В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1 б) [ х и'Т+х~г(х= ~ (а/(/= — (а~ =(2)/2 — 1)/3, 3 о ! где 1=)/(+ха. 3) Вычислить интеграл, применяя правило интегрирования по частям: и/а н/л у = ) вгпт хг(х= — ~ в(п" — 'кг((совх)= о о л/х = — в1п -'хсовх(н/л+(и — 1) ) совахв)п — ох/(х= о о н/а =(/и — 1) ) (1 — в(пак)в(п — 'х/(х=(т — 1)[7 а — 7 ). о Отсюда: 1 =:У„л при /и) 2. Легко видеть, что 1о=п/2, 1,=1.
По индукции получаем, что для лг>2 2т — ! 2т — 3 3 ! я (2т — ()И л 2лг 2т — 2 4 2 2 (2т)И 2 2т 2т — 2 4 2 (2т)И 2т+ ! 2т — ! ''' 3 3 (2т+ !)И ! 4) Доказать, что для функции [(х) (1+х) остаточный член )( +! в интегральной форме стремится к нулю, если [х[( <1. Заметим, что Е б. Неравенства для сумм и интегралов х ~ (1 1 1)и — и-! (х 1)ис(1 и1 о Из очевидных неравенств 1/х)0, 1 — х>0 следует, что — — 1= — (1 — х) ) 0 или — =1 — — < 1 — Е х — г х к х х Далее, поскольку х и х — 1 — числа одного знака, то ! х — 11 1 к — 1 — 1=1 — — <1 — 1=!1 — г'1 и ~ — ~<1х!.
х ~ х Следовательно, (х — 0п (1+()и-1г(1! <!х!п Г(1+()и-1г((=С(х, а))х)п, 1 ((1-~- г)п о о где С(х, а) не зависит от и. Иными словами, )гс -н)(С(х, а) )а(а — 1) ... (и — п)))х!и/п1=Ри. Рассмотрим какое-либо число г), удовлетворяющее ' условию ~х(<д<1. Так как рп+г !а — и — 11 )х! )х) (п-л-оо), Рл и+1 Рл+г то найдется такой номер А(, что — ( д при л)А(.
Отсюда Рп вытекает, что р <рмди — и при л~Ж. устремляя в этом неравенстве и к сс, убеждаемся в том, что р, а следовательно, и )( +1 стремится к нулю. $ В. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СУМА( И ИНТЕГРАЛОВ В этом параграфе мы получим некоторые важные неравен- 1 ства для сумм и интегралов. 1. Неравенство Юнга ", Рассмотрим два неотрицательных числа а и Ь и два числа р н д, превосходящие единицу и такие, что 1/р+1/8=1. Докажем следующее пер а в е н ство Юнга: ай < — аа+ — бп. Р Ч Доказательство. Рассмотрим функцию 1(х) =хыа— — х1р при х»0.
Поскольку 1'(х)= — (х-Ио — 1), то Г(х)>0 Р ' Вилиам Юнг — английский математик (1882 — 1946). Гл. 9. Определенный интеграл Римана при 0<х<1 и /'(х)<0 при х)1. В точке х=1 функция /(х) 1 1 принимает наибольшее значение, причем /(1) =-1 — — =— Р Ч Следовательно, хна — х/р<1/»/ при всех х>0.
В последнем неравенстве полагаем х= ап/ЬР, ЬФО. Неравенство Юнга при ЬФО, таким образом, установлено. При Ь=О оно очевидно. 2. Неравенство Гельдера* для сумм. Пусть а», ая, ...,а и Ь», Ьь...,܄— какие угодно неотрицательные числа, Тогда Е а Ь < ~Е аР)ЦР/((и ЬУ)'/ч. »=1 »=! где 1/р+1/»/=1, р>!, »/'-в1. Это неравенство называется неравенством Гельдера для сумм. До к аз а тел ь от в о. Заметим, что указанное неравенство однородно в том смысле, что если оно выполнено для чисел аь Ьь то оно справедливо и для чисел Уан АЬ».
