная комбинация ) сг)г (х) интегрируе- Г 1 мых функций 1;(х) является интегрируемой функцией. в) Пусть функции ((х) и й(х) интегрируемь) на сегменте [а, Ь]. Тогда Я(х)д~х) также интегрируема на этом сегменте.
Запишем очевидное тождество: 4((х) й(х) = [((х) +д(х) ]' — [((х) — д(х) ] '. Заметим, далее, что в силу теоремы 9.4 из интегрируемости какой- либо функции и(х) следует интегрируемость ее квадрата". Поскольку функции )(х)+й(х) и ((х) — д(х) по свойству а) интегри. руемы, то по сказанному интегрируемы и их квадраты, а следовательно, в силу указанного, функция [(х)д(х) интегрируема. г) Пусть функция 1(х) интггриругма на сегменте [а, Ь].
Тогда эта функция интегрируема на любом сегменте [с, д], содержагцгмся в сегменте [а, Ь]. Выберем произвольное число в>0 и такое разбиение (хь) сегмента [а, Ь], что 3 — з<в. Добавим к точкам разбиения (хь) точки с и А Для верхних сумм 5' н нижних з' вновь полученного разбиения (ха'] в силу леммы 3 9 2 тоже будет справедлива оценка Я' — э'<в. Рассмотрим разбиение (хь) сегмента [с, й], образованное точками разбиения (хь') всего сегмента [а, Ь].
Для верхних и нижних сумм Я и э разбиения (хь) выполнено, очевидно, соотношение Б — э<Я' — э', поскольку каждое неотрицательное слагаемое (Мь — та)йха в выражении Я вЂ” й будет слагаемым и в выражении 5' — э'. Таким образом, 8 — з<г, и функция 1(х) интегрируема на сегменте [с, й]. Свойство г) доказано. * так как иа(х) =фи(х)) при ф(1) =н и функция ау(1) удовлетворяет условию Липшипа на любом сегменте (т, М), ибо для любых 1, и 1а иа сегмента (т, М) справедливо неравенство ]гр(11) — гр(1г) ) = [га1 — 1га[= [6 — 1а( [1~+ге[~ <С[1~ — 1г[, где С вЂ” наибольшее иа двух чисел 2(т[ и 2)М(.
$ 4. Свойства определенного интеграла 349' Будем по определению всегда считать, что интеграл Римана от функции', взятьгй в пределах от точки а до точки а, равен с нулю, и. е. ) 1(х)йх=О. Это свойство следует рассматривать как в соглашение. Условимся также о том, что при а<Ь по определеа ь нию ) ~(х) дх= — ~ ~(х) йх для любой интегрируемой функции. ь в Эту формулу следует также рассматривать как соглашение. д) Если функция Я(х) интегрируема на сегментах [а, с] й [с, Ь], то функция Ях) ингегрируема и на сегменте [а, Ь], причем ь с ь 1 ~ (х) йх = ) ) (х) йх+ ~ ) (х) йх.
в с с При а=Ь это свойство справедливо в силу принятых выше соглашений. Предположим сначала, что а<с(Ь. Выберем произвольное число в) О. Пусть (хь') и (хь") — такие разбиения сегментов [а, с] и [с, й], что на каждом из этих сегментов 5 — з<в/2. Пусть (хь) — разбиение сегмента [а, Ь], состоящее из точек разбиений (хь') и (хь").
Очевидно, что разность между верхней и нижней суммами разбиения (хь) не будет превосходить г. Интегрируемость функции г(х) на сегменте [а, Ь) доказана. Пусть теперь (хь) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь] „содержащее с. Тогда ~ 1($.) йхь = Х'1(йь) йхь+ Х" 1(Ы Лх. и-1 где Х' берется по частичным сегментам, принадлежащим [а, с], а Хв — по частичным сегментам, принадлежащим [с, й]. Посколь- ку это верно для любого разбиения, то, перейдя к пределу при стремлении диаметра разбиений к нулю, получим, что ь с И ) у (х) йх = ~ ) (х) йх+ ) ~ (х) йх. о с с Если с не принадлежит [а, Ь], то сегмерт [а, Ь] принадлежит либо [с, Ь], либо [а, с].
Пусть, например, с(а<Ь. В силу свой- ства г) функция [(х) интегрируема на [а, Ь] Действительно, функция )(х) интегрируема на [с, Ь] по условию, а [а, Ь] с: [с, Ь]. Далее, поскольку с<а<Ь, с ь ь ) ((х)йх+] ~(х) йх=-) ~(х) йх. с а с ' Функция в точке а определена и принимает конечное значение, Гл. 9. Определенный интеграл Римана :зео Но по принятому соглашению ) 1(х)дх= — ) Г(х)дх. Таким обе а ,.разом, свойство д) установлено нами и для случая, когда с лежит вне сегмента (а, Ь).
Заметим, что формулу этого свойства можно записать так: ь а ~ ~ (х) йх + ~ ~ (х) дх+ ~ ~ (х) йх = О. а с ь 2. Оценки интегралов. а) Если функция 1(х) интегрируема на сегменте (а, Ь) и г!х)>0 для всех х из (а, Ь), то интеграл от функции 1(х) по этому сегменту неотрицателен. Доказательство следует из того, что для любого разбиения (хь) н любого выбора йь интегральная сумма а а=~' ~(Е„,) Лхь)~0.
! — ! 'В этом случае предел интегральных сумм тоже будет неотрицате.лен. Действительно, допустим, что предел А этих сумм отрицателен. Пусть в=~А(. Выберем разбиение (хь) такое, что )а — А~< < ~А~. Но последнее неравенство может выполняться, только если ь о<0, что противоречит условию о>0. Значит, ) 1(х)йх>0. а б) Интегрирование неравенства. Если функции 1(х) и у(х) гинтегрируемы на сегменте [а, Ь) и 1(х)н-д(х) для все» х из ь ь (а, Ь), то ) 1(х) йх~~,') у(х) йх. а а Действительно, функция у(х) — 11х) интегрируема и неотрица.тельна на (а, Ь), так что ь ~ (у(х) — ~(х)) йх> О.
а ь ь Но тогда в силу свойства а) из п. 1 ) у(х) йх — ) 1(х) йх) О, что и требовалось установить. в) Пусть функция 1(х) непрерывна и неотрицательна на сег.менте (а, Ь). Если существует хотя бы одна точка хе сегмента (а, Ь), в котоРой 1'(хь)>0, то найдетсЯ положительное число а какое, что ) Г (х) йх -: а О. а й 4, Свойства определенного интеграла Действительно, пусть )(хо) =б>О. Тогда в силу непрерывности функции ((х) в точке хо найдется такая окрестность, точки хо, что для любого сегмента [с, й), счьй, лежащего целиком в этой окрестности, будет выполнено неравенство )(х))(1(2 Но тогда в силу оценки из и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