Поэтому доста-' « « я« точно установить, что ~ а»Ь» ~(1 при условии ~~'ап=1 Я Ьт = »=1 »=! »=! =1, так как мы всегда можем разделить числа а» и Ь» соответственно на величины (~ ая») и (р Ь») 'е. Записав не»=! »=! равенство Юнга для таких чисел а» и Ь» и просуммировав эти неравенства по », получим ~~)~а»Ь» ~( 5 аа+ — ~~) Ь»е, Р Ч »=1 »=1 « 1 1 Поэтому ~~ а,Ь» < — + — = 1, что и требовалось. Р Ч »=1 Замечание. В случае р=2, »/=2 неравенство Гельдера превращается в неравенство ~ а,Ь» <(Я аа)'!'(ч)),' Ьт»)'/', »=1 называемое неравенством Коши — Вуняковског о 'е* для сумм. * О.
Гельдер — немецкий математик (1859 — 1937). ** Мы предполагаем, что хотя би одно иа чисел и» н хотя бы одно ив чисел Ь, отлично от нуля. В противном случае неравенство очевидно. '** Виктор Яковлевич Буняковский — русский математик (1804 †18). 4 б. Неравенства кля сумм и интегралов 3. НеРавенство Минковского е длЯ сУмм.
ПУсть аг, аз,... а н Ьь Ьв, „,, ܄— произвольные неотрицательные числа, кисло р>1. Тогда справедливо следующее пер а вене т в о Минковского для сумм: () (аг+Ьгт'/ !в< (~, ар'/'~р 1 Д, Ьр!)ггр Доказательство. Запишем равенство л л л ~ь (аг+Ьс)р=~ а,(аг+Ь!) г+~ Ь! (аг+Ь!)' г=! г=! г=! К каждой из сумм, стоящих в правой части, применимо неравенство Гельдера. Если 1/р+1/д-1, р>1, д>1, то (р — 1)г/= 1 р — 1 =р, =.—.
Поэтому е Р л л л ~$ (ат+Ь!) < ® ар!'/г!рДГ (ат+Ьг)гр — ги)гм+ г=! г=! г=! и л + Д„Ьгр) ~ (Я (а, + Ь!) ) и'= ! ! ! Поделив обе части последнего неравенства на ~~ (аг+ р-! + Ьг)Р1 р, получим доказываемое неравенство. 4. Неравенство Гельдера для интегралов. Пусть /(х) и д(х) — две произвольные интегрируемые на сегменте [а, Ь! функции, пусть р и д — два числа, превосходящие единицу, и 1/р+ 1/о = 1. Тогда справедливо н е р а в е н с т в о Г е л и д е р а для интегралов ь ~ ~ /(х) у(х) дх~ < !~1/(ху рдх/'" /Г~ ~ у(ху~ дх~"е л л л (все написанные интегралы существуигт в силу следствия из теоремы 9.4'). * Герман Минковский — немецкий математик и физик (1864 — 1909). Гл.
9. Определенный интеграл Римана Заметим, что, как и в п. 2, достаточно рассмотреть случай, ь ь когда ( ~)(х)~лдх<1 и ~)у(х)!ег(х<1, и доказать неравен- а а ь ство )~)(х)У(х) дх)<1. Запишем неравенство Юнга в любой е точке х для функций ~~(х) ~ и )д(х) ~. Получим )Г(х) ~ )д(х) ~< — Й(х)(л+ — ~д(х) ~'. Р Интегрируя зто неравенство, получим ь 1(1(х)~ (у(х))дх<1, Й но, согласно свойству д) п.
2 $4 ь ь !) ~(х)д(х)дх~ .. (1~(х)1 ~д(х)~с(х. а а Поэтому доказательство завершено. Как и при выводе неравенства Гельдера для сумм, мы ь ь предполагали, что ~У(х)!дх ~0 н ) 1д(х)!дхч60. В противном е а случае неравенство очевидно. 3 а меч ание. В случае р=2, у=2 неравенство Гельдера превращается в неравенство ь ь ь ~~~(х)д(х)ь(х~< (~(((х)!адх)па~) )д(х)~адх)п' которое называется неравенством Коши — Буняковского для интегралов. 5. Неравенство Минковского для интегралов. Пусть 1(х) и д(х) — любьье две неотрицательные и интегрируемые на сегменте [а, Ь1 функции и число р)1.
Тогда справедливо неравенство Минковского для интегралов (~ (1(х)+ д(х))'дх)цл < ) ( 1'(х) дх)'"+ () у'(х) дх)нл. Заметим, что согласнб следствию из теоремы 9.4' все подынтегральные функции интегрируемы. Доказательство. Точно так же, как и при доказательстве неравенства Минковского для сумм, запишем равенство б 7. Дополнительные сведения об интеграле Римана 369 ) (Р(х)+~(х))'с( = ь Ь =))(х)(Р(х)+а(х)) '(х+~А"(х)(7(х)+й(х)) '(х. Далее применяем к интегралам, стоящим справа, неравенство Гельдера и, как и в п. 3, получаем доказательство.
По индукции можно доказать и более общее неравенство для функций 71(х), Га(х),...,1 (х), неотрицательных и интегрируемых на сегменте [а, 6): ь Ц (1 (х)+ 1а(х)+ ° ° ° +)а(х)) с(х) ~ < а ь ь ь ~~ ~) [1~ (х) дх) ~~+ () !з (х) т(х) "+ ... -!- [) 7аа(х) г(х) ~. $7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ РИМАНА 1. Предел интегральных сумм по базису фильтра. Рассмотрим множество всех разбиений (ха) сегмента [а, Ь). Обозначим это множество* всевозможных разбиений символом Р', Каждому фиксированному разбиению (ха)иеРь отвечает некоторая интегральная сумма о. Таким образом, получается отображение множества разбиений в множество интегральных сумм.
Выберем в Р* базис фильтра (базу) В"=(В,*) с элементами В,ь =((хь)е=Рь: т(<6). Эта запись означает: элемент Вь* есть разбиение '(ха) с диаметром с(, меньшим 6. Вспоминая общее определение предела по базе (базису фильтра), мы можем записать, что ь Г(х) дх=!!ша, а а а где предел означает предел числовой функции о (интегральной суммы функции 7(х) ) по базису фильтра (г(-ь-0). В силу свойств предела по базе такой предел является единственным.
Ясно, что все теоремы предыдущих параграфов, где использовался предел сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, " Предполагается, что каждому разбиению отвечает и иекоторыа выбор промежуточных точен. зуо Гл. 9. Определенный интеграл Римана можно сформулировать, используя понятие предела по базису фильтра.
2. Критерий интегрируемости Лебега. Будем говорить, что множество А точек сегмента [а, Ь) и м е е т м е р у нуль, если для любого е>0 можно указать не более чем счетную систему интервалов, покрывающую все точки множества А и имеющую сумму длин, не большую чем а. Заметим, что число интервалов может быть и бесконечным, однако онн имеют длины а„такие, что если Я„=а,+ а,+ ...
+а„, то !)ш5,=т( е. В теории, изучающей меру множеств, доказывается следующий критерий интегрируемости функции Г(х) на сегменте [а, Ь[ по Риману. Теорем а 96 (критерий Л е бег а). Для того чтобы ограниченная на сегменте [а, Ь) функция )(х) была интегрируемой но Риману на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы множество точек разрыва этой функции имело меру пуль. Доказательство этой теоремы можно найти в книге В. А.
Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», 11, с. 265 — 266. ДОПОЛНЕНИЕ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Изученное в гл. 9 понятие определенного интеграла Римана существенно использовало два обстоятельства: 1) тот факт, что :промежуток [а, Ь[, по которому требуется произвести интегрирование, является конечным; 2) тот факт, что подынтегральная функция 1(х) является на рассматриваемом промежутке ограниченной. В настоящем дополнении будет дано обобщение понятия определенного интеграла Римана на два случая: 1) на случай, когда промежуток, по которому требуется произвести интегрирование, является бесконечным"; 2) на случай, когда подынтегральная функция 1'(х) является н е о г р а н н ч е н н о й в окрестности некоторых точек области интегрирования. Возникающее прн таком обобщении понятие интеграла принято называть несобственным интегралом соответственно первого илн второго рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
